張國泉　王峰　王道平　房頤

摘? ?要：在高中學(xué)習(xí)電磁學(xué)知識(shí)過程中，學(xué)生常常會(huì)將“均勻帶電球殼內(nèi)部電場強(qiáng)度處處為零”這個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤地遷移應(yīng)用于均勻帶電圓環(huán)，認(rèn)為“均勻帶電圓環(huán)環(huán)面內(nèi)任意一點(diǎn)的場強(qiáng)也為零”。雖然利用均勻帶電圓環(huán)電荷分布的對(duì)稱性可以分析得出“圓環(huán)圓心處場強(qiáng)為零”的結(jié)論，但環(huán)內(nèi)其他點(diǎn)的場強(qiáng)并不為零。針對(duì)這個(gè)常見的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，采用三種方法，從不同角度分析了均勻帶電圓環(huán)環(huán)面內(nèi)的場強(qiáng)特點(diǎn)，幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)該知識(shí)點(diǎn)。先巧妙運(yùn)用等效法逆向證明“圓環(huán)上電荷均勻分布時(shí)，環(huán)面內(nèi)不可能處處場強(qiáng)為零”;然后對(duì)比分析了利用微元法計(jì)算均勻帶電球殼和均勻帶電圓環(huán)內(nèi)部電場強(qiáng)度分布時(shí)所取微元的差異，解釋了不能將均勻帶電球殼場強(qiáng)分布結(jié)論遷移應(yīng)用到均勻帶電圓環(huán)的原因;最后利用數(shù)學(xué)Desmos軟件進(jìn)行定量計(jì)算，給出了均勻帶電圓環(huán)直徑上的電場強(qiáng)度分布。

關(guān)鍵詞： 均勻帶電圓環(huán);電場強(qiáng)度;等效法;微元法;Desmos 軟件

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2022）6-0069-4

人民教育出版社出版的普通高中《物理》必修第三冊(cè)第九章第三節(jié)“靜電場及其應(yīng)用”提到“一個(gè)半徑為R的均勻帶電球殼（球體）在球外部產(chǎn)生的電場，與一個(gè)位于球心、電荷量相等的點(diǎn)電荷在同一點(diǎn)產(chǎn)生的電場相同”[1]，但教材并未給出球殼內(nèi)場強(qiáng)的分布情況。郭今戈討論認(rèn)為“均勻帶電球殼內(nèi)部任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度均為零”[2]。近年來，基于這個(gè)結(jié)論命制的高考物理試題時(shí)常出現(xiàn)，如2014年山東卷第19題，2021年江蘇卷第10題等。筆者在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生經(jīng)常錯(cuò)誤地將這個(gè)結(jié)論直接遷移到均勻帶電圓環(huán)，認(rèn)為“電荷均勻分布的細(xì)圓環(huán)，環(huán)內(nèi)任意一點(diǎn)的場強(qiáng)也處處為零”。文獻(xiàn)[2]只討論了均勻帶電圓環(huán)在垂直環(huán)面且過中心的軸線上的電場強(qiáng)度分布特征，而沒有討論環(huán)面內(nèi)任意點(diǎn)的場強(qiáng)。利用電荷分布的對(duì)稱性，可以分析得出圓環(huán)圓心處的場強(qiáng)為零，但環(huán)面內(nèi)其他點(diǎn)的場強(qiáng)實(shí)際并不為零。針對(duì)學(xué)生這個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)，筆者分別采用等效法、微元法和Desmos 軟件定量計(jì)算三種方法，抽絲剝繭，由定性分析到定量計(jì)算，從不同角度分析討論了均勻帶電圓環(huán)在環(huán)平面內(nèi)的電場分布特點(diǎn)，幫助學(xué)生突破該認(rèn)識(shí)誤區(qū)。

1? ? 妙用等效，逆向證明

筆者先從學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下思考：均勻帶電球殼內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，所以球殼內(nèi)任一直徑上各點(diǎn)的場強(qiáng)自然也為零。若要使得均勻帶電圓環(huán)內(nèi)任一直徑上的場強(qiáng)也處處為零，那么帶電圓環(huán)的電荷分布與均勻帶電球殼的電荷分布是否存在某種等效關(guān)系呢？從球殼與圓環(huán)的幾何對(duì)稱性特點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生作如下操作：用與直徑AB垂直的平面分割均勻帶電球殼，可以得到無數(shù)細(xì)圓環(huán)帶（圖1）。由于圓環(huán)帶上的電荷相對(duì)于直徑AB對(duì)稱分布，所以可以得出結(jié)論“每個(gè)均勻帶電圓環(huán)帶在過環(huán)心且垂直環(huán)面的軸線AB上的任意一點(diǎn)M的電場強(qiáng)度方向一定沿軸線AB”。對(duì)于半徑與球殼相同的圓環(huán)來說，如果環(huán)上電荷分布關(guān)于直徑AB是對(duì)稱的，那么關(guān)于直徑AB對(duì)稱的兩個(gè)帶電弧線微元P和P在M處產(chǎn)生的電場場強(qiáng)矢量和一定也沿AB方向（圖2）。另一方面，若使得圖2中的弧線微元P和P所帶電量相等，均為圖1中對(duì)應(yīng)圓環(huán)帶所帶電量的一半[圖1中細(xì)圓環(huán)帶的寬度Δl對(duì)應(yīng)圖2中弧線微元的長度Δl，圓環(huán)帶寬度與弧線微元P（P）對(duì)應(yīng)的θ角相等]，則圓環(huán)面內(nèi)直徑AB上的場強(qiáng)與帶電球殼直徑AB上的場強(qiáng)分布特點(diǎn)是等效的，即處處為零。

這表明只有當(dāng)圓環(huán)上的電荷分布滿足（3）式時(shí)，才能使得直徑AB上的場強(qiáng)處處為零。需要指出的是，（3）式表示的電荷分布滿足的是軸對(duì)稱分布，而不是圓對(duì)稱分布。當(dāng)直徑AB在環(huán)面內(nèi)繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度成為新的直徑A'B'，圓環(huán)上的電荷分布也需隨之改變。只有當(dāng)圓環(huán)上的電荷分布對(duì)新的直徑A'B' 滿足（3）式的軸對(duì)稱分布時(shí)，方可使得新的直徑A'B'上電場場強(qiáng)處處為零。反推之，如果圓環(huán)上的電荷均勻分布[也就是不滿足（3）式]，環(huán)面內(nèi)直徑AB上的場強(qiáng)并不處處為零，那環(huán)面內(nèi)任意點(diǎn)的場強(qiáng)更不可能處處為零了。

2? ? 追根溯源，甄別細(xì)節(jié)

3? ? 借助軟件，定量分析

4? ? 教學(xué)反思

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：物理學(xué)科核心素養(yǎng)主要包括“物理觀念”“科學(xué)思維”“科學(xué)探究”和“科學(xué)態(tài)度與責(zé)任”四個(gè)方面。正確的物理觀念形成途徑之一就是具備問題意識(shí)，善于發(fā)現(xiàn)問題，能夠基于事實(shí)證據(jù)對(duì)不同觀點(diǎn)和結(jié)論提出質(zhì)疑和批判，從不同角度思考問題，進(jìn)行科學(xué)探究和思維加工，然后在此基礎(chǔ)上檢驗(yàn)修正，甚至創(chuàng)造性地提出見解。在問題的解決過程中實(shí)現(xiàn)各種思維方法的內(nèi)化，提升使用科學(xué)證據(jù)進(jìn)行推理論證的意識(shí)和能力，滲透科學(xué)態(tài)度與責(zé)任的培養(yǎng)。

作為一名物理教師，在日常教學(xué)過程中，對(duì)學(xué)生的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)不能簡單否定之，而應(yīng)該善于運(yùn)用等效、類比、微元等思維方法引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行探討分析，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在分析問題時(shí)注意甄別不同方法的細(xì)節(jié)差異。對(duì)于需要通過復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算加以解釋的問題，可以借助如Desmos、GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件給出定量結(jié)果，并將結(jié)果以圖像形式呈現(xiàn)，幫助學(xué)生更加直觀地認(rèn)清問題。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了分析問題的全過程，不但能突破錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，加深對(duì)問題的正確理解，還有利于學(xué)生熟練運(yùn)用和掌握各種思維方法，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注細(xì)節(jié)、主動(dòng)從多角度思考問題的良好思維習(xí)慣，全面提升學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書物理必修第三冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]郭今戈.均勻帶電球殼、球體、圓環(huán)的電場強(qiáng)度探究[J].物理教學(xué)探討，2016，34（2）：57-59.

[3]范小輝.新編高中物理奧賽指導(dǎo)[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2017.

[4]歐陽榮華，歐陽子琪.用Desmos直觀展示均勻帶電圓環(huán)中軸線上電場與電勢(shì)分布規(guī)律[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2020，49（7）：47-50.

（欄目編輯? ? 邱曉燕）