梁 陽，金雪蓮

帶有外部擾動(dòng)的熱波耦合系統(tǒng)的H∞魯棒性

梁 陽1，金雪蓮2

（1.錦州師范高等專科學(xué)校，遼寧 錦州 121001；2.遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

為了研究帶有外部擾動(dòng)的熱波耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先對能量函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并求其導(dǎo)數(shù)，最后在負(fù)比例反饋下，使用Matlab中LMI工具包和矩陣的負(fù)定性得到系統(tǒng)的H∞魯棒性，利用類似方法可以得到在動(dòng)態(tài)反饋下系統(tǒng)的H∞魯棒性。

Lyapunov函數(shù)；負(fù)比例反饋；外部擾動(dòng)；H∞魯棒性

耦合系統(tǒng)是工程學(xué)、力學(xué)和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中重要的研究內(nèi)容之一，特別是耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它的研究具有復(fù)雜性。目前，熱波耦合系統(tǒng)在負(fù)比例反饋和動(dòng)態(tài)反饋這兩種反饋方式下的指數(shù)穩(wěn)定性已經(jīng)得到證明，熱波耦合連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性也已經(jīng)被證明，本文在此基礎(chǔ)上對熱波耦合系統(tǒng)實(shí)施外部擾動(dòng)，研究帶有外部擾動(dòng)的熱波耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在負(fù)比例反饋下，利用Matlab中LMI工具包和矩陣的負(fù)定性得到系統(tǒng)的H∞魯棒性，類似方法可以證明動(dòng)態(tài)反饋條件下系統(tǒng)的H∞魯棒性，為后續(xù)研究系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性以及可觀性反問題等提供了理論基礎(chǔ)。

1 問題描述

本文研究如式(1)所示偏微分方程組所描繪的、帶有外部擾動(dòng)的一維熱波耦合系統(tǒng)，該系統(tǒng)由兩部分組成：一根熱桿，一根振動(dòng)弦。(, -)表示熱桿時(shí)刻位于∈(0, 1)處的溫度；(,)表示熱桿時(shí)刻位于∈(0, 1)處距離平衡位置的位移；對于該系統(tǒng)實(shí)施的外部擾動(dòng)1(,),2(,)∈2(0,∞;2(0,1))[1]。通過分析，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)空間如式(2)所示。

H具有的內(nèi)積如式(3)所示。

式中：=((, -), y(,),y(,))∈。

系統(tǒng)(1)的能量是相應(yīng)于內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，如式(4)所示。

定義[2]魯棒性指系統(tǒng)在不確定參數(shù)攝動(dòng)下，系統(tǒng)維持其自身某種性能（穩(wěn)定、某指標(biāo)）的特性。

本文所研究的H∞邊界控制問題是指[3]，給定＞0和負(fù)比例反饋下，對于所有可容許外部干擾1(,)、2(,)，相應(yīng)于系統(tǒng)(1)的解滿足式(5)。

2 主要結(jié)果

對式(4)兩端求導(dǎo)數(shù)，如式(6)所示。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，如式(8)所示。

式中：0＜＜1，()如式(9)所示。

引理 輔助函數(shù)()滿足式(10)：

證明

式中：

證明

3 結(jié)束語

本文首先對帶有外部擾動(dòng)的熱波耦合系統(tǒng)的能量函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并求其導(dǎo)數(shù)，最后在負(fù)比例反饋下，利用Matlab中LMI工具包和矩陣的負(fù)定性得到系統(tǒng)的H∞魯棒性，為后續(xù)研究系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性以及可觀性反問題等提供了理論基礎(chǔ)。

[1] 鄭福, 李艷. 具有動(dòng)態(tài)邊界阻尼的波方程的降階型差分半離散化的一致指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2020, 37(7): 1589-1594.

[2] Fridmane, Orlovy. An LMI approach to H∞boundary control of semi-linear parabolic and hyperbolic systems[J]. Automatica, 2009, 45: 2060-2066.

[3] 金雪蓮, 張思佳, 鄭福. 熱波耦合系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定及其H∞魯棒性[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2021, 38(12): 2069-2075.

[4] 張恭慶, 林源渠. 泛函分析講義(上冊)[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1987.

[5] Russell D L. A General framework for the study of indirect damping mechanisms in elastic systems[J]. Journal of mathematical analysis and applications, 1993, 173: 339-358.

[6] Gibson J S, Rosen I G, Tao G. Approximation in control of thermoelastic systems[J]. Control and optimization, 1992, 30(5): 1163-1189.

[7] Junior A, Ramos A, Santos L. Observability inequality for the finite-difference semi-discretization of the 1-d coupled wave equations[J]. Comput. Math. 2015, 41: 105-130.

[8] Feng H, Guo B Z. New unknown input observer and output feedback stabilization for uncertain heat equation[J]. Automatica, 2017, 86:1-10.

The H∞Robustness of the Heat-wave Coupled System with External Disturbance

LIANG Yang1, JIN Xue-lian2

（1. Jinzhou Normal College, Jinzhou 121001, China; 2. College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

In order to research the stabilization of the heat-wave coupled system with external disturbance, energy function is derivated. Then, Lyapunov function is built and derivated. Finally, based on negative proportional feedback by using LMI tool kit of Matlab language and negative definiteness of Matrix, the H∞r(nóng)obustness of the heat-wave coupled system with external disturbance is proved. By the analogous method, based on dynamic feedback, the H∞r(nóng)obustness of the system is proved, too.

Lyapunov function; negative proportional feedback; external disturbance; H∞r(nóng)obustness

10.15916/j.issn1674-3261.2022.03.011

O231

A

1674-3261(2022)03-0193-04

2021-08-03

遼寧省教育廳科學(xué)研究經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(JJL201915408)

梁 陽(1972-)，男，遼寧錦州人，助理研究員。

金雪蓮(1979-)，女(朝鮮族)，遼寧錦州人，副教授，碩士。

責(zé)任編輯：陳 明