方馨， 王麗梅， 張康

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)的首要目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)高精度和高效率運(yùn)動(dòng)[1]。為保證機(jī)械結(jié)構(gòu)在高速/加速度運(yùn)動(dòng)下的重復(fù)進(jìn)給精度和提供更大的推力，平臺(tái)中橫梁與電機(jī)之間必須采用剛性連接。因此，H型平臺(tái)中永磁直線同步電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型與獨(dú)立PMLSM模型相比存在差別。一方面由于H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)沒有中間緩沖過程，負(fù)載擾動(dòng)產(chǎn)生的不確定性將直接作用于直線電機(jī)工作臺(tái)中，影響系統(tǒng)抗干擾性。另一方面，雙軸驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)雖然可以消除由于單軸驅(qū)動(dòng)的慣性產(chǎn)生振動(dòng)的問題，但是由于驅(qū)動(dòng)軸間物理連接件的強(qiáng)機(jī)械耦合產(chǎn)生的建模誤差嚴(yán)重影響系統(tǒng)的跟蹤精度[2-3]。因此，為提升系統(tǒng)的控制性能，有必要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更準(zhǔn)確的建模，并在此基礎(chǔ)上采取有效的位置控制策略克服系統(tǒng)擾動(dòng)的影響[4]。

在H型平臺(tái)系統(tǒng)中，通常采用位置控制器與軸間協(xié)同控制器相結(jié)合的控制方式[5]。其中，單軸高性能位置控制器是提高直驅(qū)H型平臺(tái)加工精度的前提和保證。文獻(xiàn)[6]為提高H型平臺(tái)中PMLSM伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，利用最優(yōu)系統(tǒng)頻域因子分解求解位置控制器的參數(shù)。文獻(xiàn)[7]在單軸中采用模糊PID控制作為位置控制器，以保證單軸跟蹤精度。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)帶有約束條件的線性二次優(yōu)化算法來尋找最合適的柔性剛度和控制器參數(shù)，進(jìn)而提高位置跟蹤精度。文獻(xiàn)[9]在H型平臺(tái)中通過單邊激勵(lì)經(jīng)系統(tǒng)辨識(shí)得到耦合系統(tǒng)輸入輸出的模型，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)魯棒控制器克服參數(shù)不確定性和建模誤差的影響。雖然上述控制策略在一定程度上提高了系統(tǒng)的同步性能和跟蹤性能，但在動(dòng)力學(xué)模型中存在忽略了橫梁連接產(chǎn)生機(jī)械耦合的影響，辨識(shí)出的參數(shù)并無實(shí)際物理意義等問題，且對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和負(fù)載擾動(dòng)很敏感，缺乏魯棒性，易導(dǎo)致位置偏離期望值，進(jìn)而降低跟蹤精度，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在工程實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制均為離散系統(tǒng)，為減小數(shù)字計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的理論設(shè)計(jì)與實(shí)際應(yīng)用之間的差距，對(duì)于離散控制器的應(yīng)用研究越來越受到人們的青睞[10]。在此背景下，離散系統(tǒng)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)也獲得了較多關(guān)注。目前，離散滑?？刂撇呗詰?yīng)用于Buck變換器[11]、電流源逆變器[12]、高頻開關(guān)電源[13]、鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)[14]、永磁同步電機(jī)[15]等領(lǐng)域，并取得了良好的控制效果。文獻(xiàn)[16]采用歐拉離散化方法對(duì)直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行離散化，并提出了一種離散分?jǐn)?shù)階終端滑?？刂撇呗裕糜谥本€電機(jī)的高精度跟蹤控制。與此類似，文獻(xiàn)[17]針對(duì)歐拉離散的永磁直線電機(jī)伺服系統(tǒng)，設(shè)計(jì)強(qiáng)魯棒性的離散快速終端滑模位置控制器，克服系統(tǒng)模型的不確定性，提高系統(tǒng)的控制性能。然而，歐拉離散化方法隨著離散化步長的增加，將不能構(gòu)造準(zhǔn)確的可調(diào)模型[18]。此外，滑?？刂频膹?qiáng)魯棒性來源于控制量的高頻切換，其產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象嚴(yán)重影響伺服系統(tǒng)控制精度，而且符號(hào)函數(shù)不連續(xù)、采樣時(shí)間有限更是加重了抖振現(xiàn)象[19]。文獻(xiàn)[20]利用自適應(yīng)區(qū)間二型模糊系統(tǒng)逼近滑模控制的等效控制部分以削弱抖振，但構(gòu)建較為復(fù)雜，不利于工程實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[21]利用高階滑模的超螺旋算法設(shè)計(jì)滑?？刂破?，削弱抖振的同時(shí)提高系統(tǒng)魯棒性。文獻(xiàn)[22]提出用死區(qū)遲滯函數(shù)代替滑模趨近律中的死區(qū)函數(shù)，減少系統(tǒng)在滯后區(qū)域中的切換頻率，從而削弱系統(tǒng)的抖振程度。通過引入“邊界層”的概念，文獻(xiàn)[23-24]分別采用初等飽和函數(shù)和雙曲正切飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)克服抖振現(xiàn)象，提高控制精度，但系統(tǒng)軌跡在邊界層內(nèi)的收斂速度較慢。

綜上所述，本文以H型平臺(tái)中PMLSM為研究對(duì)象，建立含有機(jī)械耦合特性的直驅(qū)伺服系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型并采用穩(wěn)定的階躍響應(yīng)變化法進(jìn)行離散。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)離散滑?？刂破?discrete-time sliding mode control，DSMC)，并在離散滑模面中引入積分環(huán)節(jié)，構(gòu)造離散積分滑?？刂破?discrete-time integral sliding mode control，DISMC)，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制精度。為削弱抖振并提高系統(tǒng)的收斂速度，結(jié)合初等飽和函數(shù)和雙曲正切飽和函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)構(gòu)造一種新型連續(xù)平滑飽和函數(shù)，并對(duì)比分析證明新型平滑飽和函數(shù)的快速收斂性。最后，通過仿真和實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提控制策略的可行性和有效性。

1 H型平臺(tái)系統(tǒng)描述

1.1 H型平臺(tái)結(jié)構(gòu)

H型平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示，該平臺(tái)由一個(gè)X軸方向的PMLSM和兩個(gè)Y軸方向的PMLSM共同驅(qū)動(dòng)，具有高剛度、大推力和高加速度的優(yōu)點(diǎn)，本研究以圖1中Y軸PMLSM為研究對(duì)象。

圖1 直驅(qū)H型平臺(tái)示意圖

圖2為PMLSM的結(jié)構(gòu)示意圖。PMLSM的工作臺(tái)安裝于動(dòng)子上，動(dòng)子和工作臺(tái)共同固定在滾珠導(dǎo)軌的滑塊上，而定子安裝有永磁體，為動(dòng)子上的通電繞組提供勵(lì)磁，實(shí)現(xiàn)動(dòng)子沿著直線方向運(yùn)動(dòng)。

圖2 永磁直線同步電機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

理想情況下，PMLSM的電磁推力為

(1)

式中：id、iq為d-q軸電流；Ld、Lq為d-q軸電感；λPM為永磁體磁鏈；τ為極距。

電流環(huán)采用id=0控制策略，電磁推力表示為

(2)

式中Kf為電磁推力系數(shù)。

獨(dú)立PMLSM機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中：d(t)、v(t)分別為動(dòng)子位置和線速度；Bv為粘滯摩擦系數(shù)；M為動(dòng)子質(zhì)量；Fd為包括負(fù)載阻力、推力波動(dòng)、摩擦力在內(nèi)的集總干擾，且Fd是有界的。

雖然PMLSM的動(dòng)子、橫梁和導(dǎo)軌的滑塊因剛性連接，整體可視為剛性結(jié)構(gòu)，但直驅(qū)伺服系統(tǒng)仍受到滾珠導(dǎo)軌柔性支撐的影響，產(chǎn)生高頻振動(dòng)[25]。因此橫梁與Y軸直線電機(jī)間的高剛度物理連接必然產(chǎn)生剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)，無法從單獨(dú)的PMLSM動(dòng)力學(xué)的角度來建模。因此如圖3所示，將滾珠和結(jié)合部簡化成“質(zhì)量-彈簧-阻尼”元件，用動(dòng)子質(zhì)量M、耦合剛度K和耦合阻尼D描述，圖3(a)為耦合動(dòng)力學(xué)模型，圖3(b)為等效模型。

圖3 耦合動(dòng)力學(xué)特性示意圖

結(jié)合PMLSM運(yùn)動(dòng)方程式(3)，H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以表示為

(4)

式中B=Bv+D為系統(tǒng)的總阻尼。

選取位置和速度為狀態(tài)變量，根據(jù)式(2)和式(4)獲得連續(xù)時(shí)間狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間方程為

(5)

在連續(xù)時(shí)間狀態(tài)下式(5)的通解可表示為

F1(δ)]dδ。

(6)

采用階躍響應(yīng)變化法得到離散化狀態(tài)方程，假設(shè)輸入變量u(t)及負(fù)載擾動(dòng)在相鄰周期內(nèi)維持不變，并令t0=kTs，t=(k+1)Ts，其中Ts為采樣時(shí)間，可得到離散狀態(tài)方程通解為

(7)

由式(7)可簡化得到包括擾動(dòng)在內(nèi)的H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)模型為：

(8)

式中：A≈1+TsA1為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B≈TsB1；F≈TsF1；x(k)=[d(k)v(k)]T；C=[1 0]；y(k)為系統(tǒng)輸出的位置變量。

當(dāng)H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)采用id=0控制策略時(shí)，其設(shè)計(jì)系統(tǒng)的框架如圖4所示。

圖4 直驅(qū)伺服系統(tǒng)控制框圖

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 離散型積分滑模面的設(shè)計(jì)

根據(jù)H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)模型，將離散跟蹤誤差定義為：

(9)

式中：r1(k)、r2(k)為系統(tǒng)期望位置和速度輸出；e1(k)、e2(k)為系統(tǒng)位置和速度跟蹤誤差。

根據(jù)式(9)，定義離散型積分滑模面為

s(k)=e2(k)+K1e1(k)+K2τ(k)。

(10)

式中K1、K2分別為切換函數(shù)的比例、積分增益。其中，τ(k)為系統(tǒng)跟蹤誤差的離散積分項(xiàng)，定義為

τ(k)=e1(k)+τ(k-1)。

(11)

積分項(xiàng)能夠有效減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)跟蹤精度。除此之外，積分項(xiàng)初值的選取會(huì)直接影響系統(tǒng)的初始控制性能，考慮到趨近運(yùn)動(dòng)過程中的魯棒性，可令s(0)=0，此時(shí)積分項(xiàng)初值為

(12)

即在原理上，系統(tǒng)軌跡一開始就位于滑模面上。若積分初始值任意選取，則系統(tǒng)軌跡將會(huì)在一定的初始趨近過程后到達(dá)滑模面附近鄰域。

2.2 滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

將式(10)向前遞推一步，可得k+1時(shí)刻的離散型積分滑模面為

s(k+1)=e2(k+1)+K1e1(k+1)+

K2τ(k+1)。

(13)

同理，將式(9)和式(11)向前遞推一步，并代入式(13)整理可得

s(k+1)=(K1+K2)[r1(k+1)-x1(k+1)]+

[r2(k+1)-x2(k+1)]+K2τ(k)。

(14)

定義K=[K1+K21]，r(k+1)=[r1(k+1)r2(k+1)]T，x(k+1)=[x1(k+1)x2(k+1)]T，式(14)可以重新表述為

s(k+1)=K[r(k+1)-x(k+1)]+K2τ(k)。

(15)

由于下一采樣時(shí)間的期望值r(k+1)未知，當(dāng)采樣時(shí)間足夠小時(shí)假設(shè)增長率恒定，此時(shí)可采用簡單的線性外推法進(jìn)行預(yù)測。

R1?r(k+1)=2r(k)-r(k-1)。

(16)

結(jié)合式(8)和式(16)，可得到包含控制變量u(k)的離散型積分滑模面，即

s(k+1)=K[R1-Ax(k)-Bu(k)-F(k)]+

K2τ(k)。

(17)

為了改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，提高系統(tǒng)向滑模面的趨近速度，采用基于指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)離散滑模控制律為

s(k+1)=s(k)-qTss(k)-εTssgn(s(k))。

(18)

式中：ε>0，q>0，1-qTs>0，聯(lián)立式(17)和式(18)，可得H型平臺(tái)伺服系統(tǒng)離散型積分滑?？刂坡蔀?/p>

u(k)=(KB)-1[KR1-KAx(k)-KF(k)+

K2τ(k)-s(k)+qTss(k)+

εTssgn(s(k))]。

(19)

控制器中ε、q、K1、K2參數(shù)選擇準(zhǔn)則為：

1)q為趨近速度增益，主要影響切換函數(shù)的動(dòng)態(tài)過渡過程，當(dāng)q接近1/Ts時(shí)趨近速度最快；

2)ε為飽和函數(shù)的增益參數(shù)，一般而言，抖振幅度與ε成正比。選擇的時(shí)候需權(quán)衡系統(tǒng)的魯棒性和削弱抖振性能；

3)K1主要影響調(diào)節(jié)時(shí)間，K2主要影響穩(wěn)態(tài)誤差。參數(shù)過大會(huì)使控制量輸出過大，在實(shí)際控制中會(huì)引起系統(tǒng)抖振，因此選擇的時(shí)候應(yīng)兼顧收斂速度和控制抖振。

2.3 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(20)

保證滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)和收斂到滑模面的充要條件為

|s(k+1)|<|s(k)|。

(21)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，當(dāng)滿足式(21)時(shí)，將保證所有的狀態(tài)軌跡將進(jìn)入并保持在滑模面附近鄰域。將上式分解為以下兩個(gè)不等式：

基于指數(shù)離散趨近律滿足

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=

-qTs|s(k)|-εTs|s(k)|<0。

(22)

同時(shí)，當(dāng)采樣時(shí)間Ts很小時(shí)，2-qTs?0，有

[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=

(2-qTs)|s(k)|-εTs|s(k)|≥0。

(23)

其中s(k+1)由控制律式(19)代入式(17)獲得，即

s(k+1)=Kr(k+1)-KAx(k)-

KBu(k)-KF(k)+K2τ(k)=

Kr(k+1)-KAx(k)-KB(KB)-1·

[KR1-KAx(k)-KF(k)+K2τ(k)-

s(k)+qTss(k)+εTssgn(s(k))]-

KF(k)+K2τ(k)=

s(k)-qTss(k)-εTssgn(s(k))。

(24)

式(22)為滑動(dòng)條件，保證了在滑模面的準(zhǔn)滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)，但可能導(dǎo)致不穩(wěn)定和發(fā)散。式(23)為收斂條件，保證了狀態(tài)軌跡在切換面上的收斂性。依據(jù)離散滑模穩(wěn)定條件可知，控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即任意初始位置的狀態(tài)都會(huì)趨向于離散型積分滑模面s(k)。

為抑制因控制律式(18)中符號(hào)函數(shù)引起的抖振現(xiàn)象，設(shè)計(jì)一種平滑飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)。因此，式(19)重新表述為

u(k)=(KB)-1[KR1-KAx(k)-

KF(k)+K2τ(k)-s(k)+

qTss(k)+εTsssat(s(k))]。

(25)

式中ssat(s(k))為平滑飽和函數(shù)，由下一節(jié)設(shè)計(jì)。

2.4 平滑飽和函數(shù)

為了抑制符號(hào)函數(shù)中存在的抖振問題，常采用如式(26)線性飽和函數(shù)和式(27)雙曲正切型飽和函數(shù)設(shè)計(jì)滑模控制律。

線性飽和函數(shù)表達(dá)式為：

(26)

式中Ф為邊界層厚度。

對(duì)于式(26)，[-Ф,Ф]為其平滑區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)，可得到平滑的控制律。但線性飽和函數(shù)在s=±Ф時(shí)不可微，而且在平滑區(qū)間內(nèi)只能產(chǎn)生固定斜率的切換控制律。除此之外，在Ф趨近于0時(shí)，線性飽和函數(shù)的切換特性近似于符號(hào)函數(shù)。

雙曲正切飽和函數(shù)表達(dá)式為：

(27)

雙曲正切飽和函數(shù)與線性飽和函數(shù)相比是連續(xù)可微且單調(diào)遞增的平滑函數(shù)，但在相同切換增益和相同區(qū)間內(nèi)，雙曲正切函數(shù)會(huì)損失更多切換控制律，使得切換控制律克服干擾的能力下降，另外，雙曲正切函數(shù)并不能完全達(dá)到[-1,1]。

為此，結(jié)合sat(s)和tsat(s)的優(yōu)點(diǎn)構(gòu)造一種新型平滑飽和函數(shù)，即：

(28)

對(duì)于平滑飽和函數(shù)ssat(s):1)當(dāng)s=0時(shí)，ssat(0)=0，即當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上時(shí)，切換控制律為0；2)當(dāng)s=±Ф時(shí)，sin(πs/2Ф)=±1，表明平滑飽和函數(shù)能夠完全到達(dá)[-1,1]，即切換控制率能夠輸出最大范圍；3)當(dāng)s=±Ф時(shí)，sin(πs/(2Ф))是連續(xù)可微的。綜上所述，ssat(s)能夠綜合前兩種函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。平滑區(qū)間相同的不同飽和函數(shù)曲線如圖5所示。

圖5 相同平滑區(qū)間三種飽和函數(shù)曲線

下文將從收斂時(shí)間的角度，定量分析不同飽和函數(shù)的收斂速度。為便于數(shù)學(xué)分析，假設(shè)三種飽和函數(shù)切換增益均為λ，在滑?？刂品椒ㄖ?，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)兩個(gè)階段，前者為從任意初始狀態(tài)經(jīng)有限時(shí)間t到達(dá)邊界層；后者是在邊界層內(nèi)的滑模狀態(tài)，該階段能夠有效削弱抖振現(xiàn)象。sat(s)函數(shù)趨近運(yùn)動(dòng)階段所用時(shí)間為

(29)

在滑模運(yùn)動(dòng)階段，線性飽和函數(shù)趨近律為

(30)

從邊界層到邊界層內(nèi)任意一點(diǎn)所需時(shí)間為

(31)

當(dāng)切換增益與邊界層厚度相同時(shí)，tsat(s)函數(shù)和ssat(s)函數(shù)趨近運(yùn)動(dòng)階段收斂時(shí)間與sat(s)函數(shù)相同，均可由式(29)表示，因此，不同飽和函數(shù)的動(dòng)態(tài)性能主要取決于邊界層內(nèi)的收斂時(shí)間。

采用tsat(s)函數(shù)和ssat(s)函數(shù)，邊界層內(nèi)滑模趨近律分別為：

(32)

(33)

從邊界層到邊界層內(nèi)任意一點(diǎn)滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為：

(34)

(35)

由此可見，當(dāng)切換增益、邊界層厚度、初始點(diǎn)狀態(tài)相同時(shí)，三種飽和函數(shù)對(duì)應(yīng)的趨近運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，且趨近階段收斂時(shí)間t與切換增益λ成反比；在滑模階段，對(duì)應(yīng)的收斂時(shí)間仍與切換增益成反比。綜上可知，適當(dāng)增大切換增益可以有效減小系統(tǒng)總收斂時(shí)間，提高滑?？刂破魇諗克俣?。

為直觀表現(xiàn)三種類型飽和函數(shù)在邊界層內(nèi)收斂時(shí)間的特點(diǎn)，繪制圖6所示收斂時(shí)間曲線。可以看出當(dāng)切換增益相同時(shí)，三種類型飽和函數(shù)的收斂時(shí)間均隨邊界層厚度Φ的減小而變短，當(dāng)邊界層厚度相同時(shí)，平滑飽和函數(shù)的收斂時(shí)間最小，且其在滑模面附近的斜率最大，對(duì)應(yīng)滑?？刂破鞯氖諗克俣茸羁?。因此，應(yīng)在削弱抖振的前提下，減小邊界層厚度，以提高系統(tǒng)收斂速度。

圖6 三種飽和函數(shù)收斂時(shí)間

需要說明的是，選用平滑飽和函數(shù)代替原本的符號(hào)函數(shù)后，為確保系統(tǒng)穩(wěn)定，需保證邊界層外的狀態(tài)軌跡能夠于有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)邊界層。當(dāng)|s|>Φ時(shí)，由式(28)可知，ssat(s)=sgn(s)，顯然，系統(tǒng)仍然滿足 Lyapunov 穩(wěn)定性條件。

3 仿真分析

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的正確性，采用MATLAB 2017a軟件建立直驅(qū)伺服系統(tǒng)離散模型，并搭建控制器對(duì)所采用的控制策略進(jìn)行仿真。選擇電機(jī)參數(shù)：M=5.9 kg；Bv=0.51 N·s/m；D=0.9 N·s/m；K=18 N/μm；Kf=15.8 N/A；Fe=63 N；采樣周期為1 ms。

首先，為驗(yàn)證ssat飽和函數(shù)抖振抑制能力和跟蹤性能，給定幅值為10 mm，頻率為0.5 Hz的平滑正弦位置指令?？刂破鲄?shù)?。骇?0.01，K1=100，K2=0.7，ε=5，q=900。分別采用基于sgn、sat、tsat、ssat四種飽和函數(shù)的控制律設(shè)計(jì)DISMC控制系統(tǒng)，其對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果如圖7?？梢娝捎玫目刂撇呗阅鼙ＷC系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，且能夠準(zhǔn)確地跟蹤平滑位置指令。由圖7(b)可知，sgn、sat、tsat、ssat的最大跟蹤誤差依次減小，分別為±10.1、±8.9、±8.6和±4.3 μm，其中ssat函數(shù)跟蹤誤差振動(dòng)幅度最小，也最為平滑。圖7(c)為滑模面s(k)值的變化曲線，ssat函數(shù)的抖振幅度較其他切換函數(shù)小，ssat函數(shù)有較強(qiáng)的抑制抖振能力。

圖7 正弦輸入時(shí)離散積分滑模控制仿真結(jié)果

其次，為驗(yàn)證系統(tǒng)在速度突變和突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)的控制性能，給定位置指令為幅值10 mm，頻率0.5 Hz的三角波，在2 s時(shí)施加10 N的負(fù)載擾動(dòng)?？刂破鲄?shù)取：Ф=0.01，K1=200，K2=0.5，ε=5.5，q=950。此時(shí)，基于ssat函數(shù)的DSMC和DISMC控制方法的仿真曲線如圖8所示。圖8(a)為位置跟蹤曲線，其中DSMC和DISMC的響應(yīng)時(shí)間分別為0.05 s和0.01 s，這是由于積分初值的存在使得狀態(tài)軌跡從開始就在滑模面上，保證了系統(tǒng)具有全局魯棒性，同時(shí)提高了系統(tǒng)初始響應(yīng)速度。DISMC方法的跟蹤軌跡比DSMC的跟蹤軌跡更接近期望位置指令，由局部放大圖可知，當(dāng)速度突變時(shí)，存在一些超調(diào)，但DISMC控制方法的超調(diào)較小。圖8(b)為位置誤差曲線，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，在2 s突加負(fù)載阻力時(shí)，DSMC的最大位置誤差為0.142 mm，恢復(fù)時(shí)間為0.07 s，而DISMC的最大位置誤差為0.082 mm，恢復(fù)時(shí)間為0.05 s?？梢姡珼ISMC控制方法位置誤差收斂更快，并維持在0附近，能較好地完成系統(tǒng)的位置跟蹤，同時(shí)由于積分滑?？刂频膹?qiáng)魯棒性，使得負(fù)載突變時(shí)，恢復(fù)時(shí)間更快，有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

圖8 三角波輸入時(shí)仿真結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提控制方法的可行性及仿真分析的準(zhǔn)確性，利用實(shí)驗(yàn)平臺(tái)予以驗(yàn)證，圖9為系統(tǒng)實(shí)物圖，系統(tǒng)主要由PMLSM(行程范圍360 mm)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服驅(qū)動(dòng)器、直線光柵尺(分辨率0.05 μm)等組成。控制算法通過上位機(jī)下載到運(yùn)動(dòng)控制卡，并在控制卡中完成閉環(huán)控制。伺服驅(qū)動(dòng)器根據(jù)控制卡的輸出產(chǎn)生控制電壓驅(qū)動(dòng)PMLSM運(yùn)行。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過上位機(jī)軟件采集，上位機(jī)軟件如圖10所示，并利用Origin繪圖軟件完成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的清晰顯示。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中控制器參數(shù)的選取與仿真相同。

圖9 直驅(qū) H型平臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖10 上位機(jī)軟件

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)的DISMC-ssat控制器性能，分別考慮了空載、負(fù)載5 kg兩種情況，并與DSMC和DISMC方法對(duì)比。圖11、圖12分別為正弦輸入時(shí)空載和負(fù)載在三種控制器下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖11(a)和圖12(a)為位置跟蹤曲線，由局部放大圖可知，無論在空載還是在負(fù)載條件下，DISMC-ssat控制方法的跟蹤軌跡更接近期望位置指令。圖11(b)為位置誤差曲線，可知DSMC控制方法的最大誤差為-7.74～7.99 μm、DISMC最大誤差為-6.34～6.74 μm、DISMC-ssat最大誤差為-3.84～4.22 μm。顯然，空載時(shí)DISMC-ssat控制方法跟蹤精度更高。圖12(b)中控制方法對(duì)應(yīng)的最大位置誤差分別為-8.96～8.86 μm、-7.05～7.37 μm、-4.2～4.3 μm，其中DISMC-ssat控制方法誤差增量最小，魯棒性最強(qiáng)。圖11(c)和圖12(c)分別為空載和負(fù)載條件下控制輸入電流曲線，可知DISMC-ssat控制方法輸入電流信號(hào)最平滑，抖振幅度最小，通過平穩(wěn)的輸入即可保證系統(tǒng)的跟蹤性能，能最大程度減小外加負(fù)載的影響。由此可見，DISMC-ssat方法在空載和負(fù)載時(shí)均能提供更好的控制精度。

圖11 正弦輸入空載時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖12 正弦輸入負(fù)載時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為進(jìn)一步研究伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，考慮空載與帶載兩種情況進(jìn)行期望位置指令為三角波的跟蹤實(shí)驗(yàn)。圖13(a)和圖14(a)是位置跟蹤曲線，可知，無論在空載還是在負(fù)載的情況下，三種控制方法均能較好地跟蹤期望指令。由圖13(b)可直觀看出，當(dāng)系統(tǒng)速度突變時(shí)，三種控制方法的誤差激增，DSMC方法的最大位置誤差為-10.57～10.20 μm，DISMC最大誤差為-6.32～5.49 μm。這兩種方法對(duì)參考信號(hào)速度突變較敏感，但DISMC-ssat控制方法誤差為-2.74～2.72 μm影響較小，該方法能夠在速度突變時(shí)及時(shí)調(diào)整控制輸入，響應(yīng)迅速。圖14(b)為負(fù)載時(shí)誤差曲線，相對(duì)于圖13(b)可知DISMC-ssat誤差增量最小，魯棒性最強(qiáng)。圖13(c)和圖14(c)為空載和負(fù)載時(shí)控制輸入電流，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與DSMC和DISMC控制器相比DISMC-ssat控制器輸入電流抖振最小，能夠有效克服外界負(fù)載及速度突變，有較好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性和抗干擾性。通過仿真與實(shí)驗(yàn)得出一致結(jié)論：DISMC-ssat函數(shù)能有效削弱抖振現(xiàn)象，提高直驅(qū)伺服系統(tǒng)位置跟蹤精度與動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，增強(qiáng)系統(tǒng)帶載能力。

圖13 三角波輸入空載時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖14 三角波輸入負(fù)載時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié) 論

本文以H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)為對(duì)象，研究一種基于平滑飽和函數(shù)的離散積分滑模位置控制策略。在直驅(qū)伺服系統(tǒng)離散模型的基礎(chǔ)上，將積分環(huán)節(jié)與滑模控制相結(jié)合，該方法既保持了滑?？刂苿?dòng)態(tài)性能強(qiáng)的特點(diǎn)，又減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，且積分項(xiàng)初值的恰當(dāng)選取，使控制器具有全局魯棒性；另外，針對(duì)滑?？刂品椒ǘ墩駠?yán)重的問題，設(shè)計(jì)新型平滑飽和函數(shù)，利用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算其收斂時(shí)間，并定性分析了三種平滑飽和函數(shù)的收斂速度。最后進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明，本文采用的控制算法不僅能提高H型平臺(tái)直驅(qū)伺服系統(tǒng)跟蹤精度，削弱抖振現(xiàn)象，還具有較好的動(dòng)態(tài)性能和抗擾能力。