范倪圣，陳穩(wěn)杰，周振綱

(嘉興學(xué)院建筑工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001)

隨機(jī)子空間方法[1-2]只需要根據(jù)測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)即可識(shí)別結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)，但該方法進(jìn)行模態(tài)識(shí)別時(shí)可能存在模態(tài)遺漏和出現(xiàn)虛假模態(tài)問題[3-5]，對(duì)于此，國內(nèi)外學(xué)者通過采用穩(wěn)定圖方法或模糊聚類方法等對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，在一定程度上避免了出現(xiàn)虛假模態(tài)問題，較好地解決了隨機(jī)子空間方法系統(tǒng)階數(shù)n取值問題。然而，該方法的識(shí)別精度實(shí)際還會(huì)受到方法中相關(guān)參數(shù)(如Hankel矩陣行數(shù)i、測(cè)點(diǎn)數(shù)L，識(shí)別用到的測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)量s)取值的影響。國內(nèi)個(gè)別學(xué)者就Hankel矩陣行數(shù)i對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度問題做了初步研究[6-7]。但同時(shí)考慮參數(shù)i和s不同取值組合對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律研究還尚未見相關(guān)報(bào)道。因此，為了將隨機(jī)子空間方法更好地應(yīng)用于環(huán)境激勵(lì)下實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，有必要對(duì)參數(shù)s和i不同取值組合對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律問題進(jìn)行研究。

1 隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

采用基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別時(shí)，首先根據(jù)各測(cè)點(diǎn)的加速度響應(yīng)測(cè)試數(shù)據(jù)構(gòu)造如式(1)所示的Hankel矩陣。

(1)

其中,H為Hankel矩陣；Hp為Hankel矩陣過去分塊矩陣；Hf為Hankel矩陣未來分塊矩陣；yk(k=0,…,2i+j-2)為根據(jù)測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)造的列向量，上述構(gòu)造的列向量的行數(shù)為測(cè)點(diǎn)數(shù)L；i和j分別為Hankel矩陣分塊矩陣的行數(shù)和列數(shù)，Hankel矩陣的分塊矩陣的行數(shù)和列數(shù)應(yīng)滿足關(guān)系式s=2i+j-1，s為計(jì)算時(shí)選取的測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)數(shù)量。

根據(jù)生成的Hankel矩陣過去分塊矩陣和未來分塊矩陣按式(2)計(jì)算得到Toeplitz矩陣T：

(2)

對(duì)T矩陣按式(3)進(jìn)行奇異值分解：

(3)

其中,U,S,V均為T矩陣經(jīng)奇異值分解得到的矩陣，U和V為正交矩陣，S為對(duì)角矩陣；S1為S矩陣的分塊矩陣，其為對(duì)角矩陣，對(duì)角元素T為矩陣異值分解得到的正奇異值，S1∈Rn×n；U1和U2為U矩陣的分塊矩陣，U1∈RLi×n，U2∈RLi×(Li-n)；V1和V2為V矩陣的分塊矩陣，V1∈RLi×n，V2∈RLi×(Li-n)。

系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣Γ及其逆矩陣Γ-1可表示為：

(4)

(5)

其中，Γ∈RLi×n；Γ-1∈Rn×Li。

根據(jù)式(6)，式(7)計(jì)算得到矩陣P1和P2。

P1=Γ-1(1∶n,1∶L(i-1))

(6)

P2=Γ(L+1∶Li,1∶n)

(7)

其中，P1∈Rn×(Li-L+1)；P2∈R(Li-L)×n；Γ-1(1∶n,1∶L(i-1))為取Γ-1矩陣第1行至第n行和第1列至第L(i-1)列范圍內(nèi)元素的構(gòu)成的矩陣；Γ(L+1∶Li,1∶n)為取Γ矩陣第L+1行至第Li行和第1列至第n列范圍內(nèi)元素的構(gòu)成的矩陣。

系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣Q可表示為：

A=P1P2

(8)

Q=Γ(1∶L,1∶n)

(9)

其中，A∈Rn×n;Q∈RL×n;Γ(1∶L,1∶n)為取Γ矩陣第1行至第L行和第1列至第n列范圍內(nèi)元素的構(gòu)成的矩陣。

對(duì)計(jì)算得到的狀態(tài)矩陣A按式(10)進(jìn)行特征值分解：

A=EDE-1

(10)

其中，E為特征向量構(gòu)成的矩陣，E∈Rn×n；D為特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，D∈Rn×n。矩陣E和矩陣D的元素都為復(fù)數(shù)。

提取矩陣D的對(duì)角線元素構(gòu)成列向量Z，即：

Z={z1z2…zn}T

(11)

其中，zk為Z向量的第k行元素值，其大小等于D矩陣第k行的對(duì)角元素值；Z∈Rn×1。

根據(jù)式(12)計(jì)算得到識(shí)別模態(tài)頻率列向量Ft。

Ft=abs(ln(Z)·fs)/2π

(12)

其中，fs為測(cè)點(diǎn)響應(yīng)測(cè)量的采樣頻率，Hz；π為圓周率；ln(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)向量元素進(jìn)行自然對(duì)數(shù)運(yùn)算；abs(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)向量元素進(jìn)行取模運(yùn)算；Ft∈Rn×1。

根據(jù)輸出矩陣Q和狀態(tài)矩陣A特征值分解得到的特征向量構(gòu)成的矩陣E按式(13)計(jì)算復(fù)矩陣G。

G=QE

(13)

按式(14)計(jì)算得到識(shí)別模態(tài)振型向量構(gòu)成的振型矩陣Mt。

Mt=abs(G)*sign(180·(|angle(G)|-π/2)/π)

(14)

其中，angle(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)矩陣元素進(jìn)行取相位運(yùn)算；abs(·)函數(shù)為對(duì)復(fù)矩陣元素進(jìn)行取模運(yùn)算；sign(·)函數(shù)為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)因變量分別為正值、零和負(fù)值時(shí)，函數(shù)值分別取1，0和-1。

2 隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度評(píng)價(jià)方法

本文主要就參數(shù)i和s取值對(duì)基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間方法的模態(tài)頻率和模態(tài)振型的識(shí)別精度影響規(guī)律進(jìn)行研究。以下對(duì)本文模態(tài)頻率和模態(tài)振型識(shí)別精度計(jì)算方法進(jìn)行簡介。

2.1 模態(tài)頻率識(shí)別精度評(píng)價(jià)方法

前述隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)頻率構(gòu)成的列向量Ft可表示為：

(15)

其中，ftk為根據(jù)試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)由隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)的模態(tài)頻率，k=1,2,…,m，m為識(shí)別模態(tài)數(shù)。

與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)頻率構(gòu)成的列向量Fa可表示為：

(16)

其中，F(xiàn)a∈Rn×1；fak為與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)頻率，k=1,2,…,m，m為識(shí)別模態(tài)數(shù)。

根據(jù)式(17)可計(jì)算得到隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的各階模態(tài)的模態(tài)頻率識(shí)別精度。

(17)

其中，eFk為與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)的模態(tài)頻率識(shí)別精度。

參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法不同階模態(tài)的模態(tài)頻率識(shí)別精度的影響有一定差異，故本文采用按式(18)計(jì)算得到的模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM來對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)頻率識(shí)別精度進(jìn)行評(píng)價(jià)。EM值越大則隨機(jī)子空間法的模態(tài)頻率整體識(shí)別精度越高。

(18)

其中，m為識(shí)別模態(tài)數(shù)。

2.2 模態(tài)振型識(shí)別精度評(píng)價(jià)方法

前述隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)振型構(gòu)成的振型矩陣Mt可表示為：

(19)

其中，φtk為根據(jù)試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)由隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)的模態(tài)振型列向量，k=1,2,…,m。

與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)振型向量構(gòu)成的振型矩陣Ma可表示為：

(20)

其中，φak為與隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)振型列向量，k=1,2,…,m。

模態(tài)振型識(shí)別的精度可采用識(shí)別模態(tài)振型與真實(shí)模態(tài)振型的模態(tài)保證準(zhǔn)則MAC值來評(píng)價(jià)。反映隨機(jī)子空間方法各階模態(tài)的模態(tài)振型識(shí)別精度的MAC值可按式(21)計(jì)算得到。

(21)

其中，MACk為隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的第k階模態(tài)模態(tài)振型的MAC值。

參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法不同階模態(tài)的模態(tài)振型識(shí)別精度的影響有一定差異，故本文采用按式(22)計(jì)算得到的模態(tài)振型平均模態(tài)模態(tài)保證準(zhǔn)則MACM值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)振型的識(shí)別精度進(jìn)行評(píng)價(jià)。MACM值越大則隨機(jī)子空間法的模態(tài)振型整體識(shí)別精度越高。

(22)

3 五質(zhì)點(diǎn)的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)模態(tài)識(shí)別算例

五質(zhì)點(diǎn)的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)算例模型如圖1所示。算例模型的質(zhì)量、剛度和阻尼參數(shù)如表1所示。

表1 算例模型參數(shù)

在該算例模型的節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2處施加豎向白噪聲激振力f1(t)和f2(t)來模擬算例模型系統(tǒng)受到的環(huán)境激勵(lì)，通過計(jì)算獲得各節(jié)點(diǎn)豎向加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)作為本文隨機(jī)子空間方法模態(tài)識(shí)別的測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)。

根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力平衡關(guān)系可建立算例模型受上述白噪聲激勵(lì)時(shí)的動(dòng)力方程[8]，如式(23)所示。

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

在節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2處均輸入相同的高斯白噪聲激勵(lì)力，高斯白噪聲激振力時(shí)程及功率譜曲線如圖2所示，激振力時(shí)長為10 s，步長為0.001 s。采用Newmark-β法用Matlab軟件編程求解算例模型動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程。限于篇幅，此處僅給出節(jié)點(diǎn)1加速度響應(yīng)時(shí)程及功率譜曲線，如圖3所示。

算例模型的模態(tài)頻率和歸一化模態(tài)振型的真實(shí)值(理論值)可通過對(duì)式(23)忽略阻尼項(xiàng)和無激振力時(shí)得到的無阻尼自由振動(dòng)方程進(jìn)行特征值和特征向量分析計(jì)算得到。算例模型的模態(tài)頻率和模態(tài)振型真實(shí)值分別如表2，圖4～圖8所示。

表2 i和s不同取值時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率和模態(tài)振型識(shí)別平均精度初步比較

在測(cè)點(diǎn)數(shù)L=5和系統(tǒng)階次n=12取值一定時(shí)，對(duì)i=38，s=6 542和i=50，s=2 838兩種參數(shù)取值情況根據(jù)前述基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法對(duì)算例模型進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)識(shí)別計(jì)算，識(shí)別得到的各階模態(tài)頻率和模態(tài)振型如表2，圖4～圖8所示。同時(shí)，給出了兩種參數(shù)取值情況時(shí)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值和模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值，如表2所示。

由表2，圖4～圖8可知：i=38，s=6 542時(shí)隨機(jī)子空間方法識(shí)別得到的算例模型各階模態(tài)頻率和模態(tài)振型識(shí)別值與其真實(shí)值非常接近，EM和MACM都接近于1；而i=50，s=2 838時(shí)模態(tài)頻率和模態(tài)振型的平均識(shí)別精度要低于i=38，s=6 542取值情況。由此可見，參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度有一定影響，故有必要對(duì)參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律進(jìn)行研究。

4 i和s取值對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度影響規(guī)律研究

為了進(jìn)一步研究參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間方法模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度的影響規(guī)律，對(duì)i和s不同取值組合時(shí)采用隨機(jī)子空間方法對(duì)前述算例模型的模態(tài)頻率和模態(tài)振型進(jìn)行了識(shí)別計(jì)算，并計(jì)算得到了各取值組合時(shí)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值和模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值。參數(shù)i和s不同取值組合構(gòu)造時(shí)參數(shù)i取值從30到158，增量為2，參數(shù)s取值從2 000到8 998，增量為2，共構(gòu)造了227 500個(gè)i和s不同取值組合。識(shí)別計(jì)算中測(cè)點(diǎn)數(shù)L=5和系統(tǒng)階次n=12保持不變。

圖9給出了i和s不同取值組合時(shí)采用隨機(jī)子空間法識(shí)別得到的算例模型的模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值變化情況。

圖10給出了i和s不同取值組合時(shí)采用隨機(jī)子空間法識(shí)別得到的算例模型的模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值變化情況。

由圖9可知：參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)，隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值均較大，EM值在0.971～0.998范圍內(nèi)變化，表明隨機(jī)子空間法識(shí)別算例模型的模態(tài)頻率具有很高的精度。參數(shù)i和s不同取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM有一定影響，主要表現(xiàn)為：

1)當(dāng)參數(shù)i在42～110取值范圍內(nèi)時(shí)，參數(shù)s取值對(duì)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)EM的影響相對(duì)較明顯。

2)參數(shù)i取值對(duì)模態(tài)頻率平均識(shí)別精度指標(biāo)值EM的影響相對(duì)明顯，參數(shù)i取值在36～42及110～158取值范圍內(nèi)時(shí)，模態(tài)頻率平均識(shí)別精度更高。

由圖10可知：參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)，隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM值變化較大，MACM值在0.283～0.999范圍內(nèi)變化，表明參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法識(shí)別算例模型的模態(tài)振型的精度影響較大。參數(shù)i和s不同取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM的影響主要表現(xiàn)為：

1)當(dāng)參數(shù)i在30～96和130～136取值范圍內(nèi)時(shí)，參數(shù)s取值對(duì)模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM的影響較明顯。

2)參數(shù)i取值對(duì)模態(tài)振型平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM的影響明顯，參數(shù)i取值在22～24,32～36,60～62,72～78,82～84,102～120,136～138,142～148及156～158取值范圍內(nèi)時(shí)，模態(tài)振型平均識(shí)別精度較高，MACM值基本在0.7及以上。

綜上可知：

1)參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM有一定影響，但影響總體相對(duì)較小。

2)參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM影響較大。

3)參數(shù)i和s在若干取值范圍內(nèi)取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法的模型頻率及振型均具有較高的識(shí)別精度，如i取36～38,s取2 500～7 000時(shí)，模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度可達(dá)0.99以上，模態(tài)振型的平均識(shí)別精度可達(dá)0.8以上。

5 結(jié)論及展望

本文以一五質(zhì)點(diǎn)的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別算例為例，對(duì)參數(shù)i和s取值對(duì)基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間方法的模態(tài)頻率及模態(tài)振型的識(shí)別精度影響進(jìn)行了研究。主要結(jié)論如下：

1)參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度指標(biāo)EM值在0.971～0.998范圍內(nèi)變化，變化幅度較小，表明參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率的平均識(shí)別精度影響相對(duì)較小，但仍有一定影響，同時(shí)也表明隨機(jī)子空間法識(shí)別模態(tài)頻率具有很高的精度。

2)參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度指標(biāo)MACM在0.283～0.999范圍內(nèi)變化，變化幅度較大，表明參數(shù)i和s取值對(duì)隨機(jī)子空間法模態(tài)振型的平均識(shí)別精度影響較大。

3)參數(shù)i和s在若干取值范圍內(nèi)取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法的模型頻率及振型均具有較高的識(shí)別精度。

本文對(duì)參數(shù)i和s不同取值組合時(shí)隨機(jī)子空間法模態(tài)頻率和模型振型的平均識(shí)別精度的影響進(jìn)行了初步研究。為了更好地將隨機(jī)子空間方法應(yīng)用于環(huán)境激勵(lì)下實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，后續(xù)將結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)方法對(duì)參數(shù)i和s合理取值方法進(jìn)行進(jìn)一步的研究。