石先兵

筆者開授了一節(jié)市級公開課——《一次函數(shù)復(fù)習(xí)課》受到好評.筆者將這節(jié)課的教學(xué)設(shè)想、教學(xué)過程及教學(xué)思考整理如下.

1 教學(xué)設(shè)想

（1）激發(fā)學(xué)生對所學(xué)知識形成全局理解

筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課除了對所學(xué)知識進行有針對性地查漏補缺外，還要協(xié)助學(xué)生梳理所學(xué)知識的脈絡(luò)，構(gòu)建多維的知識結(jié)構(gòu)體系，引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)展”地再認(rèn)識所學(xué)知識.進一步內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法，真正提高解決數(shù)學(xué)問題能力，提高課堂復(fù)習(xí)效率，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).本節(jié)課根據(jù)學(xué)生己學(xué)過的平面幾何與代數(shù)中相關(guān)知識的關(guān)聯(lián)為主線，教學(xué)過程中緊緊抓住點和坐標(biāo)（有序?qū)崝?shù)對）一一對應(yīng)的關(guān)系，讓學(xué)生體悟點是平面幾何的基本元素，在平面直角坐標(biāo)系中點對應(yīng)的代數(shù)形式就是研究橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，讓學(xué)生和知識一起生長、發(fā)展，在復(fù)習(xí)的過程中感受平面幾何和代數(shù)的本質(zhì)，體悟數(shù)形結(jié)合的美妙.

（2）教師要用邏輯思維講述故事

本章是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的第一階段，也是用解析法研究平面圖形性質(zhì)的重要階段.引導(dǎo)學(xué)生從“運動變化和聯(lián)系對應(yīng)”的角度認(rèn)識函數(shù)，重視函數(shù)這一重要概念中蘊含的數(shù)學(xué)思想，從而有意識地體會函數(shù)的本質(zhì)成為設(shè)計時考慮的重點.教學(xué)設(shè)計時從數(shù)學(xué)角度描述或刻畫直線，引入笛卡爾等數(shù)學(xué)家用解析法研究平面圖形的典故，為學(xué)生用解析法研究平面圖形播下了一粒種子.由直線得到一次函數(shù)解析式后，通過列表利用表格中橫縱坐標(biāo)（或自變量的值與函數(shù)值）的對應(yīng)關(guān)系讓學(xué)生體驗一次函數(shù)中自變量的值和函數(shù)值是“一一對應(yīng)，均勻變化”的，再通過探究推理對一般的一次函數(shù)也有了變化和對應(yīng)的初步認(rèn)識和體會.在一條直線的基礎(chǔ)上添加另一條直線，從而研究兩條直線平行和相交的情況下產(chǎn)生的問題，探究并體會研究平移和對稱的關(guān)鍵——研究點.兩條直線相交產(chǎn)生的面積問題同樣由點確定，總結(jié)歸納割補法需要填加的輔助線的知識源頭：點坐標(biāo)的得來——過點做x軸或y軸的垂線.當(dāng)觸及到解決問題的本質(zhì)，也就是到了故事的高潮，使學(xué)生有恍然大悟，一覽眾山小的體驗.

2 教學(xué)過程

活動1課前兩分鐘閱讀材料“笛卡爾簡介及坐標(biāo)幾何（解析幾何）”.

設(shè)計意圖讓學(xué)生對笛卡爾及解析幾何有個初步的認(rèn)識，也為課題的引入做好鋪墊，

問題1平面內(nèi)的一條直線，如何從數(shù)學(xué)的角度來描述或刻畫它？

設(shè)計意圖刻意制造矛盾，激起學(xué)生對所學(xué)知識的回憶，并感受引入平面直角坐標(biāo)系的必要，也是從“形”到“數(shù)”來研究直線的開端.

問題2平面直角坐標(biāo)系中已知兩個點的坐標(biāo)求出一次函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，為什么可以用待定系數(shù)法？

設(shè)計意圖喚起學(xué)生對所學(xué)方法的深層思考，把方法和概念構(gòu)建聯(lián)系，同時讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)名詞的合理性、自然性.

設(shè)計意圖 以具體函數(shù)為載體，以表格的形式讓學(xué)生體會一次函數(shù)“x”與“y”的值是一一對應(yīng)的：己知“x”的值，由解析式可以得到唯一的“y”的值;同樣己知“y”的值可以解出唯一的“x”的值.通過具體數(shù)值的變化規(guī)律和數(shù)學(xué)推理讓學(xué)生感受一次函數(shù)y= 2x+1中自變量的變化值和其對應(yīng)函數(shù)值的變化值是成正比例的（比值是2），從而體會一次函數(shù)y= 2x+l是均勻變化的，達(dá)到“以數(shù)釋形”的目的.

問題3對于一次函數(shù)y= kx+ b（k≠0），自變量的變化和對應(yīng)函數(shù)值的變化是不是也呈現(xiàn)類似的規(guī)律呢？

設(shè)計意圖由特殊到一般，讓學(xué)生從“運動變化和聯(lián)系對應(yīng)”的角度認(rèn)識和真實感受一次函數(shù).

活動3已知一次函數(shù)y= 2x+1，如何畫出函數(shù)圖象？結(jié)合圖象說說函數(shù)圖象的性質(zhì).對于一次函數(shù)y= kx+ b（k≠0），利用表格對k和b進行分類并畫出對應(yīng)的一次函數(shù)圖象，說說共性質(zhì).

設(shè)計意圖從“數(shù)”到“形”再次認(rèn)識一次函數(shù)，并從特殊到一般熟悉函數(shù)圖象和性質(zhì).

并在活動3的基礎(chǔ)上追問：若知道一次函數(shù)圖象的位置，能否知道k和b應(yīng)滿足的條件.引導(dǎo)學(xué)生并強調(diào)動手畫出圖象，結(jié)合圖象解決問題，將數(shù)形結(jié)合的思想變?yōu)閷嵺`，領(lǐng)悟函數(shù)圖象的作用.

設(shè)計意圖通過一組從易到難的變式問題，使學(xué)生進一步熟悉運用函數(shù)圖象的性質(zhì)解決問題.教師結(jié)合PPT演示如何利用函數(shù)圖象由自變量的大小關(guān)系找到對應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，使學(xué)生不斷體會函數(shù)圖象的作用和數(shù)形結(jié)合的方法.

設(shè)計意圖使學(xué)生學(xué)過的二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，構(gòu)建多維的知識結(jié)構(gòu)體系，同時結(jié)合PPT更直觀地“以形表數(shù)”.

問題5借用一次函數(shù)y= 2x+1的圖象，你還能解決什么問題？

設(shè)計意圖設(shè)計開放的問題，讓學(xué)生發(fā)揮想象力，讓圖形和知識產(chǎn)生關(guān)聯(lián).學(xué)生會想到求出圖象與坐標(biāo)軸的交點，可以求出圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積，由勾股定理求出直角三角形斜邊長，由面積法求出斜邊上的高（也是原點到直線上點距離的最小值）等等.對一個圖形盡可能展開聯(lián)想，讓學(xué)過的知識和方法聯(lián)結(jié)起來，形成知識網(wǎng)絡(luò)，重新構(gòu)建知識體系.

問題6研究完一條直線，再看兩條直線.平面中兩條直線有哪些位置關(guān)系呢？如平行于l1：y=2x+1的直線l，經(jīng)過點（-1，1），求，，的解析式.

設(shè)計意圖讓學(xué)生進一步明白平面直角坐標(biāo)系中兩個條件可以確定直線方程（一次函數(shù)解析式），同時為接下來的問題提供載體.

活動5平行是兩條直線的位置關(guān)系，也是兩條直線靜態(tài)的描述，從動態(tài)的角度來說平行可以是平移，試探究直線l2可以經(jīng)過怎樣的平移變化得到l1？

設(shè)計意圖學(xué)生容易得出直線l2：y= 2x+3可以是由ll：y=2x+1向上平移2個單位得到的，追問學(xué)生是怎么得到這個平移變換的，學(xué)生會通過兩直線和y軸的交點（0，1）與（0，3）這一對對應(yīng)點的變換得到.追問：從圖形上也可以就看出直線l1向左平移亦可得到厶，那么向左平移多少得到l2呢？引導(dǎo)學(xué)生可以借助于一組對應(yīng)點（如兩直線和x軸的交點（-0.5，0）與（-1.5，0））來解決問題，由此兩條平行的直線可以借助任意一對對應(yīng)點的變換來研究平移，讓學(xué)生體會圖形的變換本質(zhì)是點的變換.在此基礎(chǔ)上，進一步拓展：除了平移還學(xué)習(xí)了對稱，能不能求出ll：y=2x+l關(guān)于x軸（或y軸）對稱的直線方程呢？引發(fā)學(xué)生的思考.

設(shè)計意圖這是開放性問題，學(xué)生從交點Q（l，m）發(fā)散開來，得到二元一次方程組與圖象交點的關(guān)系;得到圖象的位置關(guān)系對應(yīng)著函數(shù)值的大小關(guān)系或不等式;得到一些圖形的面積如四邊形AOCQ的面積，學(xué)生能夠用多種方法求解.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：在平面直角坐標(biāo)系中點可以確定位置，也可以確定圖形，不規(guī)則圖形的面積采用割補法的關(guān)鍵是利用點的坐標(biāo)得到其代數(shù)表示……讓不同的想法在此圖基礎(chǔ)上百花齊放，更重要的是在解決問題的過程中體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)合思想的領(lǐng)悟和應(yīng)用.

活動7這節(jié)課你有哪些收獲？是否對一次函數(shù)有了進一步的認(rèn)識？

設(shè)計意圖對本節(jié)課的知識和方法作一次回顧，使學(xué)生對所學(xué)知識和方法與一次函數(shù)進一步構(gòu)建聯(lián)系，重構(gòu)知識體系，使數(shù)學(xué)模型和數(shù)形結(jié)合的思想進一步內(nèi)化.

3 教學(xué)思考及啟示

復(fù)習(xí)課如何“老歌唱出新意”？不是“確認(rèn)”知識的對錯，而是用數(shù)學(xué)思維演繹數(shù)學(xué)故事.高效的復(fù)習(xí)課應(yīng)該讓學(xué)生站在視野更高處構(gòu)建知識體系，應(yīng)該是讓學(xué)生在思維更深更廣處感受知識和方法的生長、發(fā)展，感受自己的發(fā)展、提升.因此，復(fù)習(xí)課教學(xué)建議考慮從以下四個方面：

3.1梳理復(fù)習(xí)主線要明晰

要想高效復(fù)習(xí)，盡可能讓更多的學(xué)生從復(fù)習(xí)課中受益，教師要勇于突破教材，總結(jié)歸納相似或相近的知識，在原有的知識結(jié)構(gòu)和體系中再生長，要選好選準(zhǔn)一條復(fù)習(xí)的主線：結(jié)合已學(xué)過或?qū)⒁獙W(xué)習(xí)的知識、方法，對所復(fù)習(xí)的知識進行再加工，整合、甚至推進.要分析所復(fù)習(xí)知識在教材及數(shù)學(xué)中的地位，提煉所復(fù)習(xí)知識中蘊含的思想方法，梳理所復(fù)習(xí)知識的脈絡(luò)，用數(shù)學(xué)思維演繹所復(fù)習(xí)的知識，

本節(jié)課從一條直線研究起，到兩條平行或相交直線，再到圖形面積，這其中一次函數(shù)把它們串在了一起，“以數(shù)釋形”;同時學(xué)過的二元一次方程或方程組、一元一次方程、一元一次不等式可以從函數(shù)圖象的角度看待，“以形表數(shù)”.而所有問題的歸宿最后落在了點和坐標(biāo)上.附本節(jié)課板書設(shè)計如圖2：

3.2 構(gòu)建知識體系要連貫

知識結(jié)構(gòu)體系化才能以點帶面，使學(xué)生在結(jié)構(gòu)下，網(wǎng)絡(luò)下，體系下俯瞰知識的形成及發(fā)展過程，才能真正形成能力和素養(yǎng)，才能促進學(xué)生的生長、發(fā)展.教師要打開各章節(jié)知識的通道，貫聯(lián)前前后后的內(nèi)容，同時聚焦所要復(fù)習(xí)知識的核心內(nèi)容，讓復(fù)習(xí)課成為各章節(jié)知識的關(guān)節(jié).一次函數(shù)復(fù)習(xí)課就是聯(lián)結(jié)二元一次方程或方程組、一元一次方程、一元一次不等式的紐帶，同時也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)和反比函數(shù)的重要基石.

3.3內(nèi)化思想方法要凸顯

毫不夸張地說數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)思想方法是具體數(shù)學(xué)知識的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生的影響往往要大于具體的數(shù)學(xué)知識.數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)知識為載體來實現(xiàn)的，而對于隱含在數(shù)學(xué)知識中數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識是需要一個過程的.需要教師潛移默化、持之以恒的點撥.本節(jié)課力求通過對函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從“運動變化和聯(lián)系對應(yīng)”的角度認(rèn)識函數(shù)，讓學(xué)生體會和逐步感受數(shù)學(xué)思想方法的重要作用.

3.4 提升思維能力是關(guān)鍵

復(fù)習(xí)課教學(xué)怎樣盡可能切實提升學(xué)生的思維能力是值得探索的問題.只有學(xué)生在教師的引導(dǎo)下構(gòu)建多維的知識結(jié)構(gòu)體系，重新認(rèn)識所復(fù)習(xí)的知識，通過經(jīng)歷知識的再發(fā)生并發(fā)展，看清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而站在一定的高度，切實提高解決問題的能力，進而提升數(shù)學(xué)思維能力.