劉 雁， 高 寬， 黃 炎， 張 赫， 肖 軍

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 西安 710072； 2. 合肥通用機(jī)械研究院 壓縮機(jī)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 合肥 230031)

異步電動(dòng)機(jī)作為典型的傳動(dòng)機(jī)械，在艦艇、發(fā)電廠、機(jī)床設(shè)備、化工廠等工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。由于異步電動(dòng)機(jī)常常在惡劣的環(huán)境下工作，且持續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間較長(zhǎng)，難免出現(xiàn)故障影響正常生產(chǎn)，甚至可能引發(fā)重大安全事故。因此，在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)，電動(dòng)機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)故障診斷，在故障初發(fā)階段進(jìn)行預(yù)警，是非常必要的。

現(xiàn)階段，設(shè)備的故障診斷方法大致可分為基于解析模型的方法、基于知識(shí)的方法和基于信號(hào)處理的方法三大類別。第一種是基于解析模型的診斷方法，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，分析研究電動(dòng)機(jī)參數(shù)變化和系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系[1]。第二種是基于知識(shí)的方法，根據(jù)大量的歷史數(shù)據(jù)，建立故障診斷輸入數(shù)據(jù)與診斷輸出信號(hào)映射關(guān)系的數(shù)學(xué)模型[2]。第三種是基于信號(hào)處理的方法，電動(dòng)機(jī)運(yùn)行在不同的故障狀態(tài)時(shí)，其振動(dòng)、電流、磁場(chǎng)及聲音等信號(hào)會(huì)呈現(xiàn)不同的特征。通過(guò)提取出其中與故障相關(guān)的特征量，如頻率、幅值等，進(jìn)而確定電動(dòng)機(jī)是否存在故障。該方法最大的優(yōu)勢(shì)在于不需要搭建精確的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

目前，基于信號(hào)處理的方法，尤其是Huang 等提出的信號(hào)分解方法，在電動(dòng)機(jī)機(jī)械振動(dòng)識(shí)別上的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，并衍生出一系列的理論方法和研究思路。Hamdad等[3]將Hilbert-Huang變換與模式識(shí)別方法結(jié)合應(yīng)用于感應(yīng)電機(jī)的故障檢測(cè)，對(duì)轉(zhuǎn)子斷條、轉(zhuǎn)子斷環(huán)等故障進(jìn)行了研究，改善不同轉(zhuǎn)子故障的分類結(jié)果。唐貴基等[4]在提取軸承故障信息時(shí)采用了變分模態(tài)分解方法(VMD)，有效地獲得了軸承初始故障的識(shí)別信息。蔣麗英等[5]通過(guò)粒子群算法對(duì)VMD算法的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，有效地獲得了齒輪故障特征信息，完成了故障診斷任務(wù)。蔣靖等[6]將經(jīng)驗(yàn)小波分解(EWT)與快速譜峭度相結(jié)合，分析了滾動(dòng)軸承的早期故障特征。但是，這些方法無(wú)法深入解釋電動(dòng)機(jī)內(nèi)部的動(dòng)力學(xué)行為，在工程應(yīng)用中容易受到環(huán)境影響，這將限制這些方法的應(yīng)用范圍和識(shí)別效果。

電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，根據(jù)電動(dòng)機(jī)中出現(xiàn)的一些非線性特性，來(lái)解決實(shí)際系統(tǒng)中所遇到的問(wèn)題，已經(jīng)成為電機(jī)學(xué)研究和故障診斷中的一個(gè)重要研究方向[7]。在電動(dòng)機(jī)故障診斷的研究中，如果能夠通過(guò)深入分析電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)出的非線性特征來(lái)進(jìn)行信號(hào)處理，將有效的提高識(shí)別的抗環(huán)境干擾性和識(shí)別精度。Wang等[8]通過(guò)相空間重構(gòu)對(duì)電動(dòng)機(jī)故障信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)和復(fù)雜度進(jìn)行了估算，驗(yàn)證了這兩個(gè)非線性量可以有效反映旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障信息。呂琛等[9]利用混沌關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)滾動(dòng)軸承的非線性振動(dòng)進(jìn)行研究，計(jì)算了滾動(dòng)軸承不同狀態(tài)下的關(guān)聯(lián)維數(shù)，研究結(jié)果表明軸承正常、滾動(dòng)體故障、內(nèi)圈故障、外圈故障的關(guān)聯(lián)維數(shù)有明顯的可分性。劉占生等[10]將小波分析和分形幾何應(yīng)用于轉(zhuǎn)子動(dòng)靜碰摩故障診斷中，相比于傅里葉分析，該方法提供了精度更高的摩擦故障征兆。楊文平等[11]利用最大Lyapunov指數(shù)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的故障進(jìn)行診斷和監(jiān)控，并取得了一定的效果。

Lyapunov指數(shù)作為一類重要的非線性參數(shù)，近些年來(lái)在復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究和數(shù)值預(yù)測(cè)中得到了廣泛地應(yīng)用[12]。由于異步電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)中包含著豐富的非線性特征，從非線性角度研究電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)的最大Lyapunov指數(shù)與電動(dòng)機(jī)運(yùn)行狀態(tài)之間的關(guān)系，具有一定的理論及實(shí)踐意義。

1 相關(guān)理論

1.1 時(shí)間序列的相空間重構(gòu)

在采用Lyapunov 指數(shù)對(duì)電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析之前，需重構(gòu)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的相空間。相空間重構(gòu)理論是混沌定量研究的基礎(chǔ)。由于系統(tǒng)的任意分量的演化都是由系統(tǒng)中與之相關(guān)的分量決定的，系統(tǒng)的信息一定會(huì)隱含在任意分量的發(fā)展過(guò)程中，因此通過(guò)考察一個(gè)分量，對(duì)其在一定時(shí)間間隔下的測(cè)量值進(jìn)行分析，可以提取系統(tǒng)的非線性特征。20 世紀(jì)80年代，荷蘭數(shù)學(xué)家Takens[13]提出了著名的Takens定理，該定理是相空間重構(gòu)的理論基礎(chǔ)。根據(jù)Takens定理，對(duì)于長(zhǎng)度為N的一維時(shí)間序列{x(i)}，其相空間重構(gòu)的基本過(guò)程如下：

(1) 選擇合適的重構(gòu)參數(shù)，即嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ。

(2) 從x(1)開始取值，每一個(gè)值的往后延遲τ個(gè)點(diǎn)，共取m個(gè)值，則得到m維相空間中的第1個(gè)點(diǎn)：

Y(1)=(x(1),x(1+τ)，…，x(1+(m-1)τ))

(1)

(3) 去掉x(1)，以x(2)為第一個(gè)值，采用步驟2中的方法得到相空間的第2個(gè)點(diǎn)：

Y(2)=(x(2),x(2+τ)，…，x(2+(m-1)τ))

(2)

(4) 對(duì)于長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列，依次可得到M個(gè)相點(diǎn)構(gòu)成的m維相軌跡。

Y(1)=(x(1),x(1+τ)，…，x(1+(m-1)τ))

Y(2)=(x(2),x(2+τ)，…，x(2+(m-1)τ))

……

Y(M)=(x(M),x(M+τ)，…，x(M+(m-1)τ))

(3)

其中，M=N-(m-1)τ，{Y(i)}是重構(gòu)m維相空間中的相點(diǎn)。這樣，相點(diǎn)間的連線就可以描述系統(tǒng)在m維相空間中的演化軌跡，該軌跡也叫作重構(gòu)吸引子。顯然，重構(gòu)吸引子中總共有M個(gè)點(diǎn)。也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)相空間重構(gòu)，由一維N個(gè)點(diǎn)的時(shí)間序列得到了m維的重構(gòu)吸引子。

實(shí)現(xiàn)相空間重構(gòu)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)在于選擇合適嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ作為重構(gòu)參數(shù)。通常，所構(gòu)建相空間中的吸引子應(yīng)具有較低的重復(fù)性和較強(qiáng)的相關(guān)性。確定重構(gòu)參數(shù)的方法有多種，主要分為兩類：第一類認(rèn)為兩個(gè)重構(gòu)參數(shù)的選取是獨(dú)立的，如自相關(guān)函數(shù)法和互量信息法等，這些方法通過(guò)評(píng)估重構(gòu)吸引子的自相關(guān)性、總體關(guān)聯(lián)量等信息，分別確定兩個(gè)參數(shù)；第二類認(rèn)為τ和m的選取是相互依賴的，如C-C算法，這種方法是通過(guò)統(tǒng)計(jì)的手段，同時(shí)確定兩個(gè)參數(shù)。由于C-C算法具有適用于小數(shù)據(jù)量，計(jì)算方便的優(yōu)點(diǎn)，本文中擬采用C-C算法計(jì)算重構(gòu)參數(shù)延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m。

1.2 Lyapunov指數(shù)的物理含義

Lyapunov指數(shù)是定量分析混沌運(yùn)動(dòng)的特征參數(shù)，用來(lái)衡量系統(tǒng)的初值敏感性?；煦邕\(yùn)動(dòng)可能存在于世界上一切的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)中，其基本特點(diǎn)就是對(duì)初值極為敏感。在相空間中，兩個(gè)很靠近的初值所產(chǎn)生的兩條相軌跡，會(huì)隨時(shí)間推移按指數(shù)方式分離，Lyapunov指數(shù)就是定量描述這一現(xiàn)象的物理量[14]。Lyapunov指數(shù)的定義如下：

設(shè)F是Rm→Rm上的m維映射

Xk+1=F(Xk)

(4)

設(shè)系統(tǒng)的初始值為X0與X0+δX0，其中δX0為一微小量，迭代一次，則兩點(diǎn)之間的偏移量變?yōu)?/p>

δX1=DF0·δX0

(5)

其中，DF0為F在X=X0處的Jacobian矩陣

(6)

以此類推，迭代n次后，則有

δXn=DFn-1DFn-2…DF0·δX0

(7)

記DFn=DFn-1DFn-2…DF0，設(shè)

(8)

T(X)為一個(gè)正定矩陣，設(shè)σ1≥σ2≥…≥σm>0 為T(X)的m個(gè)特征值，則系統(tǒng)的第i個(gè)Lyapunov指數(shù)為

λi=lnσi(i=1,2,…m)

(9)

將所有的Lyapunov指數(shù)按由大到小排列得到Lyapunov指數(shù)譜

λ1≥λ2≥λ3≥…≥λm

(10)

其中λ1為最大Lyapunov指數(shù)，它的值可能為正，負(fù)或零。如果最大Lyapunov指數(shù)為零而其余Lyapunov指數(shù)為負(fù)，則系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)；如果存在正Lyapunov指數(shù)，則系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)。因此，識(shí)別系統(tǒng)是否做混沌運(yùn)動(dòng)只需判斷最大Lyapunov指數(shù)是否為正，而不需要計(jì)算出所有的Lyapunov指數(shù)，這樣就可以極大的減少計(jì)算量。并且，最大Lyapunov指數(shù)越大，系統(tǒng)中的混沌特性越明顯，混沌程度越高。

1.3 Lyapunov指數(shù)的計(jì)算

使用定義法計(jì)算系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜時(shí)，需要先得到系統(tǒng)演化的數(shù)學(xué)模型。但是在異步電動(dòng)機(jī)故障系統(tǒng)中，這種方法的可操作性和難度較大，并不能在實(shí)際問(wèn)題中得到應(yīng)用?；谙嗫臻g重構(gòu)，Wolf等[15]提出基于相軌線、相平面以及相體積等演化來(lái)計(jì)算Lyapunov指數(shù)。在此基礎(chǔ)上，相關(guān)學(xué)者陸續(xù)提出了Jacobian方法[16]、p-范數(shù)方法[17]、小數(shù)據(jù)量法[18]以及BBA算法[19]等Lyapunov指數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法。采用Wolf方法和BBA算法可以確定系統(tǒng)的全部Lyapunov指數(shù)，采用p-范數(shù)方法和小數(shù)據(jù)量法可以確定系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)。

BBA算法通過(guò)Taylor展開求解Jacobian矩陣，更適合實(shí)現(xiàn)異步電動(dòng)機(jī)故障信號(hào)的實(shí)時(shí)分析。此外，BBA算法定義了全局嵌入維數(shù)的概念，克服了傳統(tǒng)Jacobian方法容易找到虛假鄰點(diǎn)的不足，具有計(jì)算結(jié)果可靠，使用方便的優(yōu)點(diǎn)。其計(jì)算過(guò)程如下：

由Lyapunov指數(shù)的定義可知，系統(tǒng)演化的Jacobian矩陣決定了系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜。BBA算法首先根據(jù)單變量時(shí)間序列重構(gòu)相空間，并假設(shè)重構(gòu)吸引子軌跡滿足確定性映射關(guān)系，根據(jù)近鄰相點(diǎn)用Taylor級(jí)數(shù)展開，用最小二乘法提取系統(tǒng)演化的Jacobian矩陣，最后通過(guò)計(jì)算Jacobian乘積矩陣DFn的特征值來(lái)計(jì)算Lyapunov指數(shù)譜。

設(shè)時(shí)間序列{x(i)}重構(gòu)的m維相軌跡的相點(diǎn)為{Y(i)}。根據(jù)Takens定理，{Y(i)}是原動(dòng)力系統(tǒng)的一條軌跡在Rm中的嵌入，對(duì)應(yīng)一個(gè)m維映射F

Y(n+T)=F(Y(n))

(11)

式中，T為迭代步長(zhǎng)。

對(duì)于相軌跡上任意一點(diǎn)Y(n)，設(shè)其第r個(gè)最近鄰點(diǎn)為Yr(n,0)，定義Yr(n,0)與Y(n)的差矢量為

Zr(n,0)=Yr(n,0)-Y(n)

(12)

迭代一個(gè)步長(zhǎng)T后，有

Yr(n,T)=F(Yr(n,0))

(13)

Zr(n,T)=Yr(n,T)-Y(n+T)

(14)

設(shè)m維矢量Y的第α個(gè)分量為Yα，m維映射F的第α個(gè)分量為Fα。對(duì)Yr(n,T)的每個(gè)分量都進(jìn)行Taylor展開，有：

o(Y3)

(15)

其中，α=1,2,…,m，?Fα為映射Fα的Hamilton算子，Hα為

(16)

顯然，[?Fα(Y(n))]T是F在Y(n)處的Jacobian矩陣DF(n)的第α行。對(duì)式(15)進(jìn)行二階截短的近似計(jì)算，有

(17)

為便于矩陣運(yùn)算，式(17)中的二次型展開為

(18)

(19)

此時(shí)，X(n)變?yōu)?/p>

(20)

令

(21)

式中，DFαβ(n)為Jacobian矩陣DF(n)的第α行第β列。

則X(n)，V(n)和B(n)滿足

X(n)·B(n)=V(n)

(22)

當(dāng)矩陣X(n)的秩小于m時(shí)，線性方程組有解，可以通過(guò)最小二乘法求出矩陣B(n)。B(n)的前m行就是系統(tǒng)的Jacobian矩陣DF(n)，通常取R≥2m，使得矩陣X(n)行數(shù)至少是列數(shù)的兩倍。以此類推，也可以求得高階截短近似時(shí)的Jacobian矩陣，階數(shù)越高，結(jié)果越精確，但算法的時(shí)間復(fù)雜度會(huì)呈指數(shù)級(jí)增大，通常取階數(shù)o≥3。

DF(n)Q(n-1)=Q(n)R(n),n=1,2,…,N

(23)

其中Q(0)=I是單位陣，系統(tǒng)的第i個(gè)Lyapunov指數(shù)為

(24)

定義一個(gè)局部嵌入維數(shù)mL和全局嵌入維數(shù)mG，假設(shè)吸引子維數(shù)是已知的，那么局部嵌入維數(shù)與吸引子維數(shù)ma需滿足

ma≤mL≤ma+1

(25)

同時(shí)，全局嵌入維數(shù)與吸引子維數(shù)需要滿足一個(gè)充分條件

mG≥2ma+1

(26)

在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，吸引子維數(shù)ma可以采用任意一種分形維數(shù)來(lái)替代，一般采用關(guān)聯(lián)維數(shù)D。由于系統(tǒng)的吸引子維數(shù)限制了Lyapunov指數(shù)的個(gè)數(shù)，所以想要獲得系統(tǒng)mL個(gè)Lyapunov指數(shù)，就必須用mL作為嵌入維數(shù)進(jìn)行相空間重構(gòu)。但是，BBA算法通過(guò)近鄰點(diǎn)的演化來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的Jacobian矩陣，如果嵌入維數(shù)太低，重構(gòu)軌道將出現(xiàn)折疊、自交的現(xiàn)象，導(dǎo)致近鄰點(diǎn)與實(shí)際近鄰點(diǎn)誤差過(guò)大，錯(cuò)誤計(jì)算所得Jacobian矩陣。因此，BBA算法認(rèn)為，在搜索近鄰點(diǎn)的過(guò)程中，應(yīng)在mG維相空間搜索近鄰點(diǎn)。

2 異步電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)采集與預(yù)處理

2.1 信號(hào)采集方案

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方案如圖1所示。三相異步電動(dòng)機(jī)由變頻器驅(qū)動(dòng)，通過(guò)底座螺栓與試驗(yàn)臺(tái)底板連接。電動(dòng)機(jī)和試驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸通過(guò)聯(lián)軸器連接，轉(zhuǎn)軸末端帶動(dòng)磁粉制動(dòng)器工作。轉(zhuǎn)軸中間使用直鏈?zhǔn)阶兯推鳒y(cè)量試驗(yàn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩及功率，使用轉(zhuǎn)矩顯示儀表顯示測(cè)量結(jié)果。使用張力控制器為磁粉制動(dòng)器提供勵(lì)磁電流，用于控制制動(dòng)轉(zhuǎn)矩大小。三個(gè)振動(dòng)傳感器分別安裝在電動(dòng)機(jī)軸向、徑向和電機(jī)底部，分別測(cè)量徑向、軸向和底部的振動(dòng)加速度。由于振動(dòng)加速度采用IEPE集成，需要恒流源供電，需使用恒流適配器進(jìn)行供電和信號(hào)轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換后的電壓信號(hào)通過(guò)采集卡進(jìn)行采集，并通過(guò)USB與上位機(jī)連接，上位機(jī)通過(guò)調(diào)用采集卡接口讀取數(shù)據(jù)。

圖1 振動(dòng)信號(hào)采集系統(tǒng)Fig.1 Vibration signal acquisition system

2.2 振動(dòng)信號(hào)波形及預(yù)處理

本文采集了電動(dòng)機(jī)在正常轉(zhuǎn)動(dòng)、安裝不良和轉(zhuǎn)子不對(duì)中三種狀態(tài)下的電動(dòng)機(jī)機(jī)體振動(dòng)信號(hào)，由于試驗(yàn)中使用變頻器的矢量控制模式對(duì)電動(dòng)機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)和調(diào)速，變頻電源中含有的各次時(shí)間諧波與電動(dòng)機(jī)電磁部分的固有空間諧波相互干涉，會(huì)形成各種電磁激振力，帶入一定的振動(dòng)噪聲。此外，采集過(guò)程中使用了恒流適配器對(duì)傳感器信號(hào)進(jìn)行調(diào)理和放大，也會(huì)帶來(lái)一定的采集噪聲。因此需要對(duì)采集所得振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行信號(hào)預(yù)處理。

電動(dòng)機(jī)正常轉(zhuǎn)動(dòng)下的振動(dòng)信號(hào)波形如圖2(a)所示。從圖中可以看出，在電動(dòng)機(jī)正常轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，振動(dòng)信號(hào)中存在輕微的振動(dòng)，振動(dòng)范圍主要集中在-10 ～ 10 m/s2，但是采集過(guò)程中帶來(lái)了一些毛刺和異常值，且主要集中在y軸正半周。在異常數(shù)據(jù)的干擾下，振動(dòng)信號(hào)出現(xiàn)過(guò)低和過(guò)高的情況，需要對(duì)這些毛刺和異常值進(jìn)行剔除，否則會(huì)對(duì)信號(hào)的分析造成不可預(yù)料的影響。剔除異常值后，電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)波形圖如圖2(b)所示。

(a) 原信號(hào)波形圖

(b) 剔除異常值后波形圖圖2 電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)Fig.2 motor is in stable status

電動(dòng)機(jī)安裝不良時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的振動(dòng)信號(hào)波形如圖3(a)所示。剔除異常值后的波形如圖3(b)所示?？梢钥吹剑c正常轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)相比，電動(dòng)機(jī)在安裝不良時(shí)，在振動(dòng)波形中無(wú)法看出宏觀上的區(qū)別。安裝不良時(shí)，振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)出隨機(jī)性強(qiáng)，波形混亂的特點(diǎn)，振動(dòng)范圍在-10 ～ 10 m/s2。

(a) 原信號(hào)波形圖

(b) 剔除異常值后波形圖圖3 電動(dòng)機(jī)安裝不良時(shí)Fig.3 motor is in bad installation

電動(dòng)機(jī)不對(duì)中時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的振動(dòng)信號(hào)如圖4(a)所示。剔除異常值后的波形如圖4(b)所示。相比于另外兩種振動(dòng)信號(hào)，轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí)信號(hào)的異常值較少，對(duì)信號(hào)整體的影響較小，轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí)，振動(dòng)幅度發(fā)生了明顯的變化，在-30 ～ 30 m/s2范圍內(nèi)波動(dòng)，且振動(dòng)出現(xiàn)規(guī)律性的波動(dòng)，此時(shí)某一頻率分量對(duì)信號(hào)的影響較大，噪聲對(duì)信號(hào)的影響較小。

(a) 原信號(hào)波形圖

(b) 剔除異常值后波形圖圖4 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí)Fig.4 motor is in misalignment

對(duì)于電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子不對(duì)中信號(hào)，在剔除異常值后還存在部分隨機(jī)噪聲，這些噪聲可以通過(guò)一定的預(yù)處理手段消除。電動(dòng)機(jī)常用的去噪方法有小波閾值去噪、倒頻譜方法、奇異值分解去噪等。經(jīng)過(guò)對(duì)比，奇異值分解去噪具有計(jì)算簡(jiǎn)單，去噪效果良好的優(yōu)點(diǎn)。因此，本文采用奇異值分解方法進(jìn)行去噪，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子不對(duì)中振動(dòng)信號(hào)的去噪效果如圖5所示。

圖5 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子不對(duì)中振動(dòng)波形奇異值分解后波形圖Fig.5 Denoising waveform by singular value decomposition when motor is in misalignment

3 電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)的Lyapunov指數(shù)特征

3.1 Lyapunov指數(shù)譜參數(shù)

本文擬采用BBA算法計(jì)算電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)的Lyapunov指數(shù)譜，并使用如下參數(shù)描述Lyapunov指數(shù)譜：最大Lyapunov指數(shù)λ1、Kolmogorov熵KL和所有Lyapunov指數(shù)之和∑λi。

Kolmogorov熵用來(lái)表示數(shù)據(jù)在空間中分布能量的特征量，它定義為系統(tǒng)信息的平均損失率[21]。Kolmogorov熵與Lyapunov指數(shù)之間滿足如下關(guān)系

(27)

式中，λj為系統(tǒng)正的Lyapunov指數(shù)。K值越大，說(shuō)明系統(tǒng)信息的平均損失率越大，系統(tǒng)的可預(yù)測(cè)性就越弱，混沌程度越大。當(dāng)K無(wú)窮大時(shí)，對(duì)應(yīng)完全無(wú)序的運(yùn)動(dòng)，如純?cè)肼曅蛄?；?dāng)K為0時(shí)，對(duì)應(yīng)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，如周期序列；當(dāng)K為大于0的有限常數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)混沌系統(tǒng)。

由于系統(tǒng)演化的各個(gè) Lyapunov 指數(shù)分別代表著系統(tǒng)在各個(gè)方向上長(zhǎng)時(shí)間演化的平均指數(shù)發(fā)散或收縮速率，因此系統(tǒng) Lyapunov 指數(shù)譜的總和代表了相空間體積的時(shí)間平均發(fā)散或收縮速率。對(duì)于耗散系統(tǒng)，由于散度小于0，其相空間體積總體上是收縮的，因此其所有 Lyapunov 指數(shù)的總和為負(fù)；對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)，由于相空間體積處于膨脹狀態(tài)，其Lyapunov 指數(shù)總和為正。

3.2 Lyapunov指數(shù)特征

表1列出了六組試驗(yàn)電動(dòng)機(jī)正常轉(zhuǎn)動(dòng)下振動(dòng)信號(hào)(P1～P5)的Lyapunov指數(shù)特征。每組數(shù)據(jù)包含2 048個(gè)采樣點(diǎn)，各組數(shù)據(jù)的間隔為10 s。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為2 200 r/min，采樣頻率為2 048 Hz。將重構(gòu)相空間所使用的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)記做τ和m；將關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算結(jié)果記做D；將BBA算法計(jì)算所得Lyapunov指數(shù)譜記做λi；將Lyapunov指數(shù)譜計(jì)算所得Kolmogorov熵記做KL，即全部正的Lyapunov指數(shù)之和；將所有Lyapunov指數(shù)之和記做∑λi。

表1 正常轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的Lyapunov指數(shù)特征Tab.1 Lyapunov exponent feature under stable state

從表1中可得，根據(jù)BBA算法的計(jì)算結(jié)果，最大Lyapunov指數(shù)總是大于零，對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)具有初值敏感性，其相軌跡會(huì)出現(xiàn)分離的趨勢(shì)；在六組數(shù)據(jù)中，Kolmogorov 熵均大于零且為一有限正值，除P4信號(hào)外，其值均大于0.7，表明對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)不確定性程度較高，信息損失率較大，系統(tǒng)的可預(yù)測(cè)性較弱，表現(xiàn)出比較大的混沌特性。因此，可以判定，在電動(dòng)機(jī)穩(wěn)定工作狀態(tài)下，其振動(dòng)加速度信號(hào)的序列出自于一個(gè)混沌過(guò)程。全部Lyapunov指數(shù)之和均小于零，表明了此時(shí)該動(dòng)力系統(tǒng)為耗散(即物理可實(shí)現(xiàn)的)系統(tǒng)[22]。

表2列出了試驗(yàn)電動(dòng)機(jī)在安裝不良時(shí)振動(dòng)信號(hào)(P1～P5)的Lyapunov指數(shù)特征，此時(shí)可以得出與表1相同的結(jié)論，振動(dòng)序列出自于一個(gè)混沌過(guò)程。但是相比較而言，Kolmogorov 熵均小于0.2，說(shuō)明安裝不良時(shí)，動(dòng)力系統(tǒng)的混沌性比正常轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)要弱。

表2 安裝不良時(shí)的Lyapunov指數(shù)特征Tab.2 Lyapunov exponent feature under bad installation

表3列出了試驗(yàn)電動(dòng)機(jī)在轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí)振動(dòng)信號(hào)(P1～P5)的Lyapunov指數(shù)特征，試驗(yàn)參數(shù)同上。從BBA算法的結(jié)果來(lái)看，Lyapunov指數(shù)與Kolmogorov 熵均小于零或者接近于零，從小數(shù)據(jù)量法的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，最大Lyapunov指數(shù)接近于零，可以表明此時(shí)振動(dòng)序列中基本不存在混沌屬性，處于一個(gè)穩(wěn)定、規(guī)律的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

表3 轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí)的Lyapunov指數(shù)特征Tab.3 Lyapunov exponent feature under rotor misalignment

根據(jù)前文的分析研究，在不同工況下，異步電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)的混沌屬性各不相同，通過(guò)研究振動(dòng)序列的Lyapunov指數(shù)特征，可以對(duì)混沌屬性進(jìn)行定性的判斷和定量的描述，因此可以通過(guò)提取特征的方法，使用分類器對(duì)異步電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行故障診斷。在不同工況下，局部嵌入維數(shù)的選擇不同，所以Lyapunov指數(shù)的個(gè)數(shù)也不相同，因此直接使用Lyapunov指數(shù)譜作為故障特征并不合適。本文使用λ1、KL和∑λi作為L(zhǎng)yapunov指數(shù)特征量。

選取異步電動(dòng)機(jī)正常轉(zhuǎn)動(dòng)、安裝不良和轉(zhuǎn)子不對(duì)中的數(shù)據(jù)各100組，三個(gè)特征量的計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

可以看出，電動(dòng)機(jī)正常轉(zhuǎn)動(dòng)(穩(wěn)定)時(shí)，K熵的值在0.4～1.2，λ1取值在0.3～0.7；電動(dòng)機(jī)安裝不良時(shí)，K熵的值大多在0～0.4范圍，λ1取值大多在0～0.3；電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí)，K熵的值基本為0，λ1取值基本小于0。

以Lyapunov指數(shù)之和與Kolmogorov 熵為特征的振動(dòng)序列的樣本分布圖如圖7所示。

圖7 振動(dòng)序列的樣本分布圖Fig.7 Sample distribution diagram of vibration sequence

圖7中橫坐標(biāo)為L(zhǎng)yapunov指數(shù)之和∑λi，縱坐標(biāo)為Kolmogorov 熵KL，從三類信號(hào)的分布情況來(lái)看，Kolmogorov 熵特征幾乎沒(méi)有交集，說(shuō)明其要優(yōu)于Lyapunov指數(shù)之和∑λi?？梢钥闯?，單從聚類的角度，存在個(gè)別樣本處于“交叉區(qū)域”，因此在實(shí)際的故障診斷應(yīng)用中會(huì)出現(xiàn)誤判，但這是因?yàn)樘卣髦祮我辉斐傻?，通過(guò)豐富特征工程，并設(shè)計(jì)有效的分類器可以達(dá)到更加高的識(shí)別率，這是我們后續(xù)的研究?jī)?nèi)容。由上可知，振動(dòng)信號(hào)的Lyapunov指數(shù)特征在異步電動(dòng)機(jī)三種工作狀態(tài)(正常、偏心和安裝不良)下展現(xiàn)除了良好的識(shí)別特征。

3.3 異步電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)Lyapunov指數(shù)的抗干擾性能分析

為了確保BBA算法計(jì)算所得的Lyapunov指數(shù)特征具有可靠性，本文對(duì)BBA算法的抗噪聲性能進(jìn)行分析。對(duì)同一類型的故障信號(hào)，一個(gè)優(yōu)良的特征，應(yīng)該在計(jì)算結(jié)果上滿足良好的聚集性，即多組數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果分布不會(huì)太分散，且具備一定抗噪聲能力。

以轉(zhuǎn)子不對(duì)中故障振動(dòng)序列為例，研究BBA算法受全局嵌入維數(shù)的變化和噪聲的影響。選取樣本100組，圖8所示為在不同全局嵌入維數(shù)下，Lyapunov指數(shù)特征的分布直方圖。其中不同的顏色代表了不同的全局嵌入維數(shù)，可以看出，在全局嵌入維數(shù)取5時(shí)，同一種故障的數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果分布較為分散，計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定、平均值較大、結(jié)論不可靠；在全局嵌入維數(shù)大于5時(shí)，計(jì)算結(jié)果的分布較為集中、主要在0～0.1范圍內(nèi)、計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定、平均值較小、結(jié)論可靠。因此，在計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)盡量避免選取較小的全局嵌入維數(shù)而導(dǎo)致錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。由于K熵的計(jì)算結(jié)果與最大Lyapunov指數(shù)非常接近，呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，因此后面僅對(duì)K熵的分布情況進(jìn)行分析。

(a) Kolmogorov熵分布圖

(b) 最大Lyapunov指數(shù)分布圖圖8 Lyapunov指數(shù)特征分布圖Fig.8 Lyapunov exponent characteristic distribution

固定全局嵌入維數(shù)為10，在原序列中混入不同程度的高斯白噪聲后，樣本的Kolmogorov熵分布情況如圖9所示，可以看出，隨著噪聲幅值的增大，計(jì)算結(jié)果逐漸不穩(wěn)定，分布變得分散。若以0～0.1區(qū)間作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則在5%噪聲干擾(SNR=20)下，7%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1；在10%噪聲干擾(SNR=10)下，17%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1；在20%噪聲干擾(SNR=10)下，41%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1。

圖9 全局嵌入維數(shù)取10時(shí)的Kolmogorov熵分布圖Fig.9 Kolmogorov entropy distribution when the global embedding dimension is 10

固定全局嵌入維數(shù)為15，其他條件不變，樣本的Kolmogorov熵的分布情況如圖10所示。同樣以0～0.1區(qū)間作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則在5%噪聲干擾下，3%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1；在10%噪聲干擾下，18%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1；在20%噪聲干擾下，16%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1。

圖10 全局嵌入維數(shù)取15時(shí)的Kolmogorov熵分布圖Fig.10 Kolmogorov entropy distribution when the global embedding dimension is 15

固定全局嵌入維數(shù)至30，樣本的Kolmogorov熵的分布情況如圖11所示。結(jié)果顯示，若以0～0.1區(qū)間作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則在5%噪聲干擾(SNR=20)下，1%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1；在10%噪聲干擾(SNR=10)下，1%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1；在20%噪聲干擾(SNR=10)下，4%的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果大于0.1。

圖11 全局嵌入維數(shù)取30時(shí)的Kolmogorov熵分布圖Fig.11 Kolmogorov entropy distribution when the global embedding dimension is 30

我們提出兩個(gè)假設(shè)條件：

(1) 在本例中，振動(dòng)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)真實(shí)的K熵取值在范圍在0～0.1區(qū)間；

(2) 在存在噪聲干擾的情況下，有超過(guò)95%的數(shù)據(jù)落在上述區(qū)間內(nèi)時(shí)，認(rèn)為是具備抗干擾能力的。

那么，根據(jù)上文研究結(jié)果，可以得出結(jié)論：全局嵌入維數(shù)取10時(shí)，Lyapunov指數(shù)特征的抗干擾能力小于5%；全局嵌入維數(shù)取15時(shí)，Lyapunov指數(shù)特征的抗干擾能力在5%～10%；全局嵌入維數(shù)取30時(shí)，Lyapunov指數(shù)特征的抗干擾能力大于20%。即嵌入維越大，Lyapunov指數(shù)特征計(jì)算過(guò)程的魯棒性能越好。

4 結(jié) 論

本文使用BBA算法計(jì)算了振動(dòng)信號(hào)的Lyapunov指數(shù)譜，研究了異步電動(dòng)機(jī)在三種工作狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)的非線性特征。研究結(jié)果顯示，異步電動(dòng)機(jī)在正常運(yùn)行時(shí)和安裝不良時(shí)最大Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵均大于零，表明這兩種工作狀態(tài)下電動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)序列出自于一個(gè)混沌過(guò)程，且正常運(yùn)行時(shí)的混沌特性要強(qiáng)于安裝不良時(shí)。在電動(dòng)機(jī)處于轉(zhuǎn)子不對(duì)中狀態(tài)時(shí)，其最大Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵近似為零，表明其振動(dòng)序列中基本不存在混沌屬性。因此，Lyapunov指數(shù)可以清晰的反映和判斷異步電動(dòng)機(jī)的振動(dòng)狀態(tài)，應(yīng)用于異步電動(dòng)機(jī)的健康狀態(tài)識(shí)別和故障預(yù)警。