李溪源，張亞東，王普超

1平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院；2西安工業(yè)大學(xué)

1 引言

軸承滾子在工作過程中因兩端受力不均會出現(xiàn)疲勞點蝕現(xiàn)象而產(chǎn)生應(yīng)力集中[1]。為了減小滾子邊緣產(chǎn)生的應(yīng)力集中，通過超精研磨加工對滾子或滾道進行修形(即進行凸度設(shè)計，使?jié)L子或滾道母線輕微凸起的曲線形狀)，以保證滾子或滾道的受載均勻分布，避免軸承滾子過早出現(xiàn)疲勞導(dǎo)致?lián)p壞，從而提高軸承的使用壽命[2，3]。目前，工程上應(yīng)用較多的滾子修形曲線有全圓弧凸型、圓弧修正凸型和對數(shù)曲線凸型等[4-6]。全圓弧凸型和圓弧修正凸型存在一定的應(yīng)力集中，而對數(shù)曲線凸型可使載荷均勻分布并有效減小應(yīng)力集中，因此在工程中被廣泛應(yīng)用。但修形后滾子母線的細微凸度輪廓誤差會引起其接觸應(yīng)力和彈流潤滑油膜的強烈差異，對軸承的使用性能產(chǎn)生重要影響[7-9]。因此研究軸承滾子對數(shù)曲線凸度輪廓的整體擬合及誤差評定算法，對保證滾子質(zhì)量及精度有重要意義。

軸承滾子的承載能力分析以及滾子凸型的設(shè)計在國內(nèi)外多有研究，但對軸承滾子凸度輪廓素線的擬合以及誤差評定的研究尚有不足。張?zhí)煳10]基于輪廓儀開發(fā)了一套軸承滾子測量系統(tǒng)并計算得到凸度量，在計算誤差時，將所測量的凸度曲線與標準對數(shù)曲線進行了對比，但系統(tǒng)中未進行測量曲線的擬合與誤差評定。賈磊等[11]針對滾子輪廓的修形設(shè)計和加工問題，提出了基于曲線擬合的兩段圓弧輪廓修形最優(yōu)設(shè)計方法。賈松陽[12]針對球面滾子軸承建立了修正對數(shù)曲線，在中間段利用修正對數(shù)曲線擬合，滾子兩端用圓弧擬合修正對數(shù)曲線。上述方法雖然在凸度修形方面達到了一定的效果，但并非完全利用對數(shù)曲線進行擬合與誤差評定。因此，研究對數(shù)曲線型滾子凸度輪廓的擬合以及誤差評定算法對軸承滾子凸度誤差檢測系統(tǒng)設(shè)計具有一定的工程應(yīng)用價值。

針對目前滾子凸度誤差評定方法存在原理誤差及誤差評選不可靠的缺點，本文將滾子凸度輪廓母線分為兩段對數(shù)曲線，提出分段擬合尋求整體誤差的方法。該方法原理簡單，得到的結(jié)果優(yōu)于文獻[13]的方法結(jié)果，能夠有效實現(xiàn)對數(shù)型滾子母線輪廓的誤差評定。

2 對數(shù)母線型滾子凸度數(shù)學(xué)模型

軸承凸度曲線的中間段近似為直線，曲線兩端呈變曲率彎曲狀且分別向兩個端部實體收縮，要求凸度曲線左右對稱。如圖1所示，對數(shù)曲線型滾子凸度母線由兩個相互對稱的對數(shù)曲線組成，即中部微微凸起，曲線輪廓向兩端緩慢減小，兩端與兩倒角圓弧光滑過渡。

圖1 滾子凸度素線的組成

圓柱(圓錐)滾子的對數(shù)型凸度素線(見圖1)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中，a1，b1為平面上任一位置對數(shù)曲線的參數(shù)(左端)，其具體求解過程由式(5)給出；a2，b2為平面上任一位置對數(shù)曲線的參數(shù)(右端)，同理，其求解過程與a1，b1一樣；c為常數(shù)，根據(jù)軸承滾子的接觸長度而定。為保證兩個對數(shù)在平面內(nèi)連續(xù)，要求a1=a2，b1=b2。

3 最小二乘算法評定步驟

3.1 確定兩段對數(shù)曲線的分界點

對數(shù)曲線型凸度素線由兩段對稱的對數(shù)曲線組成，兩段對數(shù)曲線的交點(滿足約束條件)就是對數(shù)凸型曲線的分界點。利用圓弧擬合法計算對數(shù)曲線輪廓離散點的曲率(由于整體凸度曲線首末兩端的數(shù)據(jù)點分別為相應(yīng)曲線段的點，所以在計算曲率時，不考慮首末兩端的數(shù)據(jù)點)，根據(jù)曲率特性判別分界點的位置[13]。

(1)中間數(shù)據(jù)點的曲率計算

設(shè)Pi(xi，yi)(i=1，2，…，N)是被測對數(shù)凸度曲線上的N個測量點，除第一個測量點與最后一個測量點外，剩余測量點為中間段測量點Pi(xi，yi)(i=2，3，…，N-1)。

如圖2所示，中間測量點Pi(xi，yi)的曲率Ki(i=2，3，…，N-1)由點Pi(xi，yi)及左右相鄰的點Pi-1(xi-1，yi-1)和Pi+1(xi+1，yi+1)三點確定的圓決定，中間點Pi(xi，yi)的曲率Ki(i=2，3，…，N-1)為

圖2 曲率計算

(2)

式中

當Pi-1Pi×Pi-1Pi+1>0時，S取正值；反之，S取負值。

(2)中間測量點曲率差及分界點的確定

測量點的曲率差Ei是指測量點Pi(xi，yi)的曲率Ki與前一個測量點Pi-1(xi-1，yi-1)的曲率Ki-1之差，有

Ei=Ki-Ki-1

(3)

由于兩段對數(shù)曲線在分界點處曲率變化較為明顯，曲率差值應(yīng)是局部的極大值或極小值。如果曲率差值滿足|Ei|≤ε(ε是一個閾值)，則曲率差值的極值所對應(yīng)的測量點Pj(xj，yj)為兩段對數(shù)曲線的分界點。

3.2 兩段對數(shù)曲線的最小二乘擬合以及誤差計算

(1)構(gòu)造輔助分界點

基于數(shù)據(jù)點曲率差值法初步確定的分界點不一定是兩段曲線誤差最小時的分界點，所以需要在分界點Pj(xj，yj)左右兩端分別選取t個輔助測量點做進一步判斷，分別記為Pj+t(xj+t，yj+t)和Pj-t(xj-t，yj-t)(其中，1≤t≤5，t的取值范圍不宜過大，根據(jù)分界點兩邊輔助測量點的曲率判定)。那么，分界點與輔助分界點共計構(gòu)成了(2t+1)個數(shù)據(jù)點。

(2)分段擬合以及誤差計算

利用輔助分界點確定兩個對數(shù)曲線的數(shù)據(jù)，依據(jù)最小二乘原理進行擬合。對于左端對數(shù)曲線，利用剩余的數(shù)據(jù)點P1(x1，y1)～Pj-t-1(xj-t-1，yj-t-1)依次與輔助分界點和分界點構(gòu)成擬合數(shù)據(jù)，例如，數(shù)據(jù)1：P1(x1，y1)～Pj-t(xj-t，yj-t)，數(shù)據(jù)2：P1(x1，y1)～Pj-t+1(xj-t+1，yj-t+1)…P1(x1，y1)～Pj+t(xj+t，yj+t)。以式(1)左端對數(shù)曲線方程為例，對目標函數(shù)進行最小二乘原理擬合，擬合過程如下：

為使目標函數(shù)F取得極值，需滿足

(4)

求解方程組(4)可得對數(shù)曲線的參數(shù)為

(5)

通過上述擬合步驟，可以得到(2t+1)個左最小二乘對數(shù)曲線方程

y=a1f+b1flnx(f=1，2，3，…，2t+1)

(6)

將P1(x1，y1)～Pj-t(xj-t，yj-t)測量點(以數(shù)據(jù)1為例)代入最小二乘對數(shù)曲線F(x，y)=a1+b1lnx中。當F>0時，測量點在最小二乘對數(shù)曲線的外側(cè)；當F<0時，測量點在最小二乘對數(shù)曲線內(nèi)側(cè)。

計算P1(x1，y1)～Pj-t(xj-t，yj-t)測量點(以數(shù)據(jù)1為例)到式(6)的法向距離為

(7)

式中，W(Xi，Yi)為式(6)與其對應(yīng)測量點法線的交點，當測量點在外側(cè)時取正值，測量點位于內(nèi)側(cè)時取負值。

依據(jù)形狀誤差定義可知，左端對數(shù)曲線(以數(shù)據(jù)1為例)的形狀誤差為

δ=|max(di)|+|min(di)|

(8)

由于左端對數(shù)曲線有(2t+1)種擬合情況，故可以得到(2t+1)個誤差

δ2t+1=|max(di)2t+1|+|min(di)2t+1|

(9)

為保證整體凸度曲線的連續(xù)性，對于右端對數(shù)曲線，利用左端構(gòu)成的擬合數(shù)據(jù)的終點(即某一輔助分界點或分界點)與右端對數(shù)曲線的剩余數(shù)據(jù)點構(gòu)成擬合數(shù)據(jù)，例如Pj-t(xj-t，yj-t)～PN(xN，yN)。

根據(jù)上述左端對數(shù)曲線擬合方法，可以得到右端對數(shù)曲線的參數(shù)為

(10)

對于右端對數(shù)曲線，同樣可以得到(2t+1)個右最小二乘對數(shù)曲線方程

y=a2f+b2fln(c-x)(f=1，2，3，…，2t+1)

(11)

重復(fù)上述相同的方法可以得到(2t+1)個右端對數(shù)曲線誤差

σ2t+1=|max(di)2t+1|+|min(di)2t+1|

(12)

3.3 對數(shù)型凸度輪廓總誤差

根據(jù)輪廓誤差定義，可以推斷左端對數(shù)曲線與右端對數(shù)曲線在分段點處分別擬合時的兩段曲線最大誤差才能包容整條凸度輪廓。通過上述計算步驟對兩段對數(shù)曲線分別擬合求誤差，共計有(2t+1)種情況，那么就可以得到(2t+1)個最大誤差值，記為Δ(2t+1)。在Δ(2t+1)中最小值構(gòu)造的區(qū)域為對數(shù)型凸度輪廓的總誤差，為

Q=min{Δ(2t+1)}

(13)

4 實例驗證

為了驗證對數(shù)母線型滾子凸度輪廓的最小二乘擬合與誤差評定算法的正確性，根據(jù)對數(shù)凸度曲線的幾何形狀特征，選取二維平面坐標軸標準位置上兩段對稱布置的對數(shù)曲線作為軸承凸度輪廓誤差評定的數(shù)學(xué)模型，將選取的標準曲線進行數(shù)據(jù)點離散化，并在其法線方向加入隨機誤差，模擬實際測量數(shù)據(jù)進行仿真，經(jīng)過上述算法處理后計算出分界點。

如表1所示，在設(shè)定的對數(shù)型凸度曲線公式(見圖3)中選取49個點，并在其法線方向加入隨機誤差，構(gòu)造實際測量數(shù)據(jù)，有

圖3 設(shè)定的標準對數(shù)母線輪廓

(14)

利用式(2)和式(3)對表1中設(shè)定對數(shù)曲線的數(shù)據(jù)點以及加入隨機誤差后構(gòu)造的測量數(shù)據(jù)點進行仿真分析，可以得到對應(yīng)數(shù)據(jù)點的曲率值與曲率差的變化規(guī)律(見圖4)。

(a)設(shè)定對數(shù)曲線數(shù)據(jù)點的曲率(不包含首末兩點)

由圖可以看出，設(shè)定曲線上數(shù)據(jù)的曲率(見圖4a)和曲率差(見圖4b)與在設(shè)定曲線上加入隨機誤差后生成的仿真數(shù)據(jù)曲率(見圖4c)和曲率差(見圖4d)基本吻合，說明此方法的正確性。

通過計算測量點Pi(xi，yi)可以得到曲率差的最大值為0.0766，將閾值設(shè)定為0.05，得到分界點為P25(x25，y25)。為方便計算，在分界點P25(x25，y25)左右兩側(cè)各選一個數(shù)據(jù)點作為輔助分界點，對左端對數(shù)曲線進行擬合以及誤差計算，可得到3個左最小二乘對數(shù)曲線方程及誤差，計算結(jié)果見表2。

表2 擬合左端對數(shù)曲線參數(shù)及其誤差

同理，在分界點P25(x25，y25)左右兩側(cè)各選取一個數(shù)據(jù)點作為輔助分界點，對右端對數(shù)曲線進行擬合以及誤差計算，可得到3個右最小二乘對數(shù)曲線方程及誤差，計算結(jié)果如表3所示。

表3 擬合右端對數(shù)曲線參數(shù)及其誤差

根據(jù)式(13)計算對數(shù)型凸度輪廓總誤差，計算結(jié)果如表4所示。

表4 對數(shù)型凸度輪廓總誤差

從表4可以看出，通過曲率差構(gòu)造分界點擬合對數(shù)型凸度輪廓得到的總誤差為0.0071mm，并且總誤差為最小時，兩段對數(shù)曲線的分界點在P25(x25，y25)，同時可得到相對應(yīng)的參數(shù)。加入隨機誤差后的仿真數(shù)據(jù)與理論設(shè)定曲線數(shù)據(jù)處理結(jié)果對比見表5。

表5 數(shù)據(jù)處理結(jié)果對比

由表5可以看出，利用最小二乘原理對理論曲線加入隨機誤差后的數(shù)據(jù)進行擬合，所得的參數(shù)與理論對數(shù)凸型曲線參數(shù)基本一致，通過上述步驟計算出對數(shù)型凸度輪廓誤差為0.0071mm，與文獻[13]圓弧修正型凸度輪廓曲線的總誤差0.0209mm相比，精度有所提高。

5 結(jié)語

本文對對數(shù)型軸承滾子凸度輪廓素線進行了最小二乘擬合以及誤差評定，通過案例仿真分析了其有效性并得出以下結(jié)論。

(1)選取對數(shù)型軸承滾子凸度輪廓素線為研究對象，根據(jù)輪廓的形狀確定了對數(shù)型軸承滾子凸度輪廓素線的數(shù)學(xué)模型。

(2)利用三點圓弧法研究了對數(shù)型軸承滾子凸度輪廓素線離散數(shù)據(jù)的曲率以及在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上加入隨機誤差后離散數(shù)據(jù)的曲率。

(3)對理論數(shù)據(jù)以及離散數(shù)據(jù)利用曲率差找到分界點，并利用分界點構(gòu)造了輔助分界點。

(4)利用分界點以及輔助分界點對對數(shù)型軸承滾子凸度輪廓素線進行分段擬合，得到相對應(yīng)的總體誤差。本文為軸承滾子凸度輪廓誤差評定提供了一種有效方法，此方法編程簡單且無需坐標轉(zhuǎn)換。