張 靜，陶彬彬

基于MATLAB的小波去噪的研究

張 靜，陶彬彬

（皖江工學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243031）

小波分析法去噪是當(dāng)前廣泛應(yīng)用的信號去噪方法，為研究小波分析去噪效果，本文首先對小波分析的基本理論進(jìn)行介紹，然后介紹了小波去噪原理，最后通過MATLAB對小波去噪效果及影響因素進(jìn)行實驗仿真。仿真結(jié)果通過波形、信噪比SNR和最小均方誤差MSE進(jìn)行分析。

小波去噪；小波基；閾值；小波包去噪；去噪效果

近些年來，小波分析理論發(fā)展得十分迅速，良好的時域和頻域特性使得其廣泛地被應(yīng)用于實際。在現(xiàn)實中，搜集到的信號往往都是含有噪聲的，噪聲的存在常常會將原始信號所要表達(dá)的信息掩蓋掉，所以，在實際對信號的處理過程中，降噪是首先要進(jìn)行的，并且是非常重要的一個步驟。

小波分析法去噪是當(dāng)前廣泛應(yīng)用的信號去噪方法，小波分析法源于傅里葉變換，卻相比傳統(tǒng)的傅里葉分析去噪而言，更適合于對非平穩(wěn)信號的去噪問題。傅里葉分析去噪適合于平穩(wěn)信號去噪，可是生活中非平穩(wěn)信號是絕大部分的，因此使用傅里葉分析法來去噪就存在著局限性[1]。多分辨率分析是小波分析的特點，并且無論在時域還是頻域內(nèi)，均具有表征信號局部特征的能力[2]。因此，在去噪領(lǐng)域中，小波理論受到了廣泛的關(guān)注，并取得了不錯的效果[1-7]。

小波分析去噪的核心環(huán)節(jié)包括小波基函數(shù)的選擇，閾值函數(shù)的選擇、分解的層數(shù)等，小波包相對于小波分析對于高頻的刻畫更為精細(xì)，小波包去噪也被用于信號的去噪[8-11]。本文主要研究小波去噪，以及影響最終去噪效果的因素，并通過MATLAB進(jìn)行仿真實驗。去噪實驗包括3部分：一是研究小波基選擇、閾值選取、分解層數(shù)對小波分析去噪效果的影響，二是通過對非平穩(wěn)信號去噪，比較小波去噪與傅里葉分析去噪的效果，三是小波包去噪效果的研究。

1 小波理論

1.1 小波變換

其重構(gòu)公式(即小波逆變換)為：

1.2 幾種常見的小波基

小波基選取是小波分析去噪的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，選擇合適的小波基作為小波分析的基函數(shù)，能夠使小波去噪取得不錯的效果。以下為幾種常見的小波基函數(shù)。

(1)Haar小波系

Haar小波的定義為：

Haar小波系為A. Haar提出的一種正交的函數(shù)系，此小波系具備緊支撐性，并且在正交的函數(shù)系中是屬于最簡單的一種[12]。

(2)Daubechies(db)小波系

Daubechies(db)小波函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，是從兩尺度方程系數(shù){h}出發(fā)而設(shè)計的離散正交小波函數(shù)[12]。簡便起見，往往記作為db，為小波的階數(shù)。db也為具備緊支撐正交特性的小波基系列，但是，db(≠1)不具備對稱性的特征，也無顯示表達(dá)式。但是，{h}的傳遞函數(shù)的模的平方卻具備著顯式表達(dá)式。

(3)SymletsA（sym）小波系

SymletsA函數(shù)為一種近似對稱的，緊支集、雙正交特性小波函數(shù)系，為db小波函數(shù)的一種改進(jìn)，此SymletsA函數(shù)一般表示為sym的形式，其中=2,3,4,5,6,7,8[12]。

(4)Coiflet(coif)小波系

Coiflet小波基具有緊支撐正交特性，是由Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，函數(shù)有coif(=1，2，3，4，5)這一系列，Coiflet小波基比db小波基對稱性更好，而且coif與db3、sym3具有相同的支撐長度，與db2、sym2具有相同的消失矩數(shù)目[12]。

雖然小波系有很多種，但是在小波分析中，對于小波基函數(shù)的選取并沒有固定的準(zhǔn)則，通常按照染噪信號的特征以及小波基函數(shù)本身的屬性來進(jìn)行選取[11]。

1.3 小波包理論

小波變換是一種將時域分析、頻域分析聯(lián)系在一起的分析方法，多分辨率分析法是將信號分解為高頻部分和低頻部分的分析方法，可是，通常是將低頻部分保留下來，而對于高頻部分的分析處理往往不知所措[13]。

小波包分析與小波分析相比，突出優(yōu)勢在于，不僅可以對低頻部分進(jìn)行分解，而且可以對高頻部分也實施了分解，(如圖1所示為3層小波包分解圖)，因此，局部分析能力更加精確。

2 小波去噪原理

2.1 小波分析去噪原理

小波去噪一般分為染噪信號的分解、閾值的處理、信號的重構(gòu)3個步驟。

(1)信號的分解：選取小波基對染噪的信號進(jìn)行小波變換。

(2)閾值的處理：事先設(shè)定一個閾值，然后將比設(shè)定閾值低的小波系數(shù)去掉，保留比設(shè)定閾值高的小波系數(shù)，從而可以將噪聲去除，保留住有用信號的信息。

(3)信號的重構(gòu)：用處理后的小波系數(shù)進(jìn)行信號重構(gòu)。

2.2 閾值去噪

模極大值法、空域相關(guān)法、小波閾值法是小波濾波去噪的3種主要的方法，相比較于前2種濾波方法，小波閾值法濾波具有算法簡單、計算量小、濾波效果好等特點，對于信噪比低的信號的處理也比較適用[13]，因此，關(guān)于小波閾值法信號濾波的研究及應(yīng)用較為廣泛[14-16]。

圖1 3層小波包分解圖

小波閾值去噪通?？梢苑譃橛查撝等ピ爰败涢撝等ピ?種。

Donoho提出的硬閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

軟閾值的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

常見的閾值選擇規(guī)則有以下4種：①固定閾值sqtwolog規(guī)則，閾值=2In()；②啟發(fā)式閾值Heursure規(guī)則，為最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇；③自適應(yīng)閾值選擇Rigruse規(guī)則，此種規(guī)則是基于無偏估計；④極大極小閾值Minmaxi規(guī)則，此規(guī)則也是一種固定的閾值選擇規(guī)則[13]。其中，Rigruse、Minmaxi閾值選取規(guī)則在處理噪聲時較為保守，僅將部分系數(shù)置零，而sqtwolog、Heursure閾值選取規(guī)則則將所有系數(shù)處理掉，前者可能會造成去噪不足，后者可能會造成有用信號的高頻部分被當(dāng)成噪聲而去除掉[11]。

閾值函數(shù)以及閾值選取規(guī)則是最終對小波濾波去噪效果產(chǎn)生影響的關(guān)鍵性因素。

2.3 小波包去噪

與小波分析去噪相比，小波包對信號的分解以及重構(gòu)愈加精細(xì)，對低頻部分以及高頻部分均實施分解，因而具有更強(qiáng)、更精確的局部分析能力[11]。

小波包閾值去噪的基本步驟如下：①對信號進(jìn)行小波包分解；②選擇最優(yōu)小波基；③小波包分解系數(shù)的閾值化；④信號的小波包重構(gòu)。

3 去噪實驗仿真

3.1 不同小波基下信號去噪

本實驗為仿真小波基函數(shù)選取、分解的層數(shù)、閾值選取對小波分析最終去噪效果的影響。如圖2為原始信號以及加噪信號。

圖2 原始信號及加噪信號

表1 3層分解的小波分析去噪

coif3sym5db4haar 軟閾值MSE0.14190.13520.13120.1601 硬閾值MSE0.23750.23760.27100.2555 軟閾值SNR30.130330.338830.471129.6059 硬閾值SNR27.893727.890727.320227.5752 加噪SNR21.440921.440921.440921.4409

表2 5層分解的小波分析去噪

coif3sym5db4haar 軟閾值MSE0.05620.05760.05820.1155 硬閾值MSE0.15280.17050.19460.2143 軟閾值SNR34.151934.047633.997331.0237 硬閾值SNR29.807629.334028.758128.3400 加噪SNR21.440921.440921.440921.4409

由表1、表2可得，同一種小波基下，5層分解與3層分解相比，具有更高的信噪比SNR，更低的最小均方根誤差MSE。實驗結(jié)果表明，分解的層數(shù)越多，去噪效果就越好，同時也增大了計算量。

通過表1和表2的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)軟閾值情況下，具有更高的信噪比SNR，更小最小均方誤差MSE，說明噪聲更小，去噪后的信號與原始信號更為接近。

通過4種小波基去噪結(jié)果的數(shù)據(jù)對比可以發(fā)現(xiàn)，coif3、sym5、db4 3種小波基情況下的濾波效果要好于haar小波基情況。coif3小波基、sym5小波基處理噪聲效果比db4小波基略好。因此，小波基的選擇不唯一，沒有一種小波基對任何一種信號去噪都能取得最優(yōu)的效果。所以，實際去噪時，應(yīng)根據(jù)具體情況來選擇適合的小波基函數(shù)對小波進(jìn)行分解。

圖3～圖6分別為不同小波基情況下的去噪波形圖，從中可以發(fā)現(xiàn)coif3、sym5、db4 3種小波基下的去噪效果要好于haar小波基情況。軟閾值去噪效果好于硬閾值，去噪之后跟原信號更接近。但是haar小波基特更適合于連續(xù)性較差的信號的小波去噪，比如block信號。coif3、sym5更適合于連續(xù)性較好的信號的去噪，比如Doppler信號的去噪。

圖3 haar小波基分解的小波去噪

圖4 coif3小波基分解的小波去噪

圖5 sym5小波基分解的小波去噪

圖6 db4小波基下的小波去噪

3.2 小波去噪與傅里葉分析去噪效果比較

首先，產(chǎn)生測試信號—Doppler信號，Doppler信號為一種非平穩(wěn)信號，加入白噪聲，得到原始信號和染噪信號如圖7所示。然后通過小波分析和傅里葉分析分別對加噪的非平穩(wěn)信號進(jìn)行去噪。其中，小波分析法選取sym4小波基對加噪信號進(jìn)行4層分解，閾值選擇采用最優(yōu)預(yù)測變量閾值heursure，軟閾值去噪。

圖7 原始信號及加噪信號

由圖8可知小波分析去噪結(jié)果好于傅里葉分析去噪。在非平穩(wěn)信號的去噪方面，小波分析去噪相對于傅里葉分析具有很大的優(yōu)勢，并且在實際工程應(yīng)用中，大多數(shù)的信號也都為非平穩(wěn)信號。

圖8 小波去噪及傅里葉分析去噪比較

3.3 小波包去噪

3.3.1 分解層數(shù)對去噪效果的影響

先產(chǎn)生bumps測試信號，然后高斯白噪聲加入bumps信號，得到原始信號及加噪信號如圖9所示。然后運用小波包分析對染噪信號進(jìn)行去噪處理，實驗中，小波包分解層數(shù)分別設(shè)置為2層、4層、5層、8層，得到去噪后信號波形如圖10所示。

圖9 bumps信號及加噪信號

圖10 不同分解層數(shù)的小波包去噪比較

從圖10可以發(fā)現(xiàn)，分解的層數(shù)越多，信號的去噪效果就越好，但是，超過4層分解之后，去噪效果改善并不明顯，而更高層的分解反而會增大計算量，因此，小波包分析去噪通常采用4層分解即可。

3.3.2 小波包與小波分析去噪比較

先產(chǎn)生quadchirp測試信號，然后將高斯白噪聲加入quadchirp，得到原始信號及加噪信號的波形如圖11所示。對加噪的quadchirp信號分別采用小波包和小波分析進(jìn)行去噪處理。

圖11 quadchirp信號及加噪信號

小波包去噪方法采用軟閾值去噪，4層分解；小波分析去噪，閾值選擇采用最優(yōu)預(yù)測變量閾值heursure，分別采用軟閾值和硬閾值2種方式，分解層數(shù)為4層。實驗分別選用coif3、sym5、db4、haar 4種小波基作為小波分解的基函數(shù)。仿真結(jié)果如圖12所示。

圖12 小波包去噪與小波去噪比較

圖12為小波包去噪與小波分析軟閾值去噪以及小波硬閾值去噪比較。從圖12可以發(fā)現(xiàn)，對于quadchirp信號而言，小波包去噪的效果明顯好于小波去噪，因為小波包去噪更靈活，對低頻部分和高頻部分同時進(jìn)行分解，局部分析能力更為精確。

表3為小波包去噪和小波去噪的結(jié)果數(shù)據(jù)，通過表3可以發(fā)現(xiàn)，小波包去噪相比較小波硬閾值去噪、小波軟閾值去噪具有更高的信噪比SNR和更低的最小均方誤差MSE，表明對于quadchirp信號而言，小波包去噪的效果要優(yōu)于小波分析去噪。

表3 小波包去噪和小波去噪的比較

heursurecoif3sym5db4haar 軟閾值MSE1.39811.64271.47958.5560 硬閾值MSE1.03871.07561.04287.5115 小波包MSE0.54090.56130.72221.7632 軟閾值SNR10.52139.821010.27542.6539 硬閾值SNR11.811911.660111.79483.2194 小波包SNR14.645714.484513.38989.5135 染噪信號SNR12.154512.154512.154512.1545

仿真實驗中原始信號的獲取采用MATLAB中自帶的小波去噪測試信號：信號Bumps、Doppler和Quad-chirp等，信號Block、Bumps、Heavysine、Doppler以及Quad-chirp，這些信號基本已經(jīng)涵蓋了地震、圖像、光譜以及其他科學(xué)各領(lǐng)域中所涉及的信號特征[10]。

4 結(jié)束語

小波基、閾值、分解層數(shù)都影響著小波分析去噪的效果優(yōu)劣，因此，根據(jù)實際情況選擇適合小波基、分解層數(shù)、閾值可以提高去噪質(zhì)量。在對于非平穩(wěn)信號去噪方面，小波分析更適合。實際上，小波包去噪是一種更為精細(xì)的去噪方法，對于高頻部分也能夠細(xì)致地刻畫，使得去噪后的信號更接近原始信號。

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Research on Wavelet Denoising Based on MATLAB

ZHANG Jing, TAO Bin-bin

（School of Electrical and Information Engineering, Wanjiang University of Technology, Ma'anshan 243031, China）

Wavelet analysis denoising is a widely used signal denoising method at present. In order to study the denoising effect of wavelet analysis, this paper first introduces the basic theory of wavelet analysis, then introduces the principle of wavelet denoising, and finally carries out experimental simulation on the effect and influencing factors of wavelet denoising through MATLAB. The simulation results were analyzed by waveform, SNR and MSE.

wavelet denoising; wavelet basis; threshold; wavelet packet denoising; denoising effect

10.15916/j.issn1674-3261.2022.03.008

TP391

A

1674-3261(2022)03-0177-06

2021-03-17

張靜(1984-)，女，江蘇徐州人，副教授，碩士。

責(zé)任編輯：孫 林