史保莉，徐 琪，孫中苗

(東華大學(xué) 旭日工商管理學(xué)院，上海 200051)

新零售時代，時尚服裝網(wǎng)絡(luò)銷售勢頭強(qiáng)勁，消費者對時尚服裝的個性化要求越來越高，市場需求的不確定性逐漸增強(qiáng)。時尚服裝具有季節(jié)性強(qiáng)、受產(chǎn)品時尚度影響大等特點，容易導(dǎo)致大量過時產(chǎn)品庫存積壓和資源浪費。海瀾之家2018年上半年存貨賬面余額達(dá)90.26億元，著名的快時尚品牌H&M公司在2018年未售出產(chǎn)品總值達(dá)到40億美元[1]。零售商可以通過自身的時尚努力逐步提高產(chǎn)品的時尚度。例如，利用假人模特、平面廣告等方式提高產(chǎn)品的時尚度。然而零售商付出時尚努力需要投入一定的成本。因此，如何根據(jù)顧客需求對庫存的影響以及時尚度隨時間不斷衰減的特征，確定零售商的定價、時尚努力水平以及訂貨等決策，從而優(yōu)化庫存，提高企業(yè)收益具有重要意義。

服裝公司為了促進(jìn)需求，降低庫存水平紛紛采用動態(tài)定價策略[2]。動態(tài)定價也被廣泛地應(yīng)用于航空、酒店、易逝品、電子產(chǎn)品等行業(yè)[3]。Sato[4]利用動態(tài)定價機(jī)制考慮價格趨勢，并針對企業(yè)應(yīng)用容量控制策略的情況構(gòu)建動態(tài)定價模型。Lamas等[5]研究兩家公司制造和出售可替代產(chǎn)品時的聯(lián)合定價和生產(chǎn)計劃。林志炳等[6]采用最優(yōu)控制方法求解最優(yōu)價格和服務(wù)函數(shù)，分析時間衰變因子對最優(yōu)價格的影響。王文杰等[7]運用最優(yōu)控制的變分法求解存在競爭的兩個眾包物流服務(wù)商的動態(tài)價格。上述的動態(tài)定價在時尚服裝行業(yè)的應(yīng)用研究較少，進(jìn)一步考慮服裝時尚度的屬性特性研究更少。因而，本文考慮時尚服裝的時尚度隨時間不斷衰減的特性，探討企業(yè)通過投入時尚努力提高產(chǎn)品時尚度的動態(tài)定價決策問題。

目前關(guān)于時尚產(chǎn)業(yè)中庫存管理的研究主要分為3個研究方向。第1個研究方向是關(guān)于庫存計劃決策方面的研究。Bowers等[8]構(gòu)建基于服裝生產(chǎn)計劃和調(diào)度的動態(tài)三層模型，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)能夠提高按時交貨率。Fisher等[9]以銷售損失、拖欠訂單和庫存成本最低為目標(biāo)確定補貨訂單數(shù)量和再次訂購時間。Tsao[10]構(gòu)建允許貿(mào)易信貸和部分積壓的時尚產(chǎn)品庫存控制分析模型。第2個研究方向是供應(yīng)鏈中風(fēng)險或協(xié)調(diào)的研究。Donohue[11]發(fā)現(xiàn)實現(xiàn)帕累托最優(yōu)條件是采用不同的生產(chǎn)策略。Ma等[12]構(gòu)建損失規(guī)避型零售商的兩階段庫存計劃模型。第3個研究方向是關(guān)于快速響應(yīng)(quick response,QR)策略的研究。Fisher等[13]提出基于需求概率分布來確定制造商生產(chǎn)數(shù)量的響應(yīng)性方法。Chen等[14]研究具有隨機(jī)性和價格敏感型需求的兩階段供應(yīng)鏈最優(yōu)化問題。Aviv等[15]考慮消費者會因為商家后期的價格折扣推遲購買行為，研究零售商的最優(yōu)定價決策。

關(guān)于時尚產(chǎn)業(yè)中庫存管理的研究，較少明確地考慮定價和訂貨策略。進(jìn)一步，考慮時尚產(chǎn)品的屬性進(jìn)行定價和庫存決策的研究更少。因此，本文根據(jù)時尚服裝易受季節(jié)性、時尚度等影響的特點，建立依賴價格和時尚度的時變需求函數(shù)，構(gòu)建零售商通過投入時尚努力提高產(chǎn)品時尚度的動態(tài)定價和訂貨策略模型，并運用Pontryagin最大值方法分析服裝零售商應(yīng)如何動態(tài)調(diào)整價格和時尚努力投入使自身收益最大化。

1 模型描述與構(gòu)建

1.1 問題描述

考慮單一的零售商銷售單一的時尚服裝產(chǎn)品，消費者均為價格和時尚度敏感型。零售商有I0單位的初始庫存的時尚服裝，單位產(chǎn)品訂購成本為c，零售商的銷售周期為T。本文采用與文獻(xiàn)[16]類似的需求函數(shù)形式，構(gòu)建需求函數(shù)為D(p(t),ω(t))=γω(t)(α?βp(t))。相關(guān)符號描述如表1所示。

由于服裝零售商的庫存水平僅隨著需求的增大而逐漸減少[16]，則時尚服裝庫存的減少率為=?D(p(t),ω(t))，I(T)=0表示銷售期末庫存水平為零。隨著產(chǎn)品逐漸普及，產(chǎn)品時尚度逐漸降低甚至出現(xiàn)“過時”現(xiàn)象。服裝零售企業(yè)時尚努力水平的高低影響著產(chǎn)品的時尚度，則零售商投入時尚努力時，服裝產(chǎn)品的時尚度隨時間的變化率為=?ρω(t)+u(t)，ω(0)=ω0。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)以上問題描述，在單個銷售周期內(nèi)，服裝零售商的期望收益函數(shù)為

2 模型求解與分析

2.1 零售商投入時尚努力的情形

使用Pontryagin 極大值原理，對上述利潤目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解分析。由于式(1)利潤函數(shù)難以得到解析解，為此，引入拉格朗日乘子 λ1和 λ2(也稱影子價格)，對零售商投入時尚努力時的最優(yōu)控制問題構(gòu)建漢密爾頓函數(shù)并進(jìn)行求解。

由于以上最優(yōu)控制問題中的服裝的初始庫存水平I(t)和季末時尚度水平 ω(t)是自由狀態(tài)，因此，根據(jù)橫截條件，則共態(tài)變量為 λ1?(t)=ht。即影子價格λ1*(t)是時間的增函數(shù)，且斜率為h。由于影子價格λ1*(t)表示庫存約束條件對目標(biāo)函數(shù)的影響，因而，隨著時間的推移，庫存變化率對服裝零售商期望收益的影響逐漸增大。

根據(jù)漢密爾頓函數(shù)關(guān)于時尚努力水平和銷售價格的最優(yōu)性條件，可知?H/?u=?ku(t)+λ2(t)=0和?H/?p=αγω(t)?2γω(t)βp(t)+βγω(t)λ1(t)=0。

定理1服裝零售商投入時尚努力時的最優(yōu)零售價格為p*(t)=(α+htβ)/2β。

證明由上述整理得γω(t)[α?2βp(t)+λ1(t)β]=0，則α?2βp(t)+λ1(t)β=0，因此，可得服裝零售商的最優(yōu)零售價格p*(t)，證畢。

由定理1可知，服裝零售商的最優(yōu)零售價格隨時間單調(diào)遞增，且斜率為h/2。這說明在銷售期初較低的價格可以刺激需求。服裝零售商的最優(yōu)零售價格僅與市場初始規(guī)模、單位庫存持有成本、時間和價格敏感系數(shù)有關(guān)，且隨著市場初始規(guī)模、單位庫存持有成本的增大而增大，隨著價格敏感系數(shù)的增大而減小。

推論1影子價格，即共態(tài)變量λ2(t)≥0恒成立，且隨著時間t的增大而減小。

證明利用反證法，設(shè)t∈[0,T]時，λ2(t)＜0。整理得=ρλ2?γ(α?βλ1)2/4β≤0，即 λ2隨著時間t的增大而減小，這與λ2(T)=0 相矛盾，故共態(tài)變量λ2(t)≥0恒成立。證畢。

影子價格λ2*(t)表示時尚度約束條件對目標(biāo)函數(shù)的影響。由推論1可知，λ2(t)隨著時間t的增大而減小，因而隨著時間的推移，時尚度衰減變化率對服裝零售商期望收益的影響逐漸減小。所以，服裝零售商在銷售期初通過投入時尚努力能夠獲得顯著效果，而在銷售后期投入時尚努力來提高收益的效果不佳。

定理2由u?(t)=，則服裝零售商投入的最優(yōu)時尚努力水平為

由定理2可知，服裝零售商的最優(yōu)時尚努力水平與投入成本系數(shù)成反比，即當(dāng)服裝零售商的時尚努力水平投入成本系數(shù)較高時，服裝零售商應(yīng)投入較少的時尚努力；相反，當(dāng)投入成本系數(shù)較低時，服裝零售商應(yīng)投入較多的時尚努力。

推論21)u?(t)≥0恒成立，且隨著時間t的增大而減小。

2) 最優(yōu)時尚努力水平u?(t)關(guān)于價格敏感系數(shù)β和市場初始規(guī)模 α是凸函數(shù)，且隨著銷售周期的T的增大而增大。

由推論2可知，服裝零售商在銷售期初投入較高的時尚努力水平能夠有效提高產(chǎn)品的時尚度，進(jìn)一步刺激市場需求，且當(dāng)銷售周期越長，投入更高的時尚努力越能夠有效減緩時尚度衰減。

推論3服裝零售商通過投入時尚努力達(dá)到的時尚度 ω*(t)為

其中，C2=ω0?A1(2?eρT)/2ρk+B1/k(1/ρ2+Te?ρT/2ρ)?h2βγ/4ρk(T2e?ρT/2ρ?2/ρ3)。

推論4時尚度影響下服裝零售商的最優(yōu)庫存水平I?(t)為

當(dāng)時尚努力投入越多，產(chǎn)品的時尚度越高，產(chǎn)品市場需求也越多。推論4說明，服裝零售商在投入時尚努力較多時，應(yīng)訂購更多的產(chǎn)品來滿足市場需求。

2.2 零售商不投入時尚努力的情形

同理，利用Pontryagin極大值原理對零售商不投入時尚努力時的最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解。采用和2.1同樣的方法，此處省略具體的推導(dǎo)過程，得到相應(yīng)的最優(yōu)解為

由式(7)可知，零售商不投入時尚努力與投入時尚努力時的價格變化軌跡相同，且隨著市場初始規(guī)模、單位庫存持有成本的增大而增大，隨著價格敏感系數(shù)的增大而減小。

推論5零售商不投入時尚努力時，服裝零售商的最優(yōu)時尚度為=ω0e?ρt。

推論6零售商不投入時尚努力時，服裝零售商的最優(yōu)庫存水平為=(γω0α?hβγω0t)(e?ρt?e?ρT)/2ρ?hβγω0(e?ρt?e?ρT)/2ρ2。同理，可得零售商不投入時尚努力時，服裝零售商的最優(yōu)訂貨數(shù)量為

3 數(shù)值分析

為了進(jìn)一步探討服裝零售商投入時尚努力對自身收益的有效性，接下來將采用數(shù)值計算分別對服裝零售商投入時尚努力與不投入時尚努力(u(t)=0)的最優(yōu)策略進(jìn)行對比分析。且探討一些關(guān)鍵因子對零售商期望收益和最優(yōu)訂貨數(shù)量的影響。為了書寫及敘述方便，下標(biāo)1和2分別代表零售商投入時尚努力的情況和不投入時尚努力的情況。相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下。α=80，β=4，γ=0.5，ρ=0.4，k=2，h=0.2，ω0=5，c=4，T=2，K=50。

零售商最優(yōu)時尚投入努力水平u?(t)變化軌跡如圖1所示。零售商在銷售期初應(yīng)投入較高的時尚努力，且時尚努力水平隨時間不斷減少，在銷售期結(jié)束時將不再投入時尚努力。相對于時尚衰減率較低時的情況，如果產(chǎn)品的時尚衰減率越高，則需要投入較高的時尚努力成本才能彌補時尚度衰減的損失，而投入過多的時尚努力成本會對零售商的收益造成不利影響。

圖1 零售商最優(yōu)時尚努力水平u?(t)變化軌跡Figure 1 The change trajectory of retailers' optimal fashion effort levelu?(t)

從圖2可以看出，在銷售期初期和中期，零售商通過投入時尚努力可以顯著提高服裝產(chǎn)品的時尚度，進(jìn)而刺激需求；銷售后期，零售商的時尚努力無法彌補服裝產(chǎn)品時尚度的衰減。

圖2 時尚度變化軌跡Figure 2 The change trajectory of fashion degree

為了進(jìn)一步說明關(guān)鍵因子對服裝零售商最優(yōu)收益及訂貨量的影響，通過數(shù)值計算，結(jié)果如表2所示。

表2 關(guān)鍵因子靈敏度分析Table 2 Sensitivity analysis of key factors

由表2可知，時尚度衰減率、時尚努力水平投入成本系數(shù)、價格敏感系數(shù)越高，服裝零售商的收益越少，訂貨量越少。零售商投入時尚努力時的收益和訂貨量總是大于不投入時尚努力時的收益和訂貨量。這說明，零售商投入時尚努力后，服裝產(chǎn)品時尚度衰減變慢，對需求帶來正效應(yīng)，零售商需訂購更多產(chǎn)品來滿足市場需求。但當(dāng)時尚努力水平投入成本系數(shù)k較大時，零售商投入時尚努力時的收益逐漸趨于未投入時尚努力時的收益。

時尚度敏感系數(shù)或初始時尚度 ω0越高，服裝零售商的收益和訂貨量越高。這是由于時尚度敏感系數(shù)越大，時尚服裝相對普通服裝越受消費者歡迎，顧客對產(chǎn)品的需求增多，使得服裝零售商訂購更多產(chǎn)品來滿足需求，從而帶來更多的收益。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了市場需求同時依賴于價格和時尚度的時變效應(yīng)函數(shù)，考慮庫存隨需求不斷減少、時尚服裝的時尚水平隨時間不斷衰減的兩種變化狀態(tài)，運用最優(yōu)控制論構(gòu)建零售商的收益最大化動態(tài)模型，探討零售商是否應(yīng)該通過投入時尚努力來提高產(chǎn)品的時尚度，探討服裝零售商應(yīng)如何動態(tài)調(diào)整投入時尚努力，制定價格策略和訂貨策略使自身收益最大化。

研究結(jié)果表明：1) 銷售期初，零售商應(yīng)設(shè)置較低的零售價格刺激需求。隨著品牌知名度的提升，服裝零售商價格變化軌跡隨時間單調(diào)遞增。2) 服裝零售商的最優(yōu)時尚努力水平隨著時間的增大而減小。且時尚度衰減率較高時，零售商需要投入更多的時尚努力才能彌補時尚度衰減損失。3) 當(dāng)消費者對產(chǎn)品價格的敏感程度較高時，零售商不應(yīng)投入時尚努力；反之，零售商通過投入時尚努力能獲得更高的收益。4) 零售商通過投入時尚努力，能夠提高產(chǎn)品的時尚度，進(jìn)而刺激產(chǎn)品的市場需求，此時，零售商應(yīng)訂貨較多的產(chǎn)品數(shù)量。

本文僅僅考慮一個服裝零售商，未來可以探討存在兩個或多個零售商，且零售商之間存在競爭時，零售商應(yīng)如何決策的問題。