福建省南平市高級中學(353000) 江智如 應麗珍 蔡珺

1 問題提出

函數零點是函數的重要性質之一,是培養(yǎng)高中學生直觀想象素養(yǎng)的有效載體,可以幫助學生結合已學的函數圖象,了解函數零點與方程解的關系,理解函數零點存在定理[1],掌握運用函數性質解決實際問題的思想與方法.函數多零點組合變量問題是高考與各類模擬考的熱點,難度大,綜合性強,能夠考查考生綜合數學思想能力和數學素養(yǎng),體現試卷的區(qū)分與選拔功能[2],需要學生借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,建立形與數的聯(lián)系,構建數學問題的直觀模型,探索解決問題的思路[1],提升學生運用數學模型思想發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的數學能力與素養(yǎng).為此,本文在直觀想象素養(yǎng)指引下,從不同的思維層次與能力水平出發(fā),探究求解函數多零點組合變量問題的思路與方法[3].

2 概念界定

函數的零點是函數圖象與x軸交點的橫坐標[4],即關于x的方程f(x)=0 的實數解,要求學生能夠結合已學函數圖象,理解函數零點與方程解的關系[5].含參變量的函數本質上是一個多元函數,當我們研究其中某個自變量時,把其它變量看成參數,再根據參數的范圍討論研究相關的函數問題,是高中函數教學的重點和難點.因此,本文將函數多零點組合變量問題界定為:“以函數多零點為載體,結合含參函數的定義與性質,建構函數模型,求解函數取值范圍的問題”.它能夠培養(yǎng)高中學生函數與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想,促進高中學生空間想象能力、運算求解能力、以及應用意識和創(chuàng)新意識的提升.

3 方法探究

函數多零點組合變量問題主要圍繞函數的圖象性質展開,利用初等函數的圖象、零點存在定理、基本不等式等相關知識與性質,運用數形結合思想,運用函數與方程思想、建模思想,把多元問題轉化為一元含參題型,通過靈活的推理論證能力和扎實的運算求解能力,最終解決問題.筆者在教學實踐過程中,從高中學生的認知水平與數學能力出發(fā),將此類問題歸納為四種解題方法:(1)消元去參法;(2)對稱放縮法;(3)換元構造法;(4)化歸函數法.

4 方法應用

(1)消元去參法 借助函數圖象性質和相關知識確定參變量與零點的范圍,消去參變量,把多零點問題轉化為單個零點問題進行求解.應用的關鍵在于要熟悉掌握中學階段所學初等函數的圖象性質,會用函數的定義與性質讀懂問題,分析問題,轉化問題,解決問題[1];

題型1 (2021年福建南平期末第12題)已知函數f(x)=若方程f(x)=a有四個不同的解x1,x2,x3,x4,且x1< x2< x3< x4,則x3·(x1+x2)+的取值范圍是( )

A.(?1,1] B.[?1,1] C.[?1,1) D.(?1,1)

評析本試題依托函數f(x)的圖象,根據方法1,先確定參變量a的取值范圍,再利用二次函數的對稱性與對數函數圖象的“翻折”性質,把所求式子消元為關于x3的函數,通過函數的單調性求得結果.考查考生對二次函數、對數函數知識的掌握程度,同時也考查考生函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想.

圖1

(2)對稱放縮法 從函數圖象的對稱性入手,把部分零點轉化為常數或定值,減少零點個數,再根據零點的范圍放縮運算得出結果.方法應用的關鍵在于消元轉化,要求考生有扎實的數形結合思想與運算求解能力.

題型2 (2021年深圳市高三一模第8題)已知函數f(x)=若函數g(x)=f(x)?t,(t∈R)有3個不同的零點x1,x2,x3,則2x1+2x2+2x3的取值范圍是( )

A.[16,32] B.[16,34) C.(18,32] D.(18,34)

思路如圖2 作出函數f(x)的圖象,由圖可知,當0< t <1 時,函數g(x)=f(x)?t,(t∈R)有3個不同的零點.不妨設x1< x2< x3,則有1?2x1=2x2?1,即2x1+2x2=2,且4< x3<5,于是16<2x3<32,所以2x1+2x2+2x3∈(18,34),因此選D.

圖2

評析掌握函數圖象的對稱性并能將其應用于零點范圍的求解,是高中函數教學的重要內容之一.本試題是方法2 的典型應用,考生依據題設條件先作出分段函數的圖象確定零點的范圍,利用對稱性,把多零點問題轉化為關于x3的一元指數函數,運用單調性求得結果.所涉及的知識方法為考生所熟悉,易于入手,體現考生的數學能力和思維水平,有利于直觀想象素養(yǎng)與數學運算素養(yǎng)的提升.

(3)換元構造法 對于復合函數的零點問題,常利用換元法,把問題轉化為含參變量函數,再依據函數圖象確定參變量的范圍,進行分類討論,并結合初等函數的性質、零點存在定理等知識最終解決問題.應用的關鍵在于換元構造并對參數分類討論,考查考生化歸與轉化思想、分類與整合思想.

題型3 (2021年哈爾濱三中期末理科第12題)已知函數f(x)=若函數F(x)=f2(x)?2af(x)+的零點個數為4,則實數a的取值范圍為( )

圖3

思路令t=f(x),則F(x)=t2?2at+,從而函數F(x)有4個不同零點轉化為函數g(t)=t2?2at+有兩個不同的零點.設零點分別為t1,t2,不妨設t1< t2,其中t1·t2=,那么關于x的方程f(x)=t1和f(x)=t2分別有兩個不同的解.作函數f(x)的圖象3,由t=f(x)有兩個不同解及t1·t2=,可得0< t1≤1 及t2>2,.如圖4,由二次函數圖象及零點存在定理得

圖4

解得a>,因此選D.

評析本試題以復合函數的零點問題為載體,考查二次方程根的分布問題,來源于教材,又高于教材.試題考查內容重點突出,不但體現《課程標準》[1]的基本理念,而且體現對知識的考查側重于理解和應用的要求.通過巧妙的換元,化繁為簡,以使考生能運用所學知識加以解決,考查考生的數學核心素養(yǎng)、數學建模的思想以及綜合運用所知識解決實際問題的能力.

(4)化歸函數法 對于求解參變量與多零點混合模式的問題,常根據函數的圖形性質,把多零點轉化為關于參變量的表達式,構造函數,利用函數知識求解問題.應用的難度在于化簡多零點與構造關于參變量的函數,考查考生數形結合思想和化歸轉化思想.

題型4 (2021年天津南開區(qū)4月質檢第9題)已知函數f(x)=若函數g(x)=a?|f(x)|有四個零點x1,x2,x3,x4,且x1< x2< x3< x4,則的取值范圍是( )

A.(?1,+∞) B.[4,+∞) C.[1,4) D.[1,2)

圖5

思路問題可等價于方程|f(x)|=a有四個零點,于是作出函數|f(x)|的圖象5,得到a∈(0,2],再由圖象的對稱性求得x1·x2=1,從而可得ax1x2+=a+.令h(a)=a+,a∈(0,2],則由均值不等式求得a+≥4,當且僅當a=2時等號成立,因此選B.

評析本試題圍繞分段函數的對稱性,把多零點轉化為定值,從而把問題化歸為關于參變量的一元函數,再結合圖象確定參變量的范圍,運用均值不等式求出結果.試題融入多個知識點,為考生綜合應用所學數學知識創(chuàng)造條件,既在基礎性、綜合性、應用性與創(chuàng)新性等方面考查考生,又在直觀想象與邏輯推理等數學核心素養(yǎng)方面考查考生,體現試題的區(qū)分度與選拔功能.

5 綜合應用

以上四種解題方法,雖然解答的問題與方法不同,但殊途同歸,可歸納為“一畫二消三化四構造”,即畫出函數的圖象,消參或化歸,構造函數,轉化為一元函數進行求解.考生可以靈活運用已學函數的知識和圖象性質,依托“精致練習”[6]的解題訓練,提高化歸與轉化思想的意識水平,有效實現函數多零點問題與函數知識的相互轉化[7],最終解決問題.

題型5 (2017年江西上饒一模第16題)已知函數f(x)=.若函數F(x)=f(x)?3 的所有零點依次記為x1,x2,x3,···,xn,且x1

評析本試題給出正弦函數在定區(qū)間上的零點個數,考查正弦函數的周期與對稱性質.考生在研究此類問題,一般從三角函數的周期入手,利用三角函數圖象的直觀性,在整體上建立數與形的關聯(lián),再根據周期與對稱性質確定零點的取值范圍,最終解決問題,全面考查考生對正弦函數知識的理解與掌握情況,豐富考生解決問題的思維方法,為考生提供發(fā)揮的空間.

題型6 (2022年金太陽1月聯(lián)考第11題)已知函數f(x)=若方程f(x)=k有四個不同的解x1,x2,x3,x4,且x1< x2< x3< x4,則下列結論正確的是( )

A.0

C.2x1+x2>3 D.x1+2x2的最小值為

思路作函數f(x)的圖象6,可知0< k <1,故A正確;當x≤2 時,由f(x)=|log2x|的性質得,x1x2=1,當x >2 時,由二次函數的對稱性得x3+x4=8,于是x1x2(x3+x4)=8 為定值,故B 正確; 因為x1x2=1,所以1< x2<2,于是,當且僅當時等號成立,故C 錯誤;同理,當且僅當時等號成立,與1,故D 錯誤,因此選AB.

圖6

評析本試題是以多零點問題為背景的多選題,其本質是考查零點的取值范圍.涉及函數的對稱性、單調性、均值不等式求最值等基本性質.要求考生理解掌握函數性質與圖象之間的聯(lián)系,綜合性強,可以較好地區(qū)分不同層次的考生,具有較好的選拔功能.同時試題的設計關注了新課程標準下函數性質與圖象的教學要求,有利于考查考生邏輯分析能力、構圖想象素養(yǎng)及運算求解能力.

6 結語

前蘇聯(lián)女數學家C.A.雅諾夫斯卡婭指出:“解題就是把題歸結為已解過的題”[8],所以函數多零點組合變量問題解決的一個基本特征就是“多步化歸”,通過多步化歸,把一個未知的問題轉換為一個已經解決的問題.因此,在日常的教學實踐中,教師可以在適當的時機對過程方法實時總結或遷移,依托函數圖象,由形到數,以數釋形,數形結合貫穿其中并逐層遞進,幫助學生在交流和反思中領悟數學思想方法在數學學習中的指導作用[9],夯實數學基礎,提升數學綜合素養(yǎng).