李瑞,唐智億,蘇飛,范文,馬利鋒

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安;2.長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院,710064,西安)

圖1 橢圓異性夾雜

對于異性夾雜問題,Eshelby等[2-3]開創(chuàng)性地證明了當(dāng)異性夾雜為橢球且夾雜內(nèi)的特征應(yīng)變分布均勻時,其內(nèi)部應(yīng)變場必均勻,這個標(biāo)志性結(jié)果概括了早期關(guān)于橢圓異性夾雜的努力[10-11]。Eshelby的這一成果可用經(jīng)典的四階Eshelby張量來表述,這為系統(tǒng)地研究彈性固體中的夾雜問題奠定了基礎(chǔ)[12]。該橢圓異性夾雜模型及其相關(guān)模型通常被稱為Eshelby夾雜力學(xué)模型,它已成為固體力學(xué)的經(jīng)典成果之一。與Eshelby夾雜的內(nèi)場解相比,雖然前人對基體的彈性場也做了大量的工作,但是研究并不深入[3,13]。

實(shí)際上,外場的顯式解析表達(dá)仍然是Eshelby夾雜力學(xué)中未完善解決的理論問題之一。例如,由于含有液體夾雜的彈性復(fù)雜模型可廣泛用于巖石、土體中微觀應(yīng)力分析,因此在Eshelby夾雜力學(xué)框架下,求解液體夾雜外場成為一個主要問題[14-16]。盡管該問題已引起諸多學(xué)者的關(guān)注,但是有關(guān)外場的顯式解析解的研究仍然很少。

與三維Eshelby夾雜模型相比,二維Eshelby夾雜模型簡單又具有普遍性,同時仍能有效反映夾雜內(nèi)外的基本變形行為。此外,二維模型便于引入更多的數(shù)學(xué)工具來分析外場,因此,本研究就著手探討平面橢圓異性夾雜問題。

處理平面橢圓異性夾雜問題主要有兩種方法:①Kolosov-Muskhelishvili復(fù)勢法[17],利用保角映射方法,外場解可表示為邊界積分形式,然后外場進(jìn)一步表示為Muskhelishvili復(fù)勢的無限Laurent級數(shù)展開式[16];②外場的Eshelby張量法[13],利用了Eshelby等效夾雜法和內(nèi)場的Eshelby張量的概念[2]。

復(fù)勢法是解決二維Eshelby夾雜問題的有效方法,但是復(fù)勢的保角映射方法和Laurent級數(shù)展開在實(shí)際應(yīng)用中會得到漸近解或近似解。外場的Eshelby張量公式可以用閉合解形式表達(dá)[13],但是由于內(nèi)部場的Eshelby張量表達(dá)式實(shí)際上是格林函數(shù)法中總應(yīng)變卷積公式的特解[1],要把這些公式推廣到外場,將會很復(fù)雜。因此,目前還沒有二維Eshelby橢圓夾雜外部變形場的完全顯式解析表達(dá)。

這就促使我們尋求一種解決二維橢圓異性夾雜外場問題的新方法。格林函數(shù)法在求解多種同性夾雜問題時既方便又直觀[1,18],首先將無限平面固體中點(diǎn)狀特征應(yīng)變的復(fù)勢解作為影響函數(shù),通過格林函數(shù)法求出同性夾雜問題的復(fù)勢。如果是異性夾雜,可進(jìn)一步利用等效特征應(yīng)變原理[19],將平面橢圓異性夾雜問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的同性夾雜,再利用這些方法和已有的解,得到異性夾雜問題的復(fù)勢[18,20],從而得到夾雜系統(tǒng)的顯式解析解。

本研究目的是得到二維Eshelby橢圓夾雜外場的一般顯式解析解,詳細(xì)地揭示夾雜體內(nèi)外彈性場的分布規(guī)律,為其在相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用提供便利。首先利用等效特征應(yīng)變原理求解具有均勻特征應(yīng)變分布和遠(yuǎn)場載荷作用的橢圓異性夾雜內(nèi)部場的應(yīng)力分布,然后用復(fù)變格林函數(shù)法推導(dǎo)橢圓夾雜外部場的復(fù)勢,最后進(jìn)一步推導(dǎo)橢圓夾雜外部場的力學(xué)解。作為應(yīng)用,分別研究受內(nèi)壓作用的液體夾雜和受遠(yuǎn)場純剪切載荷作用的液體夾雜問題,以期解釋土體液化的微觀機(jī)理及液體夾雜對土體滑坡的影響。此外,對經(jīng)典的Inglis橢圓孔問題[10]進(jìn)行了分析,推導(dǎo)了其顯式解析解,進(jìn)一步證明本文所得一般顯式解析解的優(yōu)勢。

1 具有均勻特征應(yīng)變分布和遠(yuǎn)場載荷作用的橢圓異性夾雜

本節(jié)首先給出了具有均勻特征應(yīng)變分布的橢球同性夾雜內(nèi)部場的顯式表達(dá)式及Eshelby張量,然后利用等效特征應(yīng)變原理求解相應(yīng)的橢圓異性夾雜問題,得到了橢圓異性夾雜的一般解。

1.1 具有均勻特征應(yīng)變分布的橢球同性夾雜和Eshelby張量

對于如圖2所示具有特定的均勻特征應(yīng)變分布的橢球同性夾雜,根據(jù)Eshelby的結(jié)果[2],內(nèi)部場的總應(yīng)變可以表示為[1]

(1)

圖2 具有特定均勻特征應(yīng)變分布的橢球同性夾雜

令半軸長度a3趨于無窮大,經(jīng)過復(fù)雜計(jì)算(參見附錄A),得到式(1)的矩陣形式為

x∈D

(2)

式中:張量Sijkl為

(3)

式(2)的Eshelby張量的表達(dá)式可用于解決平面問題。

1.2 橢圓異性夾雜內(nèi)部場的解

為了求解具有均勻特征應(yīng)變分布的橢球異性夾雜問題,Eshelby[2]提出等效夾雜法,該方法證明了橢球異性夾雜問題可轉(zhuǎn)化為橢球同性夾雜問題,如圖3所示,后者適用于均勻材料,很容易解決。針對非橢球狀夾雜和含非均勻特征應(yīng)變分布的異性夾雜問題,Ma和Korsunsky[19]提出了基于虛功原理的等效特征應(yīng)變原理,該原理能夠解決具有任意非均勻特征應(yīng)變分布的任意形狀夾雜問題。

(a)原始異性夾雜系統(tǒng)

根據(jù)等效特征應(yīng)變原理[19],可以將如圖3(a)所示的具有均勻特征應(yīng)變分布和遠(yuǎn)場載荷作用的橢圓異性夾雜問題,轉(zhuǎn)化為如圖3(b)所示的同性夾雜問題。這一原理要求圖3(a)和圖3(b)中的夾雜內(nèi)部應(yīng)力場和總應(yīng)變場相同,由此可得異性夾雜-同性夾雜的變換方程為

C*(ε+ε∞-ε*)=C(ε+ε∞-ε0),x∈D

(4)

式中:C*和C分別為異性夾雜材料和基體材料的彈性常數(shù);ε*為異性夾雜內(nèi)部分布的真實(shí)特征應(yīng)變;ε0為虛擬同性夾雜內(nèi)的等效特征應(yīng)變;ε∞為遠(yuǎn)場載荷且滿足ε∞=C-1σ∞;ε為虛擬同性夾雜內(nèi)的總應(yīng)變。

需要注意的是,式(4)適用于任意幾何形狀的夾雜,而不僅僅局限于橢球形夾雜,總應(yīng)變ε可以用卷積公式表示為[1]

(5)

式中:g表示格林函數(shù)(或影響函數(shù)),積分域?yàn)閵A雜區(qū)域D。

對于各向同性材料

(6)

式中:λ、μ、λ1、μ1分別為基體和夾雜的拉梅常數(shù)。

式(4)中的矩陣可表示為

(7)

對于含均勻特征應(yīng)變分布的橢圓異性夾雜,式(5)可簡化為式(1),則等效特征應(yīng)變可由式(4)直接求出

ε0=[C-(C-C*)S]-1[(C-C*)ε∞+C*ε*]

x∈D

(8)

或者

ε0=[C-(C-C*)S]-1[(C-C*)C-1σ∞+C*ε*]

x∈D

(9)

顯然,此時得到的等效特征應(yīng)變也是均勻的。

通過式(1)和式(9),夾雜內(nèi)部應(yīng)力場可表示為

σ=C(ε-ε0)+σ∞=C(S-I)[C-

(C-C*)S]-1[(C-C*)C-1σ∞+C*ε*]+σ∞

x∈D

(10)

夾雜外部應(yīng)力場為

σ=Cε+σ∞,x?D

(11)

式(11)只是一個形式解,其主要問題是如何求出應(yīng)變ε的表達(dá)式。

在本節(jié)中,利用等效特征應(yīng)變原理,將異性夾雜問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的同性夾雜問題,得到具有均勻特征應(yīng)變分布和遠(yuǎn)場載荷作用的橢圓異性夾雜的內(nèi)部應(yīng)力場表達(dá)式(10)。得到的等效特征應(yīng)變表達(dá)式(9)將在下一節(jié)求解夾雜的外場時起關(guān)鍵作用。

2 Eshelby橢圓夾雜外部場的解

作為本文研究的核心,在這一節(jié)中,給出了位于無限平面固體中的點(diǎn)狀特征應(yīng)變的基本解,然后將其作為影響函數(shù)用格林函數(shù)法求解同性夾雜問題,導(dǎo)出了夾雜外部場的通解。

2.1 平面彈性體的Kolosov-Muskhelishvili復(fù)勢公式

在平面彈性體復(fù)勢公式[17]中,應(yīng)力和位移的所有分量分別用兩個勢函數(shù)Φ(z)和Ω(z)表示

(12)

圖4 無限平面固體中位于s處的點(diǎn)狀特征應(yīng)變

(13)

2.2 基于復(fù)變格林函數(shù)法的橢圓夾雜的復(fù)勢

在圖3(b)中,夾雜的等效特征應(yīng)變和遠(yuǎn)場載荷會引起彈性變形。由于線彈性變形遵循疊加原理,因此同性夾雜中等效特征應(yīng)變引起的應(yīng)力勢可通過復(fù)變格林函數(shù)法得到,其影響函數(shù)為式(13)。即通過對夾雜域D上的變量s=xs+iys進(jìn)行積分,可得到由等效特征應(yīng)變引起的夾雜外場的解

z?D

(14)

其中Φs(z,s)和Ωs(z,s)即式(13)中的Φs(z)和Ωs(z)。

將式(13)代入式(14),再結(jié)合等效特征應(yīng)變式(8)或式(9),可將式(14)轉(zhuǎn)化為

z?D

(15)

由于積分域?yàn)闄E圓區(qū)域,式(15)中的積分可表示為

z?D

(16)

此時式(15)轉(zhuǎn)化為

z?D

(17)

該結(jié)果適用于橢圓夾雜(a2≠a1),圓形夾雜的解可通過令式(17)中a2趨于a1得到

z?D

(18)

將式(17)代入式(12),得到圖3(b)中由等效特征應(yīng)變引起的基體應(yīng)力場,將式(17)計(jì)算的應(yīng)力解與遠(yuǎn)場荷載相加,可得到外場的總應(yīng)力解。式(17)是本研究獲得的主要結(jié)果之一。

需要強(qiáng)調(diào)的是式(17)適用于夾雜物為線性連續(xù)介質(zhì),無論固體或液體。對于液體夾雜,只需讓第一拉梅常數(shù),即式(7)中的剪切模量μ1趨于0,第二拉梅常數(shù)λ1轉(zhuǎn)換為液體的體積模量K1(K1=λ1),因此,壓力與體積應(yīng)變的關(guān)系僅由一個參數(shù)決定,不需要額外的假設(shè)[14-16]。此外,已有文獻(xiàn)中的方法難以解決既承受壓力又承受遠(yuǎn)場載荷的情況,而本節(jié)和第1節(jié)的公式可解決各種組合荷載條件下的問題。這種處理方法同時適用于固體夾雜和液體夾雜問題。

從計(jì)算過程可以看出,這種方法比之前提到的其他方法簡便得多。在第3節(jié)中,將通過兩種典型的液體夾雜情況進(jìn)一步說明其優(yōu)點(diǎn),同時展示如何用本節(jié)中的解來處理具體問題。

3 加壓橢圓液體夾雜的解

嵌于無限大彈性體中的加壓橢圓液體夾雜模型的應(yīng)用也很廣泛,例如松散土體中的內(nèi)部孔隙、嵌入頁巖中的油或氣穴。嵌于無限大平面固體中的加壓橢圓液體夾雜模型如圖5所示,針對嵌于無限平面固體中的加壓橢圓液體夾雜,主要研究夾雜物周圍的應(yīng)力場,其典型背景包括水力壓裂工程[21-22]和土體液化。

圖5中液體夾雜內(nèi)部壓力為p0,夾雜區(qū)域用D表示。

圖5 嵌于無限大平面固體中的加壓橢圓液體夾雜模型

(19)

然后,利用式(19),由式(9)求得等效特征應(yīng)變表達(dá)式為

z∈D

(20)

最后,利用式(10)得到夾雜物中的應(yīng)力分布為

σij=-p0δij=

z∈D

(21)

式中p0表示液體中的壓力,p0為正值且滿足

z∈D

(22)

(23)

根據(jù)式(23),可將式(17)轉(zhuǎn)化為

z?D

(24)

圓形夾雜的解由式(18)得到

(25)

將式(24)代入式(12),可得到夾雜外部應(yīng)力場。為了能夠更直觀地反映應(yīng)力分布情況,取ξ=a2/a1=0.3,κ=3-4ν=5/3,x和y坐標(biāo)以主軸長度a1作無量綱化處理,得到如圖6所示的具有內(nèi)壓p0的液體夾雜系統(tǒng)的無量綱應(yīng)力分布。由圖6可知:①無量綱應(yīng)力σ11/p0和σ22/p0關(guān)于x軸和y軸對稱,而應(yīng)力σ12/p0關(guān)于x軸和y軸反對稱;②在長軸端點(diǎn)附近會出現(xiàn)高度應(yīng)力集中現(xiàn)象,

(a)σ11·p0-1

且σ22/p0的應(yīng)力

集中遠(yuǎn)高于其他兩個應(yīng)力分量。

此外,σ22/p0較高的應(yīng)力幅值表明其對系統(tǒng)影響更大,因此,應(yīng)力σ22/p0沿x軸的分布(見圖5和圖6)可以由式(24)和式(12)推導(dǎo)得出

(26)

圖7 不同縱橫比ξ下外場σ22/p0沿軸的分布曲線

現(xiàn)有觀點(diǎn)認(rèn)為,土體液化是由于土體受到外力振動,原本松散的土體受到壓縮,內(nèi)部孔隙減小,導(dǎo)致空隙內(nèi)水壓升高,當(dāng)水壓升高至超過土體內(nèi)承受的外部壓力時,將產(chǎn)生土體液化[23-24]。本節(jié)的研究結(jié)果對土體液化提供一個新的機(jī)理解釋,即靠近液體長軸端點(diǎn)處的土體應(yīng)力集中,導(dǎo)致土體可能在該處因強(qiáng)度喪失而提早破壞,從而引起土體液化。

4 遠(yuǎn)場剪切載荷作用下的橢圓液體夾雜的解

在本節(jié)中,主要從兩個方面對遠(yuǎn)場剪切載荷作用下的橢圓液體夾雜進(jìn)行分析:Style等[14]的研究表明,小的液體夾雜能夠增強(qiáng)軟固體的剛度,然而,在宏觀尺度上,液體夾雜對復(fù)合體系統(tǒng)剪切模量的影響還不可知;土體滑坡是土力學(xué)中的一個重要研究課題,其由剪切載荷引發(fā)[25-26],但是針對含有液體的土體滑坡問題研究很少,微觀力學(xué)分析可能會為該問題提供一些新的研究思路。

圖8 嵌于無限彈性平面固體受遠(yuǎn)場剪切載荷作用的橢圓液體夾雜

4.1 遠(yuǎn)場剪切載荷作用下的橢圓液體夾雜內(nèi)部應(yīng)力場

(27)

由式(10)得到夾雜內(nèi)的應(yīng)力為

σij=0,x∈D

(28)

這表明,液體夾雜不承受遠(yuǎn)場剪切載荷,因此,遠(yuǎn)場剪切載荷將被重新分配并完全施加在基體材料上,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生較大的剪切變形,或者可以理解為液體夾雜的存在會減小復(fù)合系統(tǒng)的整體剪切模量。

4.2 遠(yuǎn)場剪切載荷引起的復(fù)勢

結(jié)合式(27),式(17)可轉(zhuǎn)化為

z?D

(29)

式中λ=μ(3-κ)/(κ-1)。

將式(29)代入式(12),并結(jié)合遠(yuǎn)場載荷將得到應(yīng)力場。同樣,圓形夾雜的解由式(18)得到

(30)

x

y

x

y

由式(29)可以看出,隨著長短軸縱橫比ξ的減小,應(yīng)力集中向長軸(x軸)的端點(diǎn)移動。圖8中外場沿x軸的剪切應(yīng)力可表示為

(31)

(32)

圖10 不同縱橫比ξ下的受遠(yuǎn)場剪切載荷作用夾雜外沿軸的無量綱剪應(yīng)力曲線

可以發(fā)現(xiàn),本節(jié)中的公式并未涉及液體性質(zhì),這意味著液體夾雜在這種載荷條件下相當(dāng)于一個空腔。實(shí)際上,該解與橢圓孔在遠(yuǎn)場剪切載荷作用下的解相同,受遠(yuǎn)場剪切載荷作用的細(xì)長形液體夾雜將導(dǎo)致夾雜周圍產(chǎn)生應(yīng)力集中,從而可能破壞基體。

研究表明:土體滑坡是滑坡體中存在宏觀剪切作用,導(dǎo)致某個面的剪應(yīng)力達(dá)到抗剪承載力、引發(fā)相對滑動。本節(jié)的研究結(jié)果對含有液體的土體滑坡提供一個新的機(jī)理解釋,即液體夾雜的存在減小了系統(tǒng)整體的剪切模量,且在遠(yuǎn)場剪切載荷作用下,靠近液體長軸端點(diǎn)處的土體發(fā)生應(yīng)力集中,因此對于含有液體的土體滑坡問題,液體夾雜的存在會促進(jìn)滑坡的提早發(fā)生。

5 遠(yuǎn)場拉伸載荷作用下Inglis橢圓孔問題的解

1913年,Inglis發(fā)表了橢圓孔受遠(yuǎn)場外力的以級數(shù)表達(dá)的漸進(jìn)解[10]。需要指出的是,Inglis的解和Griffith裂紋表面能概念的提出開啟了斷裂力學(xué)的新紀(jì)元。由于Inglis解是在曲線坐標(biāo)系下表達(dá)的,不便于使用,因此在本節(jié)中通過對這一問題重新研究,獲得其直角坐標(biāo)系下的顯式解析解簡潔形式。

對于如圖11所示在無限大板受遠(yuǎn)場拉伸載荷作用下的橢圓孔問題,式(7)轉(zhuǎn)換為

圖11 嵌于無限大固體中受遠(yuǎn)場拉伸載荷作用的Inglis橢圓孔

(33)

同樣,等效特征應(yīng)變由式(9)得到

x∈D

(34)

結(jié)合式(9)和式(33),由式(10)得到橢圓孔中的應(yīng)力分布為

σ=C(S-I)ε0+σ∞=

C(S-I)(C-CS)-1σ∞+σ∞=0,x∈D

(35)

這也驗(yàn)證了之前的推導(dǎo)。

根據(jù)式(34),式(17)轉(zhuǎn)換為

z?D

(36)

式中λ=μ(3-κ)/(κ-1)。

圓形夾雜由式(18)得到

z?D

(37)

將式(36)代入式(12),得到由等效特征應(yīng)變引起的基體應(yīng)力場,總應(yīng)力由基體應(yīng)力場加上遠(yuǎn)場載荷σ∞得到。相比較Inglis的漸進(jìn)解,此處給出的解是一種通用形式,適用于平面應(yīng)變(κ=3-4ν)情況和平面應(yīng)力(κ=(3-ν)/(1+ν))情況,ν為泊松比。

6 結(jié) 論

異性夾雜力學(xué)是一個經(jīng)典的固體力學(xué)問題,它的應(yīng)用意義不言而喻,但是對其的研究仍存在很多不足。本文主要研究了二維Eshelby橢圓異性夾雜的外場問題。利用等效特征應(yīng)變原理和復(fù)變格林函數(shù)法,得到了具有均勻特征應(yīng)變分布的Eshelby橢圓異性夾雜在遠(yuǎn)場載荷作用下內(nèi)外場的一般顯式解析解。

本文特別探討了它在液體夾雜問題中的應(yīng)用,并將液體夾雜和固體夾雜統(tǒng)一到Eshelby夾雜力學(xué)框架內(nèi)。研究表明,液體夾雜中的內(nèi)壓會導(dǎo)致長軸端點(diǎn)處產(chǎn)生嚴(yán)重的應(yīng)力集中,從而為土體液化提供了一個新的機(jī)理解釋。此外,在純剪切荷載作用下,剪切應(yīng)力集中并不完全產(chǎn)生在長軸端點(diǎn)處,而是在端點(diǎn)附近,并且液體夾雜的存在會減小系統(tǒng)整體的剪切模量,這一研究揭示了液體夾雜對土體滑坡的影響。最后,重新研究了著名的Inglis橢圓孔問題,并給出了其在直角坐標(biāo)系下的顯式解析解。

本文得到的Eshelby橢圓異性夾雜問題的一般解析解更簡潔,期望它能為解決不同學(xué)科中的一系列Eshelby橢圓異性夾雜問題提供參考。