安徽省合肥市第八中學(xué) 合肥市蒲榮飛教育名師工作室(230071) 蒲榮飛

有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)給出了明確的表述,“在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).其主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等”.那么通過(guò)什么途徑可以幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)呢?筆者認(rèn)為“多想少算”便不失為一個(gè)良策.

1 “多想少算”促進(jìn)運(yùn)算核心素養(yǎng)提升的途徑

“多考點(diǎn)想,少考點(diǎn)算”是高考數(shù)學(xué)命題組一直堅(jiān)持的命題原則之一,在歷年的高考數(shù)學(xué)試題中均有所體現(xiàn),因此“多想少算”也應(yīng)成為平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)指導(dǎo)原則.“思維決定行為,思路決定出路”,對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題思考體會(huì)的深入程度,會(huì)直接決定思考的方向以及方法的繁簡(jiǎn).因此可以從理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等視角,通過(guò)“多想”實(shí)現(xiàn)“少算”,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升.

1.1 理解運(yùn)算對(duì)象——在概念內(nèi)涵上多想

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō):“學(xué)數(shù)學(xué),概念是第一位的”.“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”獲得者李邦河院士曾說(shuō),數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也!高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出:教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握,對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,幫助學(xué)生逐步加深理解.數(shù)學(xué)概念的重要性可見(jiàn)一斑,它不僅是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ),還是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓.

判斷與推理是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的思維形式,它常常以定理、法則、公式等形式來(lái)表現(xiàn),而其背后的知識(shí)基礎(chǔ)與理論支撐卻是數(shù)學(xué)概念.因此正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念,是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和發(fā)展運(yùn)算技能等的前提.然而對(duì)概念內(nèi)涵的理解不到位往往會(huì)導(dǎo)致認(rèn)識(shí)上的膚淺,進(jìn)而造成思考方向的不明確以及方法上的陳舊、繁冗甚至謬誤.

例1 已知命題p:關(guān)于x的不等式x2+(a?1)x+a2≤0的解集為?;命題q:函數(shù)y=(2a2?a)x為增函數(shù),若命題p ∨q為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析有關(guān)命題p ∨q為真命題,我們通常有兩種理解:一是包括p真q真、p真q假和p假q真三種情況;二是p,q至少有一個(gè)真.從而經(jīng)常會(huì)采用對(duì)p,q的真假進(jìn)行分類討論或先考慮p,q都假再取補(bǔ)集兩種方法來(lái)處理.

但如果能抓住對(duì)“或”概念的內(nèi)涵再多想一點(diǎn):“或”即表示至少有一個(gè)成立.因此“p或q為真”,即為p真q真、p真q假和p假q真三種情況,也即為“p真或q真”,這樣便可實(shí)現(xiàn)少算的目的.

解設(shè)命題p和q對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a的取值集合分別為P和Q.由關(guān)于x的不等式x2+(a?1)x+a2≤0 的解集為?,知(a?1)2?4a2<0,解得a ,即P=(?∞,?1)∪(,+∞); 由函數(shù)y=(2a2?a)x為增函數(shù)知2a2?a >1,解得a 1,即Q=(?∞,?)∪(1,+∞); 命題p ∨q為真命題時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為

評(píng)注本例無(wú)論是采用分類討論還是采用正難則反,無(wú)疑都需要進(jìn)行多次的集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算,解答過(guò)程較為冗長(zhǎng),究其原因是對(duì)概念的內(nèi)涵想得少,未真正理解運(yùn)算對(duì)象.

1.2 掌握運(yùn)算法則——在遷移使用上多想

為了幫助學(xué)生順利、正確地完成相關(guān)運(yùn)算,老師經(jīng)常會(huì)提煉總結(jié)出運(yùn)算的方法和步驟即運(yùn)算法則.而在運(yùn)算法則的使用上需要強(qiáng)調(diào)和重視的是一要辨識(shí)運(yùn)算對(duì)象,二要依規(guī)有序進(jìn)行運(yùn)算.由于常規(guī)的運(yùn)算對(duì)象非常容易辨識(shí),往往會(huì)造成大家忽視辨識(shí)這一步驟,這本身就是在運(yùn)算法則使用上未形成科學(xué)的法則.一旦遇到差距較大的情景往往很難進(jìn)行有效的方法遷移,長(zhǎng)此以往容易形成思維定勢(shì)甚至造成思維鈍化.

例2 已知a >0 且a≠1,0< x <1,試比較|loga(1+x)|與|loga(1?x)|的大小.

分析本題屬于對(duì)數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值的綜合問(wèn)題,常用的處理思路是先脫絕對(duì)值然后再作差比較大小,同時(shí)還需對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論.針對(duì)絕對(duì)值大小的比較如果換個(gè)視角再多想一點(diǎn):初中有理數(shù)加法運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)確定法則是運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)與絕對(duì)值大的同號(hào),如果利用其來(lái)處理本題會(huì)有幫助嗎?不妨試一試!

解loga(1+x)+loga(1?x)=loga(1?x2),由0< x <1 知0<1?x <1,0<1?x2<1,從而loga(1?x2)與loga(1?x)同號(hào),故由加法運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)確定法則知loga(1?x2)的符號(hào)與絕對(duì)值大的同號(hào),即有|loga(1+x)|<|loga(1?x)|.

評(píng)注本解法將有理數(shù)的加法運(yùn)算結(jié)果符號(hào)的確定法則,遷移用于對(duì)數(shù)式的絕對(duì)值大小的比較,突破了傳統(tǒng)的分類討論解法的固化和束縛,實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)解和巧解的目的.使用這種方法的難度并不在于運(yùn)算法則本身,而是在于運(yùn)算法則使用的辨識(shí)上.機(jī)械的套用法則只是浮于表面的淺層次理解,只有真正掌握了運(yùn)算法則才能做到靈活應(yīng)用、創(chuàng)新使用.

1.3 探究運(yùn)算思路——在定理應(yīng)用上多想

定理是經(jīng)過(guò)受邏輯限制的證明為真的重要的陳述,它是數(shù)學(xué)知識(shí)的匯總和主題,也是我們用來(lái)思考判斷和邏輯推理的基礎(chǔ).有關(guān)定理的教學(xué)一般要求學(xué)生在深入理解定理的前提下,能夠靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理論證.然而對(duì)于有些重要的甚至稱之為基本定理的定理卻常常才美不外現(xiàn),雖很少被直接使用,但卻一直在幕后指引著方向,對(duì)于其作用學(xué)生總是有種虛無(wú)縹緲的感覺(jué).

例3 如圖1,已知平行四邊形ABCD中E是邊CD的中點(diǎn),F是邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),點(diǎn)G是BE和DF的交點(diǎn),設(shè)=a,=b,試用a、b表示

圖1

分析由平面向量基本定理知肯定可以用基底a、b唯一的線性表示,但是如何表示呢?關(guān)鍵在于分點(diǎn)G的位置難以確定,通常我們可以利用平面幾何中的線段比例關(guān)系來(lái)處理.但是如果我們換個(gè)視角多想一點(diǎn):向量最大的優(yōu)點(diǎn)就是可以將幾何問(wèn)題代數(shù)化,那么純粹利用向量的工具可以嗎?

評(píng)注本例先利用三點(diǎn)共線的向量式“算兩次”,然后再通過(guò)平面向量基本定理確定其中參數(shù)的值,運(yùn)算思路清晰、自然.同時(shí)對(duì)于平面向量基本定理的使用也已經(jīng)從幕后走到了前臺(tái),角色也從純粹的理論支撐轉(zhuǎn)換為了主角的精彩演繹,讓學(xué)生從內(nèi)心深處真正感受到了基本定理的重要性,原來(lái)認(rèn)為虛無(wú)縹緲的定理也是如此的接地氣.

1.4 選擇運(yùn)算方法——在問(wèn)題本質(zhì)上多想

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是多個(gè)不同類型知識(shí)點(diǎn)的綜合,但是由于受題干顯現(xiàn)知識(shí)的影響往往造成對(duì)其它知識(shí)或背景的無(wú)視,從而形成思維的定勢(shì).這就需要解題者要理清各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系,尤其是在知識(shí)的本質(zhì)上或交匯處要進(jìn)行深入思考,選擇合適的運(yùn)算方法,使問(wèn)題得到完美解決.

例4 如圖2,已知AB為過(guò)橢圓中心O的一條弦,過(guò)弦的一個(gè)端點(diǎn)B作橢圓的切線BC,連結(jié)OC,過(guò)另一端點(diǎn)A作弦AD//OC交橢圓于D點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE//BC交AB或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)AC交DE于P點(diǎn),證明PD=PE.

圖2

分析本題是一道涉及到直線和橢圓位置關(guān)系的定值類問(wèn)題,我們第一反應(yīng)就是不假思索地利用解析法設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立去證明兩線段相等,解答過(guò)程的繁復(fù)程度可想而知.如果我們?cè)俣嘞胍稽c(diǎn):這是一道解析幾何和平面幾何線段關(guān)系的綜合題,既然從解析幾何的角度去處理較復(fù)雜,那么能否換個(gè)視角從平面幾何的角度去證明結(jié)論呢?

證明如圖3,延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,在?BAQ中由AD//OC及O為AB的中點(diǎn)知BC=CQ,由DE//BC知在?BAC和?CAQ中分別有,,又BC=CQ,所以PD=PE.

圖3

評(píng)注同一個(gè)問(wèn)題,不同的運(yùn)算方法,造成了不同的難易程度,自然收獲也不同.從上證明過(guò)程還可以看出,本例的本質(zhì)就是平面幾何中的平行線分線段成比例問(wèn)題,采用平面幾何的證明方法,不但規(guī)避了解析法中大量繁瑣的計(jì)算,而且凸顯了幾何直觀.同時(shí)還非常容易發(fā)現(xiàn)題中的橢圓只是個(gè)幾何載體而已,與其無(wú)曲線類型并無(wú)必然聯(lián)系,因而將橢圓換成雙曲線或圓該結(jié)論仍然成立,這不正是撥開(kāi)云霧見(jiàn)天日嗎?

1.5 設(shè)計(jì)運(yùn)算程序——在整體結(jié)構(gòu)上多想

整體思想是指在研究問(wèn)題時(shí)從其整體的結(jié)構(gòu)或形式的視角,來(lái)分析問(wèn)題中各條件、結(jié)論間的聯(lián)系,使問(wèn)題得到解決的一種思維方式.在思考問(wèn)題時(shí)要具有整體化的意識(shí),既善于對(duì)整體結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行分析改造,又善于把零散條件進(jìn)行變形整合,才能有效把握問(wèn)題的本質(zhì),明晰解決問(wèn)題的方向.

例5 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

分析本例直接考查了導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則,常規(guī)想法直接利用導(dǎo)數(shù)的除法求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)公式求解,運(yùn)算量大且容易出錯(cuò).如果我們抓住函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)再多想一點(diǎn):若先通分化簡(jiǎn)再求導(dǎo),會(huì)不會(huì)簡(jiǎn)單一些呢?

解(x≥0 且x≠1),即y=?2?2(x?1)?1(x≥0 且x≠1),由導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則立知y′=2(x?1)?2(x≥0 且x≠1).

評(píng)注從整體視角對(duì)題中兩個(gè)分式的結(jié)構(gòu)特征多想一點(diǎn)與直接無(wú)腦的求導(dǎo)公式的套用表現(xiàn)在運(yùn)算上的差別是迥異的,更何況對(duì)于公式的使用還要注意適用條件以及使用的技巧如逆用、變形用等呢?并且從中還可提煉出求導(dǎo)的運(yùn)算程序:求定義域、變形、求導(dǎo)、回顧.

例6 設(shè)函數(shù)f(x)=ex+a(x?1)+b在區(qū)間[0,1]上存在零點(diǎn),則a2+b2的最小值為( )

分析如果緊緊從局部去分析,本題屬于含多個(gè)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,可能會(huì)陷入困境.但如果能從整體的視角去分析條件和結(jié)論間的聯(lián)系,將a,b看作主元便將其轉(zhuǎn)化為了點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題,是不是跨度有點(diǎn)大?

評(píng)注學(xué)生在處理問(wèn)題時(shí),由于經(jīng)常只著眼于局部的分析,頭腦中卻缺少整體的意識(shí)“只見(jiàn)樹(shù)木,不見(jiàn)森林”,從而出現(xiàn)深陷其中不能自拔的境地.整體思想實(shí)際上也是新課程改革實(shí)施的大單元教學(xué)的靈魂所在,它既能讓教師從全局把握授課內(nèi)容,又能助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)、抓住問(wèn)題本質(zhì),從而提升思維能力.

1.6 求得運(yùn)算結(jié)果——在思想方法上多想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法有利于幫助學(xué)生科學(xué)地思考問(wèn)題,易于探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑,從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、建模思想、分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.但是如果對(duì)數(shù)學(xué)思想方法想得少,往往造成認(rèn)識(shí)不到位,勢(shì)必造成使用時(shí)無(wú)法體現(xiàn)其真正價(jià)值.

例7 求函數(shù)的值域.

分析對(duì)于此類無(wú)理函數(shù)值域的求解問(wèn)題,我們經(jīng)常會(huì)從數(shù)形結(jié)合的角度去思考,通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為橢圓和直線的位置關(guān)系來(lái)處理.但是直線和橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題處理起來(lái)本身就比較繁瑣,因此使得數(shù)形結(jié)合法失去了原有的優(yōu)越性.如果我們多想一點(diǎn):能否將其轉(zhuǎn)化為更便于處理的圖形間的位置關(guān)系來(lái)求解呢?

如圖4,當(dāng)直線v=?+y分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí),其在v軸上截距y取得最值.由|OB|=,即,得ymax=; 又由得ymin=.故所求函數(shù)的值域?yàn)?

圖4

評(píng)注同樣是使用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法,但想得多寡直接導(dǎo)致了一樣的“數(shù)”所轉(zhuǎn)化的“形”的不同,從而產(chǎn)生了運(yùn)算的繁簡(jiǎn)差異,直接影響運(yùn)算結(jié)果的得到.

2 妨礙運(yùn)算核心素養(yǎng)提升的原因分析

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是滿足學(xué)生自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)方面的品格和能力,是數(shù)學(xué)知識(shí)、能力和情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合體.將數(shù)學(xué)運(yùn)算提升到學(xué)科核心素養(yǎng)的層面,其在學(xué)生全面發(fā)展上的重要性可見(jiàn)一斑.然而相較于其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),唯有運(yùn)算核心素養(yǎng)最令各學(xué)段的老師、學(xué)生和家長(zhǎng)最為困惑,造成這種情況的原因在哪呢?筆者將從以下幾個(gè)方面加以詮釋.

2.1 不是問(wèn)題恰是最大問(wèn)題

面對(duì)運(yùn)算問(wèn)題,大家的看法和態(tài)度是什么樣的呢?在一線教學(xué)實(shí)踐中,每當(dāng)試卷下發(fā)時(shí)常常會(huì)聽(tīng)到學(xué)生們諸如“我算的都是對(duì)的,就看錯(cuò)了一個(gè)條件,真該死!”、“5+7 我居然寫(xiě)成了13,下次一定要小心啊!”、“計(jì)算!又是計(jì)算!否則……”這樣的喃喃自語(yǔ).而家長(zhǎng)也經(jīng)常會(huì)反饋“孩子在計(jì)算上太粗心了”、“做題就不能細(xì)心點(diǎn)嗎?”之類的話語(yǔ).

從家長(zhǎng)和學(xué)生的話里話外均能明顯感覺(jué)到他們對(duì)于運(yùn)算問(wèn)題的看法和態(tài)度,相對(duì)于知識(shí)點(diǎn)和重要題型來(lái)說(shuō),運(yùn)算根本就不是什么問(wèn)題,稍微細(xì)心一下就可以解決.而筆者的觀點(diǎn)是“不是問(wèn)題恰是最大問(wèn)題”,認(rèn)為不是問(wèn)題會(huì)直接導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題的輕視甚至是忽視,自然而然會(huì)進(jìn)行粗暴的總結(jié)和簡(jiǎn)單的歸因,并且會(huì)想當(dāng)然的認(rèn)為可以輕松解決搞定.而事實(shí)卻是一個(gè)看似小小的運(yùn)算問(wèn)題卻成了老大難問(wèn)題,從小學(xué)帶到初中,從初中又帶到高中,與孩子幾乎是形影不離.

2.2 辨證施治才是妙訣良方

任何現(xiàn)象的產(chǎn)生背后都是有原因的,它都是事物內(nèi)在本質(zhì)的一種表現(xiàn).因此要想解決外在的問(wèn)題,必須先弄清楚產(chǎn)生問(wèn)題的根源,然后再采取針對(duì)性的措施,這也就是中醫(yī)所謂的“辨證施治”.對(duì)于出現(xiàn)的運(yùn)算問(wèn)題不明根源地只是簡(jiǎn)單歸因于粗心大意,怎么可能解決這個(gè)老大難問(wèn)題呢?計(jì)算總出差錯(cuò)、運(yùn)算能力弱,運(yùn)算核心素養(yǎng)就如無(wú)本之末也將無(wú)從談起.

因此,需要對(duì)運(yùn)算問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)的“辯證”,是在運(yùn)算對(duì)象的辨識(shí)上出的問(wèn)題,還是運(yùn)算法則的使用上出的問(wèn)題,抑或是運(yùn)算思路不清晰,運(yùn)算方法選擇不合理、運(yùn)算程序不科學(xué)、運(yùn)算結(jié)果不正確;既可能是單一問(wèn)題,也可能有多重原因,并且還需考慮多個(gè)問(wèn)題的錯(cuò)綜復(fù)雜性以及因果關(guān)系.

而“辯證”越清晰,越利于有針對(duì)性地進(jìn)行有效“施治”.比如對(duì)于學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的看漏或看錯(cuò)條件、答案填寫(xiě)錯(cuò)誤等,不僅需要具備科學(xué)的審題流程,在讀題時(shí)做好必要的圈點(diǎn)勾畫(huà);而且需要養(yǎng)成解題回顧的良好習(xí)慣,增加一步回代確認(rèn)環(huán)節(jié)就可能避免一個(gè)錯(cuò)誤;另外還需要加強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵條件和核心知識(shí)的關(guān)注意識(shí)的訓(xùn)練.再比如對(duì)于運(yùn)算公式、運(yùn)算法則套用錯(cuò)誤問(wèn)題,則需要在準(zhǔn)確記憶公式、法則的基礎(chǔ)上,格外加強(qiáng)對(duì)適用條件的判斷意識(shí)、使用流程的規(guī)范意識(shí)以及逆用、變形用等靈活性的訓(xùn)練.而對(duì)于求解沒(méi)有思路或者思路不清晰的問(wèn)題,就需要在加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本方法的領(lǐng)悟的同時(shí),提升綜合分析能力,善于采用多種語(yǔ)言將其中關(guān)鍵條件翻譯成可操作性、可執(zhí)行的最直白的語(yǔ)句,搭建起已知條件和所求結(jié)論間的橋梁.

2.3 頑疾痼瘴當(dāng)需標(biāo)本兼治

將運(yùn)算問(wèn)題稱為部分學(xué)生的“頑疾痼瘴”一點(diǎn)都不過(guò)分,它的形成經(jīng)歷了日積月累,想通過(guò)下一劑猛藥,就達(dá)到藥到病除的效果也不太現(xiàn)實(shí).因此,運(yùn)算問(wèn)題的徹底解決就需要經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)日.它需要外部練習(xí)來(lái)練就運(yùn)算的基本功,提高準(zhǔn)確率、提升運(yùn)算速度、增強(qiáng)運(yùn)算的靈活性.做這種練習(xí)要力避那種大量的、重復(fù)性的、無(wú)意識(shí)的普通練習(xí),而是一種需要打破不良習(xí)慣、具有持久度和專注力的刻意練習(xí).它更需要不斷加強(qiáng)內(nèi)部修養(yǎng),將基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能、基本思想融會(huì)貫通,才能達(dá)到既治標(biāo)又治本的目的,同時(shí)還會(huì)在提升運(yùn)算能力的基礎(chǔ)上,達(dá)到發(fā)展運(yùn)算核心素養(yǎng)的功效.