郭元春 陳思源 冀永強(qiáng)

摘 要：極限是微積分學(xué)的核心概念，是研究經(jīng)濟(jì)管理問題的有力工具。本文結(jié)合工程實(shí)際，深入挖掘極限理論蘊(yùn)含著的思政元素，從概念的引入、性質(zhì)的理解以及一些重要結(jié)論等方面進(jìn)行了分析和探討。通過這些教學(xué)設(shè)計(jì)，既能幫助學(xué)生理解抽象的概念和性質(zhì)，又能培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持真理、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

關(guān)鍵詞：極限;經(jīng)管類;無窮小;無窮大;Koch曲線

中圖分類號：G4???? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? doi：10.19311/j.cnki.16723198.2022.17.096

0 引言

2016年12月，習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出，要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程。要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，各門課程都要守好自己的一段渠，種好自己的責(zé)任田，使各類課程與思政課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)。2020年5月， 教育部頒發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》指出，理學(xué)、工學(xué)類專業(yè)課程要在課程教學(xué)中把馬克思主義立場觀點(diǎn)方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)結(jié)合起來，提高學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題和解決問題的能力。理學(xué)類專業(yè)課程，要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感。

《高等數(shù)學(xué)》是普通高校經(jīng)管類專業(yè)的專業(yè)必修課，具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓砸约皯?yīng)用的廣泛性。本課程的授課對象主要是大學(xué)一年級的新生。學(xué)生的特點(diǎn)是對新的環(huán)境具有新鮮感，有挑戰(zhàn)自我的欲望，但是人生觀和價(jià)值觀還沒有定型，缺乏一定的毅力和耐性，也會存在對新環(huán)境不適應(yīng)和迷茫等問題。通過優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)過程，充分挖掘課程中蘊(yùn)含的思政元素，尋找恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)把高校思想政治教育融入課堂教學(xué)中， 在教學(xué)過程中，注重適時(shí)引導(dǎo)教育，把價(jià)值觀引領(lǐng)和人生觀的塑造貫穿于教育教學(xué)的全過程，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

極限是微積分學(xué)的核心概念，是研究經(jīng)濟(jì)管理問題的有力工具。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際、彈性以及復(fù)利等概念都涉及到極限的思想。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，要深入挖掘這些案例中的思政元素，尋找數(shù)學(xué)知識與德育內(nèi)容的銜接點(diǎn)，一方面可以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)理論和建立數(shù)學(xué)思維，另一方面也能引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)創(chuàng)新思維以及堅(jiān)持真理、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

1 “問題導(dǎo)入，激發(fā)興趣”的教學(xué)設(shè)計(jì)

極限的概念可以通過割圓術(shù)引入。學(xué)生通過割圓術(shù)的動態(tài)演示，理解圓的內(nèi)接正多邊形的面積和圓的面積的關(guān)系，自然可以在頭腦中形成極限的概念的雛形。學(xué)生體會到求極限問題是個(gè)動態(tài)的過程。在教學(xué)過程中，以“潤物細(xì)無聲”的方式，傳遞我國數(shù)學(xué)家劉徽的卓越成就，激發(fā)學(xué)生的文化自信和愛國情懷。

極限概念中，無窮小量和無窮大量是兩個(gè)非常重要的基本概念。初學(xué)者容易在理解無窮小和無窮大的運(yùn)算性質(zhì)上有誤區(qū)。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，可以設(shè)置如下三個(gè)問題：

（1）有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小，那么無限個(gè)無窮小的和還是無窮小嗎？

（2）無窮大和無窮大的和還是無窮大嗎？

（3）無窮大和無窮大的差是無窮小嗎？

對于問題（1），老師給定數(shù)列xn=1n，讓學(xué)生驗(yàn)證。顯然，

在n→∞時(shí)，xn=1n→0，所以上述極限是無窮多個(gè)無窮小的求和問題。通過這個(gè)答案可以得到：無限個(gè)無窮小的和不一定是無窮小。

這個(gè)結(jié)果說明要用發(fā)展的眼光來看待的事情，不能因循守舊，墨守成規(guī)。也能直觀地讓學(xué)生體會有限到無限，量變到質(zhì)變的過程，讓學(xué)生明白積少成多，厚積薄發(fā)的人生哲理。

對于問題（2），老師給定數(shù)列xn=n，yn=-n，讓學(xué)生驗(yàn)證，顯然，

在n→∞時(shí)，xn=n→∞，yn=-n→∞，但limn→∞xn+yn=0，即無窮大和無窮大的和不一定是無窮大。

在理解無窮大的概念時(shí)，一定要注意無窮大是指絕對值無限增大的量，有正無窮大和負(fù)無窮大之分。二者同屬無窮大，但是在數(shù)軸上看是兩個(gè)極端，求和時(shí)會出現(xiàn)相抵的情形。

對于問題（3），老師給定數(shù)列xn=n2，yn=n，二者同為正無窮，讓學(xué)生驗(yàn)證，顯然，

在n→∞時(shí)，xn=n2→∞，yn=n→∞，但limn→∞xn-yn=∞，即無窮大和無窮大的差不一定是無窮小。 這個(gè)結(jié)果也印證了學(xué)海無涯的道理，提醒學(xué)生做人，做事要謙虛，要有勇攀高峰的堅(jiān)韌品格。

借助這個(gè)例子，引出無窮大的階的概念。 讓學(xué)生領(lǐng)會在自變量趨于無窮大時(shí)，基本初等函數(shù)中的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)之間階的不同。

極限概念的產(chǎn)生，經(jīng)歷了千年的歷史，從直覺地感受到描述性定義，再到精確性定義，實(shí)際上是一個(gè)從特殊到一般，從直觀到抽象的過程，引導(dǎo)學(xué)生做人做事要有耐心，要有堅(jiān)持不懈的專注精神。

2 “探究未知，挑戰(zhàn)自我”的教學(xué)設(shè)計(jì)

在掌握極限的概念之后，提出教學(xué)任務(wù)：讓學(xué)生探究Koch曲線的周長和面積。

Koch曲線是分形幾何中的一個(gè)典型范例，如圖1所示。 Koch曲線可由一個(gè)正三角形生成，即將正三角形的每一邊三等分后將中間一段向外凸起成一個(gè)以該段長度為邊長的正三角形（去掉底邊），然后對每一段直線又再重復(fù)上述過程（圖2所示），這樣無休止地重復(fù)下去即得Koch曲線。

設(shè)初始的正三角形的邊長為a，周長為l0，面積為s0，第k次分形后的周長為lk，面積為sk。通過觀察圖2的變化過程，讓學(xué)生分析計(jì)算得到第一次、第二次分形后的邊數(shù)、周長和面積，再通過歸納總結(jié)，可以得到k次分形后的結(jié)果，如表1。

隨著分形次數(shù)k的無限增加，Koch曲線的周長lk會無限增大，而Koch曲線的面積sk會無限趨于85s0。也就是說Koch曲線的周長無限，面積有限。這個(gè)結(jié)果與矩形、三角形、梯形、平行四邊形、圓等基本圖形的結(jié)論不一致，會引發(fā)學(xué)生對于未知知識的渴望，也會讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)新知識的時(shí)候要基于舊知識，但是也不能完全照搬照抄，要突破常規(guī)。

對于Koch曲線周長和面積這個(gè)問題，整個(gè)探究學(xué)習(xí)過程經(jīng)歷了從觀察、猜想、歸納的過程，通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性的要求，逐步培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持真理，一絲不茍，實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。本題的結(jié)論也會啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3 “環(huán)環(huán)緊扣，夯實(shí)基礎(chǔ)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

極限的概念和性質(zhì)可以幫我們準(zhǔn)確的理解極限的本質(zhì)，極限的計(jì)算對微積分的核心概念都有重要的作用。熟練地掌握極限的運(yùn)算技巧可以后續(xù)知識的學(xué)習(xí)做好充足的準(zhǔn)備。

極限的計(jì)算中，無窮小的等價(jià)替換原理也是一個(gè)常用的計(jì)算方法。該方法在替換的時(shí)候只能在乘除因子中進(jìn)行，如

limx→01-cos2xxsinx=limx→0122x2x2=2

是正確的，但是

limx→0x-sinxx3=limx→0x-xx3=0

就是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的源頭還是對等價(jià)無窮小的概念理解不到位，因此必須在講等價(jià)無窮小的概念時(shí)做足準(zhǔn)備。由limx→0sinxx=1，limx→0x-x2x=1可以得到：當(dāng)x→0時(shí)，sinx及x-x2均與x等價(jià)，顯然等價(jià)不是等于，二者本質(zhì)上是不同的。等價(jià)的兩個(gè)無窮小直接差的是一個(gè)比其自身高階的無窮小量， x-sinxx3的分子x-sinx是較x高階的無窮小，而不能認(rèn)為是0。

在學(xué)習(xí)極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，會講到∞∞未定型的極限，如：

limx→∞a0xn+a1xn-1+…+anb0xm+b1xm-1+…+bn

一般的技巧是分子、分母同時(shí)除以分子分母的最高次冪。把無窮大通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算化為無窮小，從而得到

limx→∞a0xn+a1xn-1+…+anb0xm+b1xm-1+…+bn=0，n<ma0b0，n=m∞，n>m

實(shí)際上，當(dāng)x→∞時(shí)， xn-1的階比xn的階要小，即當(dāng)x→∞時(shí)，a1xn-1+…+ana0xn，

所以在計(jì)算這個(gè)分式的極限時(shí)，分子中a1xn-1+…+an，分母中b1xm-1+…+bn的部分可以忽略，從而這個(gè)極限本質(zhì)上計(jì)算的就是limx→∞a0xnb0xm。讓學(xué)生通過無窮大的階來記憶，可以直接口算得出答案。由于這個(gè)方法是將無窮大的最高階留下來，而其他低階的部分全部忽略，所以形象地稱為抓大頭公式。這個(gè)公式也可以借助處理問題抓主要矛盾，引導(dǎo)學(xué)生重溫毛主席的經(jīng)典著作《矛盾論》，從而將數(shù)學(xué)思想與哲學(xué)原理聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為他們的日常思維習(xí)慣。

在計(jì)算1∞未定型的某些題目時(shí)，熟練地應(yīng)用抓大頭公式可以快速地解決計(jì)算問題。比如求極限limx→∞x2+1x2-1x，利用抓大頭公式，可以確定該極限為1

SymboleB@未定型，可以利用第二個(gè)重要極限計(jì)算，不難得到

limx→∞x2+1x2-1x=limx→∞1+2x2-1x=limx→∞1+2x2-1x2-122xx2-1

再次對指數(shù)部分利用抓大頭公式，得到limx→∞2xx2-1=0，從而原極限等于1。這個(gè)題屬于第二個(gè)重要極限的例題，但是這個(gè)題目用到了前面說到的抓大頭公式，知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)很緊密。

通過這些實(shí)例，要提醒學(xué)生高等數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)都不是獨(dú)立的，知識點(diǎn)之間都有著聯(lián)系，所以學(xué)習(xí)時(shí)一定要踏踏實(shí)實(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)，切忌好高騖遠(yuǎn)，碎片化學(xué)習(xí)。

3 結(jié)束語

理學(xué)課程要在課程教學(xué)中一方面要提高學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題和解決問題的能力，另一方面要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，從多個(gè)角度深入分析課程思政建設(shè)內(nèi)容，將課程的教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為對學(xué)生進(jìn)行價(jià)值引額的有效載體，在講授知識、培養(yǎng)能力的同時(shí)塑造學(xué)生的品德和價(jià)值觀，從而實(shí)現(xiàn)“知識傳授、能力培養(yǎng)與價(jià)值引領(lǐng)”相融合的教學(xué)目標(biāo)，最終提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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