吳耀勝，劉勤明，葉春明

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093)

隨著社會(huì)的發(fā)展，對(duì)于設(shè)備可靠性的要求越來(lái)越高，對(duì)設(shè)備制定合理的維修策略可以有效地增加企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力，由于設(shè)備故障帶來(lái)的生產(chǎn)線停產(chǎn)會(huì)使企業(yè)的利潤(rùn)減少，甚至?xí)蛊髽I(yè)遭受巨大的損失，所以對(duì)設(shè)備制定有效的維護(hù)計(jì)劃具有重要的意義。

設(shè)備維護(hù)是企業(yè)運(yùn)營(yíng)管理的重要內(nèi)容之一，進(jìn)行有效、科學(xué)的維修活動(dòng)可以有效降低企業(yè)的運(yùn)營(yíng)成本，增加企業(yè)的盈利能力。Zhou等[1]提出一種以可靠性為中心的維修策略，通過(guò)引入役齡遞減因子與故障率遞增因子建立基于設(shè)備可靠性的預(yù)防性維修模型，最后討論不同的成本參數(shù)對(duì)維修策略的影響。Malik[2]和Nakagawa等[3]先后通過(guò)利用等效役齡與故障率遞增來(lái)描述設(shè)備在維修前后的故障率變化，給單設(shè)備預(yù)防性維護(hù)建模提供基本方案。Ahmad[4]和Le等[5]分別基于設(shè)備維修成本和可靠性建立了非周期預(yù)防性維修優(yōu)化模型，并對(duì)模型進(jìn)行求解。金玉蘭等[6]以多部件設(shè)備為研究對(duì)象，提出非等周期維修策略，運(yùn)用馬爾可夫過(guò)程建立不同維修策略的轉(zhuǎn)移概率表達(dá)式，解決組合的預(yù)防維修策略問(wèn)題。韓幫軍等[7]在小修的基礎(chǔ)上加入預(yù)防性維修，建立順序性預(yù)防性維修模型。鄧超等[8]將設(shè)備的退化過(guò)程進(jìn)行分段，并對(duì)維修資源進(jìn)行分類(lèi)，提出分階段順序維修模型。石慧等[9]考慮設(shè)備壽命為維修闕值的預(yù)防性維護(hù)策略，利用微粒群算法對(duì)預(yù)防性維修模型進(jìn)行求解，使平均費(fèi)用最小。張斌等[10]考慮退化和隨機(jī)沖擊對(duì)系統(tǒng)可靠度的影響，構(gòu)建預(yù)防性維修模型并引入役齡回退因子，建立費(fèi)用率函數(shù)最小的目標(biāo)函數(shù)，并分析參數(shù)對(duì)維修策略的影響。宋之杰等[11]建立等周期維修模型，以考慮動(dòng)態(tài)成本和可用度為約束為條件。王靈芝等[12]建立多部件成組維修優(yōu)化模型，以系統(tǒng)可靠度最大化和維修費(fèi)用最小化為目標(biāo)函數(shù)。

然而，很多文獻(xiàn)[13-18]沒(méi)有考慮設(shè)備維修成本的動(dòng)態(tài)性以及改善因子的可變性，本文采用混合故障率函數(shù)，綜合考慮動(dòng)態(tài)的役齡改善因子及故障率遞增因子對(duì)故障率的影響。隨著設(shè)備逐漸老化和故障逐漸增多，考慮現(xiàn)實(shí)的可操作性，本文為了避免等周期維修的不實(shí)際性以及非等周期的不易操作性，根據(jù)設(shè)備退化過(guò)程不同的特征，將維修階段分成不同的3個(gè)階段，在每個(gè)階段內(nèi)進(jìn)行等周期維修，這樣更具有可操作性。本文以總的費(fèi)用率為目標(biāo)函數(shù)，一定的可靠度為約束條件以保證設(shè)備的可靠運(yùn)行，建立分階段等周期的維修優(yōu)化模型。

1 問(wèn)題描述

設(shè)備維修的方式一般有小修、不完全維修和更換3種。本文考慮設(shè)備的退化過(guò)程中的不同特性，將設(shè)備的維修過(guò)程分成3個(gè)不同的階段，每個(gè)階段的維護(hù)間隔都為固定的時(shí)間，如表1所示。其中，階段1表示設(shè)備在剛開(kāi)始運(yùn)行的一段時(shí)間內(nèi)狀態(tài)良好，具有較低的故障率；階段2表示設(shè)備在運(yùn)行一段時(shí)間后，狀態(tài)變差，故障率也出現(xiàn)增加的趨勢(shì)；階段3表示設(shè)備經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行，狀態(tài)比較差，故障經(jīng)常發(fā)生，需進(jìn)行多次預(yù)防性維修。

表1 順序維修不同階段的特征Table 1 Characteristics of different stages of sequential maintenance

根據(jù)分析3個(gè)階段設(shè)備的退化特點(diǎn)，將維修過(guò)程分成不同的3個(gè)階段。

分階段順序維修決策步驟如下。

1) 根據(jù)設(shè)備在生命周期內(nèi)退化的不同特性，將維修階段分成3個(gè)不同的階段，在每階段進(jìn)行N1、N2和N3次預(yù)防性維修。

2) 在每個(gè)階段有固定的維修時(shí)間，每個(gè)階段的維修時(shí)間分別是T1、T2和T3。

3) 在每個(gè)預(yù)防性周期若發(fā)生故障則進(jìn)行小修，每個(gè)預(yù)防性周期結(jié)束后進(jìn)行不完全維修，3個(gè)階段維護(hù)結(jié)束后對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性更換。

在維修3個(gè)階段中的各個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，為了保證設(shè)備的正常運(yùn)行，需要可靠度在一定的數(shù)值之上。

2 符號(hào)說(shuō)明和模型假設(shè)

2.1 符號(hào)說(shuō)明

cf：固定成本；

cv：可變成本；

Cr：更換成本；

Tr：更換時(shí)間；

a：設(shè)備維修成本的調(diào)整參數(shù)；

b：為不完全維修次數(shù)的調(diào)整參數(shù)；

Ti：第i次維護(hù)間隔時(shí)間；

Cm：小修費(fèi)用；

tm：小修時(shí)間；

tpmi：第i次預(yù)防性維修所需要的時(shí)間；

Cp：?jiǎn)挝粫r(shí)間停機(jī)損失；

N1：第1階段維護(hù)次數(shù)；

N2：第2階段維護(hù)次數(shù)；

N3：第3階段維護(hù)次數(shù)；

λ(t)：故障率函數(shù)；

αi：第i次不完全維修的役齡改善因子；

bi：故障率遞增因子。

2.2 模型假設(shè)

1) 在維護(hù)期內(nèi)設(shè)備如果發(fā)生故障，則對(duì)設(shè)備進(jìn)行小修，小修的時(shí)間和成本都是不變的。

2) 在每個(gè)維護(hù)周期結(jié)束后，對(duì)設(shè)備采用不完全維修方式，通過(guò)引入改善因子描述設(shè)備故障率的變化，不完全維修的維修時(shí)間和維修成本是隨著維修次數(shù)的增加而逐漸增加。

3) 對(duì)設(shè)備進(jìn)行更換是在最后一個(gè)維護(hù)周期結(jié)束后進(jìn)行，更換時(shí)間和成本是一定值。

3 動(dòng)態(tài)不完全預(yù)防性維修模型的構(gòu)建

3.1 動(dòng)態(tài)不完全維修成本

由于設(shè)備在運(yùn)行中狀態(tài)不斷退化，要使設(shè)備正常運(yùn)作，設(shè)備的可靠性保證在一定的范圍內(nèi)，維修成本是逐漸增加的。本文中的不完全維修成本是一個(gè)動(dòng)態(tài)成本，它是由固定成本cf和可變成本cv組成，即不完全維修成本可以表示為

其中，i表示第i次不完全維修。隨著設(shè)備的不完全維修次數(shù)的增加，每次的不完全維修成本也在逐漸增加。

3.2 混合故障率函數(shù)

考慮設(shè)備不完全維修會(huì)使設(shè)備的役齡回退，運(yùn)行時(shí)間的增加會(huì)使設(shè)備的故障率增加，所以本文通過(guò)役齡改善因子來(lái)描述經(jīng)過(guò)第i次預(yù)防性維修的故障率函數(shù)的變化，設(shè)備的故障率函數(shù)變?yōu)?/p>

其中，αi為役齡改善因子，0＜αi＜1。再次引入故障率遞增因子bi，

從而得到混合故障率函數(shù)為

其中，故障率役齡改善因子為

式中，i表示不完全維修次數(shù)；0＜a＜。

設(shè)備在第i個(gè)預(yù)防性維護(hù)周期中的可靠度函數(shù)為

通過(guò)引入役齡改善因子，設(shè)備在第i次預(yù)防性維修中的故障率函數(shù)λi(t)可以得到

為了保證設(shè)備正常運(yùn)行，設(shè)備的可靠度應(yīng)該滿足

其中，Ti為維修間隔時(shí)間，i=1,2,3,···,N。

3.3 設(shè)備維護(hù)成本

設(shè)備在維護(hù)期內(nèi)發(fā)生故障需進(jìn)行小修會(huì)產(chǎn)生小修成本，預(yù)防性維修會(huì)有動(dòng)態(tài)的維修成本，對(duì)設(shè)備更換時(shí)會(huì)有更換成本，還有停機(jī)會(huì)產(chǎn)生停機(jī)成本。

1) 若設(shè)備在預(yù)防性維護(hù)期內(nèi)發(fā)生故障，則采用小修方式進(jìn)行維修。

設(shè)備總的小修費(fèi)用為

設(shè)備小修總時(shí)間

2)當(dāng)運(yùn)行時(shí)間達(dá)到維修間隔時(shí)間時(shí)對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修。設(shè)備的預(yù)防性維修成本是隨著維修次數(shù)而逐漸變化的，設(shè)備在生命期總的預(yù)防性維修成本為

設(shè)備在第i次預(yù)防性維修所需要的時(shí)間為tpmi=。其中，k是時(shí)間調(diào)整因子?？偟念A(yù)防性維修時(shí)間為

3) 設(shè)備的更換成本是Cr，設(shè)備的更換時(shí)間為T(mén)r。

4) 停機(jī)損失成本。停機(jī)總時(shí)間為

設(shè)備停機(jī)總成本為Cs=CpT。其中，Cp為單位時(shí)間停機(jī)損失。

設(shè)備總的維修成本為

3.4 分階段順序維修模型

以總費(fèi)用率最小為優(yōu)化目標(biāo)，一定的可靠度為約束條件，建立分階段順序維修模型。

式中，N1、N2、N3、Ti為決策變量，并滿足下面約束條件

4 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證模型的有效性，給出以下實(shí)例進(jìn)行分析。假設(shè)某生產(chǎn)設(shè)備的故障率服從 β=3，η=190的威爾布分布，即λ(t)=,t≥0。模型中的參數(shù)分別為cf=6 000，cv=200，Cm=7 000，Cp=4 000，Cr=600 000，tm=0.5d,Tr=1.5d，a=0.3，b=0.5，bi=1.1，k=3，Cn=5 000，Cpm=8 000，R0=0.85。

4.1 求解步驟

1) 代入相關(guān)參數(shù)值，使N=N1+N2+N3=3；

2) 使N1、N2、N3取值為正整數(shù)，利用 Matlab中的非線性約束優(yōu)化工具進(jìn)行求解，得到維修間隔期為T(mén)?時(shí)間的最小費(fèi)用率C?和最優(yōu)的預(yù)防性維護(hù)次數(shù)N1?、N2?、N3?；

3) 令N=N+1，用同樣的方法再次求解此時(shí)的T*和C?，并比較C?(N)和C?(N?1)；

4) 如果C?(N)＜C?(N?1)，轉(zhuǎn)至第3步，否則，輸出N?=N?1時(shí)的T*和N1?、N2?，N3?，即為各個(gè)階段的最優(yōu)維護(hù)次數(shù)。

4.2 結(jié)果分析

圖1反映了3個(gè)階段不同的維修次數(shù)與費(fèi)用率之間的關(guān)系。由圖1可得費(fèi)用率隨著維修次數(shù)的增加先減少后增加，當(dāng)N=10時(shí)費(fèi)用率最小，即3個(gè)階段預(yù)防性維修次數(shù)分別為N1=3次，N2=4次，N3=3次，最小費(fèi)用率為900.32元/d。

圖1 預(yù)防性維修次數(shù)與費(fèi)用率的關(guān)系Figure 1 The relationship between the number of preventive maintenance and the cost rate

此時(shí)的預(yù)防性維修間隔期如表2所示。設(shè)備在運(yùn)行時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng)的情況下，發(fā)生故障的概率逐漸增加，所以維修間隔時(shí)間縮短。在保證設(shè)備可靠性大于0.85的情況下，設(shè)備壽命周期為745.977 d。

表2 最小費(fèi)用率時(shí)的維修間隔期TiTable 2 Maintenance interval Ti at minimum cost rate d

考慮不同可靠度約束對(duì)模型的影響，本文的可靠度下限值為0.85。為了分析不同的可靠度下限對(duì)模型的影響，可靠度下限分別取0.7、0.75、0.8、0.85、0.9、0.95。設(shè)備費(fèi)用率的變化規(guī)律如圖2所示?？煽慷认孪拗翟?.85到0.9之間費(fèi)用率變化較大。設(shè)備所需要可靠度較大時(shí)，需要頻繁的維修以致帶來(lái)較高的維修費(fèi)用。當(dāng)可靠度下限值低于0.85時(shí)，由于設(shè)備的可靠性要求不是很高，相應(yīng)的費(fèi)用率變化不是十分明顯。

圖2 不同可靠度下的費(fèi)用率Figure 2 Expense rate under different reliability

4.3 結(jié)果比較

為驗(yàn)證本文提出模型的有效性，與一般順序維修模型進(jìn)行比較，一般順序維修模型是在設(shè)備的生命周期內(nèi)，每隔時(shí)間Ti后進(jìn)行預(yù)防性維修，直到進(jìn)行N-1次預(yù)防性維修，在第N次周期后對(duì)設(shè)備進(jìn)行更換。在每個(gè)維護(hù)周期內(nèi)如果發(fā)生故障則進(jìn)行小修。

一般順序維修策略的費(fèi)用率函數(shù)為

式中，Cpm為一次預(yù)防性維修費(fèi)用；Cm為小修費(fèi)用；Cr為更換費(fèi)用；Cn為停機(jī)損失成本；λi(t)為故障率函數(shù)；Ti為第i個(gè)維修的間隔期。

對(duì)一般順序模型進(jìn)行求解，結(jié)果如圖3所示。一般順序維修模型的最佳維修次數(shù)是12次，維修間隔從107.932到38.232依次遞減，設(shè)備的整個(gè)生命周期長(zhǎng)度是814.616 d；而分階段順序維修的最佳維修次數(shù)是10次，設(shè)備的整個(gè)生命周期長(zhǎng)度為745.977 d，雖然設(shè)備的生命周期縮短，但是最佳維修次數(shù)減少，可以有效地減少維修費(fèi)用。這表明一般順序維修模型可以將設(shè)備的可靠度保持在要求的范圍內(nèi)，但是由于后期設(shè)備維修的頻繁性，會(huì)導(dǎo)致維修費(fèi)用的增加和相應(yīng)的停機(jī)損失，然而分階段順序維修模型可以克服這個(gè)缺點(diǎn)，既具有經(jīng)濟(jì)性也具有現(xiàn)實(shí)可操作性。

圖3 模型的維修次數(shù)和維修間隔Figure 3 The number of repairs and repair intervals of the model

兩種模型優(yōu)化結(jié)果對(duì)比：一般順序維修的最小費(fèi)用率1 132.45元/d，而分階段順序維修的的最小費(fèi)用率為900.32元/d，所以分階段順序優(yōu)化模型在一定程度上來(lái)說(shuō)降低了最小費(fèi)用率。分階段維修模型避免設(shè)備后期由于高故障率而進(jìn)行頻繁的維修策略，較少的最佳維修次數(shù)可以減少維修的費(fèi)用。因此，分階段順序維修模型更加適合實(shí)際維修過(guò)程中的應(yīng)用。

再次比較一下一般順序維修策略和分階段順序模型在可靠度分別為0.75、0.8、0.85、0.9、0.95下的費(fèi)用率差別。結(jié)果如圖4所示。在相同可靠度條件下，分階段順序維修模型優(yōu)于一般順序維修模型，因?yàn)橐话沩樞蚓S修在設(shè)備運(yùn)行較長(zhǎng)時(shí)間后，故障率的增加，故障出現(xiàn)的頻率增加，從而頻繁地進(jìn)行維修，造成停機(jī)損失費(fèi)用，所以導(dǎo)致其維修費(fèi)用率大于分階段順序維修。從圖4中可見(jiàn)，分階段順序維修模型的費(fèi)用率比一般順序維修模型更加節(jié)約維修費(fèi)用，節(jié)約費(fèi)用大約為10%～20%。因此分階段順序維修模型更具有經(jīng)濟(jì)性和實(shí)際操作性。

圖4 不同維修策略費(fèi)用率的對(duì)比Figure 4 Comparison of cost rates of different maintenance strategies

5 結(jié)論

本文考慮設(shè)備維修成本的動(dòng)態(tài)性和改善因子的可變性，以及傳統(tǒng)等周期維護(hù)的不實(shí)際性和彈性維護(hù)周期的操作性的難度，提出基于混合故障率的分階段順序維修優(yōu)化模型，綜合考慮突發(fā)性故障成本、預(yù)防性維修成本、更換成本和停機(jī)損失成本等成本，以總費(fèi)用率最小為目標(biāo)函數(shù)，得出相應(yīng)的每個(gè)階段的預(yù)防性維修次數(shù)與每個(gè)階段的預(yù)防性維修時(shí)間。分階段順序維修優(yōu)化模型既能使總的費(fèi)用率最小化，也能保證設(shè)備的可靠度和實(shí)際操作中的可行性。