潘興良 劉建國

(1.中鐵七局集團有限公司， 450016， 鄭州； 2.同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室， 201804， 上海；3.上海軌道交通結構耐久與系統安全重點實驗室， 201804， 上?！蔚谝蛔髡撸?正高級工程師)

1 經驗模態(tài)分解法概述

近年來，隨著我國鐵路交通網的迅速發(fā)展，城市軌道交通下穿鐵路工程施工愈加頻繁，不限速、長距離、大跨度地安全下穿鐵路是未來施工的發(fā)展方向。這需要下穿鐵路工程在進行合理設計與施工的同時，加強對既有鐵路軌道結構變形的實時、高精度監(jiān)測，及時反映施工情況，達到信息化施工的目的，從而最大程度地控制下穿鐵路工程中既有軌道的變形[1]。然而，在對下穿鐵路工程中的既有軌道結構進行變形監(jiān)測時，除了由監(jiān)測設備本身以及各類環(huán)境因素影響而產生測量誤差外，其監(jiān)測對象如既有軌道結構自身還會因環(huán)境溫度變化而發(fā)生變形[2]，這些因素會掩蓋由下穿鐵路工程施工所引起的既有軌道結構的真實附加變形，影響對現場施工實際情況的判別。因此，根據各類影響因素引起的既有軌道結構監(jiān)測數據的變化特征，有針對性地對監(jiān)測數據進行降噪，盡可能地還原下穿鐵路工程施工引起的既有軌道結構附加變形，有待作進一步的深入研究。

將既有鐵路軌道結構測點的變形監(jiān)測數據視為1組時間序列，其主要由測量誤差成分、溫度變形成分和下穿施工引起的附加變形成分構成，且具有非平穩(wěn)性、非線性的變化特征。對于時間序列中的信號成分提取問題，常用的方法主要有低通濾波法[3]、小波分析法[4]和EMD(經驗模態(tài)分解)法[5]等。

在采用低通濾波法時，首先需要通過傅里葉變換將時間序列轉換至頻域上進行分析;然后利用下穿鐵路工程施工引起的附加變形成分相較于測量誤差成分及溫度變形成分具有的變化周期最長的特點，運用低通濾波法提取附加變形成分，但運用時必須選擇合適的濾波器參數和截止頻率，否則會因參數選擇的不合理導致附加變形成分過少被提取或提取的附加變形成分摻雜過多的干擾信息。此外，雖傅里葉變換能夠完成信號的時、頻域轉換，但不能同時具有二者信息。因此，該方法僅適用于平穩(wěn)信號的處理，并不太適用于處理非平穩(wěn)信號。

小波分析法通過傅里葉變換，將時域上無限長的正弦波函數轉換成能量在時域上十分集中的小波方式，解決了傅里葉變換不能同時反映時頻信息的問題。但運用小波分析法處理具體信號時，同樣需要對小波基、分解層數和去噪方式等進行選擇，不合理的參數選擇會影響信號的降噪效果。文獻[6-7]于1998年提出了希爾伯特-黃變換(以下簡為“Hilbert變換”)方法。該方法由EMD法及對應的Hilbert變換構成：首先，通過EMD法，根據信號自身的時間尺度特征將原始信號自適應地分解得到數個IMF(內蘊模態(tài)函數)，并通過對每個IMF作相應的Hilbert變換，從而獲得其隨時間變化的瞬時頻率與瞬時幅值，即Hilbert時頻譜；然后，將Hilbert時頻譜在時間上進行積分，可求得Hilbert邊際譜，而Hilbert邊際譜能夠反映對應的IMF的各個瞬時頻率的總幅值大小，這是IMF的重要表征函數；最后，利用各階IMF的Hilbert邊際譜特征，將周期變化趨勢相近的若干階IMF疊加，重構周期趨勢成分，實現對原始信號中各成分的提取。EMD法從信號的瞬時頻率出發(fā)，是局部的、自適應的信號成分分離方法，同時適合處理非平穩(wěn)、非線性的信號。

本文利用EMD法分離下穿鐵路工程中既有鐵路軌道結構變形監(jiān)測數據的組成成分，剔除軌道結構變形監(jiān)測數據中的干擾因素信號，實現該工程中對既有鐵路軌道結構變形監(jiān)測數據的降噪與分析。

2 EMD法的計算原理

任何非平穩(wěn)、非線性的復雜信號都是由一些不同的IMF構成，且任意兩階的IMF相互獨立。

其中，IMF是單分量信號，這就需要其滿足下列條件：① 對于整個數據集，IMF上的極值點及過零點的數目必須相等或最多相差1個；② 在任意時刻，由局部極大值點所構成的上包絡線和局部極小值點所構成的下包絡線的平均值為零，即上包絡線和下包絡線相對于時間軸而言是局部對稱的。

基于上述假設，可以在無需先驗證基函數的情況下，根據信號自身時間尺度特征，自適應地將多分量復雜信號分解成多階內蘊模態(tài)函數及余項之和。

(1)

式中：

t——信號采集對應的時間；

ci(t)——IMF分量；

rm(t)——余量；

x(t)——信號幅值。

這種篩分過程能夠根據原始信號自身特征，將信號中不同的頻率成分按照高頻至低頻的順序，分解成符合單變量信號特征的各階IMF，余項則是原始信號中的趨勢項。

利用EMD法從原始信號中分解出的各階IMF及趨勢項不一定具有明確的物理含義。但根據各階IMF時間尺度上的變化特征，將周期趨勢相近的IMF進行疊加，可重構出具有明確物理含義的各周期趨勢成分。

由式(2)—式(7)可計算得到各階IMF的Hilbert幅值譜及邊際譜。確定其在頻域上的頻率分布特征，便于實現對各階IMF進行分類與組合。

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：

τ——積分變量；

T——自然數序列；

j——虛數；

a(t)——瞬時幅值；

θ(t)——相位函數；

ω(t)——瞬時頻率；

H(t,ω)——Hilbert幅值譜；

h(ω)——Hilbert邊際譜。

此外，對于離散的數字信號而言，Hilbert邊際譜可由式(8)—式(9)求得：

h(nΔω)=∑kH(tk,nΔω)

(8)

tk=kΔt

(9)

式中：

n——離散的頻率間隔，k,n∈Z；

k——離散的時間間隔，k,n∈Z；

h(nΔw)——離散數字信號Hilbert邊際譜；

tk——離散時刻；

H(tk,nΔw)——對應于tk的Hilbert幅值譜；

Δω——頻率分辨率；

Δt——采樣時間間隔。

3 某地鐵盾構隧道下穿鐵路工程仿真算例

本文采用在某地鐵盾構隧道下穿既有鐵路工程中，盾構推進至既有鐵路影響范圍之前的監(jiān)測數據中添加附加變形模擬數據的方式，構建仿真信號。為貼近工程實際，附加變形模擬數據考慮了既有鐵路軌道結構變形控制較為理想(第1類)、不夠理想(第2類)，以及在發(fā)生較大附加變形后采取適當措施使其部分恢復(第3類)的3類典型工況。3類仿真信號如圖1所示。

以第1類仿真信號為例，經EMD法分解得到的各階IMF如圖2所示。

由圖2可看到，各階IMF的周期趨勢特征大體上以日周期變化為界，分為3類；而各類IMF的疊加分別對應測量誤差成分、溫度變形成分和附加變形成分。為了進一步明確3類成分所含有的IMF，計算各階IMF的Hilbert邊際譜。為了避免邊際譜幅值的影響，將上述邊際譜量綱一化，如圖3所示。

a) 第1類仿真信號

b) 第2類仿真信號

c) 第3類仿真信號圖1 3類仿真信號Fig.1 Three types of simulation signals

由圖3可看到，隨著IMF的階數升高，各階IMF的Hilbert邊際譜頻率峰值逐漸變小。仿真信號中高頻部分主要集中在第1階IMF，反映了測量誤差成分；中頻部分主要集中在第2～4階IMF，反映了溫度變形成分；低頻部分主要集中在第5～6階IMF及余項，反映了附加變形成分。

圖2 第1類仿真信號經EMD法分離得到的各階IMFFig.2 IMF of the first type of simulated signals obtained by EMD separation

圖3 仿真信號的各階IMF量綱一化后的Hilbert邊際譜Fig.3 Hilbert marginal spectrum of normalized IMF of simulated signals

對各階IMF歸類疊加之后，分離出的3類信號成分如圖4所示。

圖4 第1類仿真信號中3類信號成分提取結果

從3類信號成分提取結果中可看到，3類信號成分得到了有效分離。其中，測量誤差成分集中在±0.05 mm左右；溫度變形成分有明顯的周期變化趨勢，其變化幅值約為±0.3 mm/d，附加變形成分變化趨勢與事先添加的附加變形模擬數據基本一致。3類仿真信號附加變形成份提取結果評價見表1。

表1 3類仿真信號附加變形成份提取結果評價

4 某地鐵盾構隧道下穿鐵路工程實測數據分析

為驗證降噪效果，選取某地鐵盾構工程下穿既有鐵路車站工程的軌道結構變形監(jiān)測數據進行分析。該地鐵盾構工程下穿了客貨共線鐵路、快速鐵路及高速鐵路。其中，客貨共線鐵路為非電氣化鐵路，采用有砟道床、混凝土軌枕，設計速度為120 km/h；快速鐵路為Ⅰ級雙線，采用有砟道床、混凝土軌枕，設計速度為200 km/h；高速鐵路采用有砟道床、混凝土軌枕，設計速度為250 km/h，線下預留350 km/h的提速條件。監(jiān)測儀器采用徠卡TM30型全站儀，該型儀器角度的監(jiān)測精度為0.5″，距離的監(jiān)測精度為0.2 mm+0.4×10-6L(L為距離)。

高速鐵路軌道結構某測點沉降監(jiān)測數據，如圖5所示。

圖5 高速鐵路軌道結構變形實測數據Fig.5 Measured data of track structure deformation of high-speed railway

由圖5可看到，高速鐵路軌道結構變形監(jiān)測數據中除了由盾構下穿引起的線路沉降以外，還明顯包含呈周期變化趨勢的軌道結構溫度變形成分及測量誤差成分。通過EMD法分解上述實測數據得到各階IMF，以及對應的量綱一化后Hilbert邊際譜，如圖6～7所示。

圖6 高速鐵路軌道結構實測數據分解出的各階IMFFig.6 Decomposition of IMF from measured data of high-speed railway track structure

圖7 實測數據的各階IMF量綱一化后的Hilbert邊際譜Fig.7 Hilbert marginal spectrum of normalized IMF of measured data

同樣地，將各階IMF的Hilbert邊際譜按照頻率的集中范圍分成高頻、中頻、低頻3組，分別對應3類信號成分。具體地，第1階IMF對應測量誤差成分；第2、3階IMF對應溫度變形成分；第4階IMF及其余項對應附加變形成分。實測數據的3類信號成分提取結果如圖8所示。

圖8 高速鐵路軌道結構實測數據中各信號成分提取結果

從實測數據中3類信號成分提取結果可看到，3類信號在時間序列端點處的數值存在明顯的失真現象。例如，溫度變形成分周期性變化幅值達到了近1.5 mm，同時附加變形成分在下穿盾構還未對線路產生影響時，軌道結構就已產生了0.5 mm左右的沉降，這顯然都不符合實際情況。產生此類情況的主要原因在于EMD法中常見的“端點效應”。

由于基于EMD法構建的信號上、下包絡線是通過局部極值點得到的，這就導致除非待處理的信號端點正好為局部極值點，否則獲得的信號上、下包絡線在端點處無法取得精確值而產生擬合誤差；且隨著迭代過程的進行，該誤差始終存在，其影響區(qū)域還會從端點處向信號內部擴散，最終“污染”整條信號，這就是所謂的端點效應。

為了克服端點效應，文獻[7]提出了特征波延拓法，但并未給出具體解釋。在后續(xù)針對EMD法的研究中，國內外眾多學者都提出了很多延拓方法，大致研究方向主要集中在神經網絡延拓[8]、鏡像延拓[9-10]和自回歸模型延拓[11-12]等。

本文從實測數據變化特點及快速有效的角度出發(fā)，選取了鏡像閉合延拓的方法。根據信號端點的分布特性，選擇適合的對稱位置對實測數據信號兩端進行延拓，使得實際的端點數據不在待處理信號的端點上，避免產生端點效應。

經過鏡像閉合延拓處理之后的實際監(jiān)測數據分解出的3類信號如圖9所示。由圖9可看到，在端點處3類信號都得到了有效收斂，抑制了端點效應，提高了EMD法的分解精度。

圖9 鏡像閉合延拓后實測數據各信號成分提取結果

5 結論

1) EMD法能夠實現對測量誤差、環(huán)境溫度引起的軌道結構豎向變形，以及鄰近鐵路工程施工引起的軌道結構附加變形等3類信號成分的有效分離。在3類典型工況下，運用該方法所提取的軌道結構附加變形成分與附加變形模擬信號之間的平均絕對誤差在0.1 mm左右。

2) 利用EMD法提取的附加變形成分存在 “端點效應”，即在端點處存在數據發(fā)散的失真現象，難以真實反映工程實際情況。利用鏡像閉合延拓方法可以有效消除端點效應，實現了對下穿鐵路工程軌道變形監(jiān)測數據的有效降噪。