福建省龍巖市永定區(qū)高陂中學(xué)(364100) 賴惠蘭

福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué)(364100) 童其林

數(shù)學(xué)問題分為結(jié)構(gòu)良好和結(jié)構(gòu)不良問題.前者是初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和算子都很明確的問題,而后者則是這三者中至少有一個沒有明確界定的問題.所謂算子就是解決問題的方法和途徑.結(jié)構(gòu)不良問題一般分為顯性的結(jié)構(gòu)不良問題和隱性的結(jié)構(gòu)不良問題,而隱性的結(jié)構(gòu)不良問題又分為結(jié)構(gòu)缺陷和結(jié)構(gòu)復(fù)雜兩類.比如,條件二選一或三選一的問題就是典型的顯性結(jié)構(gòu)不良問題,而更多的結(jié)構(gòu)不良問題往往都是隱性結(jié)構(gòu)不良問題.一般來說,難題都屬于結(jié)構(gòu)不良的問題,就是在已知與未知之間設(shè)置了較多的障礙,就如要奔向目標(biāo)時,有時要翻過高山,有時要越過大海.

新高考會設(shè)置一些結(jié)構(gòu)不良問題,因為結(jié)構(gòu)不良問題,可以考查學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化等素養(yǎng).

求解結(jié)構(gòu)不良問題,需要知識和能力,也需要方法和策略,需要常規(guī)思維,也需要非常規(guī)思維.訓(xùn)練是提高解決結(jié)構(gòu)不良問題的有效手段,在此基礎(chǔ)上提煉出規(guī)律和方法又是進(jìn)一步優(yōu)化解決結(jié)構(gòu)不良問題的有效途徑.

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的起點,也是落腳點.而對結(jié)構(gòu)不良問題的解決,通常是轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化為易于駕馭的結(jié)構(gòu)良好的問題,其中的補(bǔ)償法是一種有效的轉(zhuǎn)化方法.應(yīng)用補(bǔ)償法可以解決四類缺陷問題:物理性缺陷問題,情境性缺陷問題,過程性缺陷問題,假設(shè)性缺陷問題.下面我們舉例說明.

一、物理性缺陷問題,通過物理割補(bǔ)、等效運算解決

所謂物理性缺陷是指數(shù)學(xué)解題對象在空間上與理想的數(shù)學(xué)模型之間存在一定的缺陷.補(bǔ)償法就是經(jīng)物理性割補(bǔ)使之成為一個完整的理想結(jié)構(gòu),找出缺陷結(jié)構(gòu)與理想結(jié)構(gòu)之間的差異,再用有關(guān)的性質(zhì)、原理求解,從而得到正確的結(jié)論.此類結(jié)構(gòu)不良問題在立體幾何中比較常見.

例1 如圖1,正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則O到平面AC1D1的距離為( )

圖1

解析O到平面AC1D1的距離等于A1到平面AC1D1的距離的,考慮三棱錐A1?AC1D1,用等體積法,可快速求解.

點評可以用向量法求解,但都不如割補(bǔ)法簡單.割補(bǔ)法是高考數(shù)學(xué)的基本方法之一,主要由分割法和補(bǔ)形法組成.通過對幾何體的割、補(bǔ),能發(fā)現(xiàn)未知幾何體與已知幾何體的內(nèi)在聯(lián)系,這種方法蘊(yùn)含了化歸思想,使生疏化成熟悉,復(fù)雜化成簡單,抽象化成直觀,含糊化成明朗.高考數(shù)學(xué)試題和各地的模擬試題中能找到類似問題.

例2 求棱長為的正四面體的體積.

分析將正四面體通過補(bǔ)形使其成為正方體,然后將正方體的體積減去四個易求體積的小三棱錐的體積.

解析如圖2,將正四面體補(bǔ)形成一個正方體,則正方體的棱長為1,則V正四面體=V正方體?4V三棱錐=

圖2

變式1 求棱長為的正四面體的外接球表面積.

變式2 求棱長為的正四面體的內(nèi)切球半徑.

變式3 求棱長為的正四面體的內(nèi)部任一點到各個面的距離之和.

變式4 求棱長為的正四面體的相對棱中點的距離.

變式5 四面體S?ABC中,三組對棱分別相等,且依次為5,6,7,求該四面體外接球的表面積.

將正四面體通過補(bǔ)形使其成為正方體,變式中的前四個問題的便容易求解.變式5 要將四面體補(bǔ)成一個長方體,則問題便迎刃而解.

點評立體幾何解題中,很多時候需將三棱柱補(bǔ)成平行六面體,將三棱錐補(bǔ)成三棱柱或長方體,將三棱柱割分為三棱錐,對棱相等的四面體補(bǔ)成長方體等等這些我們很熟悉的圖形.其實,割補(bǔ)法不僅僅使用于立體幾何,將上述概念中的幾何體或圖形改為代數(shù)式,在數(shù)學(xué)的其它方面使割補(bǔ)法也就很多了,比如運算中的添項減項,重新組合另行考慮,考慮問題的對立面等等均可視為割補(bǔ)法,因此,割補(bǔ)法不只是一種方法,可把它上升為一種思想——一種數(shù)學(xué)思想.

二、情境性缺陷問題,通過返璞歸真、技術(shù)補(bǔ)償解決

所謂情景性缺陷是指實際問題條件與使用條件之間的差異形成的缺陷.良好結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題的條件是有序的、正定的,但實際問題條件往往是無序的、離散的.為此碰到這種原理性缺陷問題時,可以通過畫圖像、畫表格、變形式子并賦予幾何意義等數(shù)學(xué)技術(shù)手段進(jìn)行補(bǔ)償,使問題呈現(xiàn)良好的有序結(jié)構(gòu),返璞歸真.

例3 (2021年湖北協(xié)作體聯(lián)考第16題)已知平面內(nèi)非零向量a,b,c滿足|a|=1,|b|=2,a·b=1,若c2?2b·c+2=0,則|c?a|的取值范圍是____.

圖3

點評向量是有大小和方向的量,本身有幾何意義,再結(jié)合已知條件畫圖分析,利用圓的性質(zhì),問題便可以直觀求解.這里對c2?2b·c+2=0 的處理是一個難點——通過配方,賦予情境,構(gòu)造情境.

例4 (2022年龍巖市高三質(zhì)檢第15題)已知?ABC是等腰直角三角形,點P在平面ABC的同一側(cè)運動,P到平面ABC的距離為6,三棱錐P?ABC的體積為18 且其外接球的半徑為5,則滿足上述條件的點P的軌跡長度為____.

解析先畫一個球(如圖4),再畫等腰直角三角形ABC在球上截得的圓,因為?ABC是等腰直角三角形,所以圓心在斜邊的中點O1上,連接O1O,并延長到O2,此時三棱錐O2?ABC的體積為18,只需過O2作平行于平面ABC可得截面圓O2,圓上的所有點即為P,如圖易求圓O2的半徑為,所以點P的軌跡長度為.

圖4

點評一步一步尋找構(gòu)成軌跡的情境.注意先畫半徑為5 的球,再找滿足題設(shè)的三棱錐P?ABC中的點P可能的情形.如果直接畫三棱錐P?ABC的的外接球,較難完成問題的解答.

三、過程性缺陷問題,通過結(jié)構(gòu)假設(shè)、等效轉(zhuǎn)換解決

不少數(shù)學(xué)問題,在連結(jié)題設(shè)和結(jié)論的關(guān)節(jié)點上,會遇到一些客觀上根本不可能知道的,或可以知道但不需要知道從而不想知道的,或需要知道但當(dāng)前尚未知道的數(shù)學(xué)對象,這些我們泛指過程性缺陷問題.對于此類問題可以將結(jié)構(gòu)假設(shè)為有利問題解決的理想狀態(tài),抹去過程的碎碎末末,抓住理想狀態(tài)下的一些特殊環(huán)節(jié)進(jìn)行分析剖解.

例5 (2022年龍巖市高三質(zhì)檢第7題)已知函數(shù)f(x)=x3+4x,記等差數(shù)列{an} 的前n項和為Sn,若f(a1+2)=100,f(a2022+2)=?100,則S2022=( )

A.?4044 B.?2022 C.2022 D.4044

解析按等差數(shù)列求前n項和的公式Sn=,需求出首項和公差,難.換個等差數(shù)列求前n項和的公式Sn=,則S2022=,只要求出a1+a2022即可,而f(a1+2)=?f(a2022+2),又函數(shù)f(x)=x3+4x是增函數(shù)且是奇函數(shù),所以f(a1+2)=?f(a2022+2)=f(?a2022?2),從而a1+2=?a2022?2,即a1+a2022=?4,所以S2022=(?2)×2022=?4044,選A.

點評發(fā)現(xiàn)f(a1+2)=?f(a2022+2),并利用函數(shù)f(x)=x3+4x是增函數(shù)且是奇函數(shù),并整體考慮,問題便豁然開朗.

例6 (2021年湖北省協(xié)作聯(lián)考第8題)已知函數(shù)f(x)=2022x+log2022?2022?x+1,則關(guān)于x的不等式f(x)+f(2x?1)>2 的解集為( )

A.(?∞,1) B.(1,+∞) C.(?∞,) D.(,+∞)

解析設(shè)g(x)=2022x+log20222022?x,即f(x)?1=g(x),顯然g(x)是奇函數(shù),又易知g(x)在R 上單調(diào)遞增.由f(x)+f(2x?1)>2,可得f(x)?1+f(2x?1)?1>0,即g(x)>?g(2x?1),從而g(x)>g(1?2x),解得x>.故選D.

點評f(x)非奇非偶,但適當(dāng)變形得到f(x)?1=g(x)是奇函數(shù)且是增函數(shù),由此可解決問題.

例7 (2022年重慶八中高三周末檢測(四)第16題)在?ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,面積為S,則的最大值是____.

解析

當(dāng)僅當(dāng)b=c時取等號.

點評本題變量較多,看似無從下手,觀察命題的整體結(jié)構(gòu),面積和a2向含有b,c的關(guān)系轉(zhuǎn)化,前景便光明起來了,即S=bcsinA,a2=b2+c2?2bccosA,之后分子分母同除以bc,再利用均值不等式,便轉(zhuǎn)化為,至此,可以用上述解法求得結(jié)果,也可以有三角函數(shù)的有界性求得結(jié)果.即由

四、假設(shè)性缺陷問題,通過合理假設(shè)、等價轉(zhuǎn)化解決

不少數(shù)學(xué)問題,知道解決問題需要構(gòu)造,需要假設(shè),但到底要假設(shè)什么,需要做一番變形,有時需要美學(xué)觀點進(jìn)行構(gòu)造,有時需要引入變量進(jìn)行構(gòu)造,有時要把常量當(dāng)變量進(jìn)行構(gòu)造,等等.

例8 (2022 屆東北八校第一次聯(lián)考)設(shè)a,b都為正數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù),若aea+1+b

A.ab>e B.b>ea+1C.ab

點評利用美的觀點構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是解決問題的關(guān)鍵.

例9 (2022年重慶八中周末檢測多選題)在銳角三角形ABC中,三個內(nèi)角滿足A < B < C,則下列不等式中正確的有( )

例10 (2021年高考全國乙卷第12題)設(shè)a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=?1.則( )

A.a

解析1a=2 ln 1.01=ln 1.012=ln(1+0.01)2=ln(1+2×0.01+0.012)>ln 1.02=b,所以b < a.下面比較c與a,b的大小關(guān)系.記f(x)=2 ln(1+x)?,則f(0)=0,

由于1+4x?(1+x)2=2x?x2=x(2?x),所以當(dāng)00,即>(1+x),f′(x)>0,所以f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,所以f(0.01)>f(0)=0,即2 ln 1.01>?1,即a>c.

令g(x)=ln(1+2x)?+1,則g(0)=0,

由于1+4x?(1+2x)2=?4x2,在x >0 時,1+4x?(1+2x)2<0,所以g′(x)<0,即函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(0.01)

點評利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定,對于a與c,b與c的大小關(guān)系,將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=2 ln(1+x)?+1,g(x)=ln(1+2x)?+1,利用導(dǎo)數(shù)分析其在0 的右側(cè)包括0.01 的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性,結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c,b與c的大小關(guān)系.

解析2 因為a=2 ln 1.01=ln 1.0201>b=ln 1.02,則排除AD,結(jié)合選項BC,只需判斷a,c的大小,故設(shè)

所以

又因為

點評根據(jù)選擇之的特點,排除AD 后,結(jié)合選項BC,只需判斷a,c的大小,比解析1 少判斷一個,聰明.

總之,數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題的引入,對新高考數(shù)學(xué)卷堅持基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求,科學(xué)把握試題的區(qū)分度,全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)科高考的選拔性功能等方面,都發(fā)揮了積極、良好的導(dǎo)向作用.作為學(xué)習(xí)者,在學(xué)習(xí)過程中獲得盡量多的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,提煉數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),體驗數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題的類型、功能、特點,并靈活運用補(bǔ)償法解決問題,就一定能克敵制勝.