廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 朱清波

高中數(shù)學(xué)教材中的向量知識是發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力、提升核心素養(yǎng)的好素材,它提供了一種通過代數(shù)運算刻畫幾何對象的位置關(guān)系和幾何度量問題的工具.其運算過程是數(shù)形結(jié)合思想的典范.人教版新教材空間向量與立體幾何這一章節(jié),旨在讓學(xué)生了解并掌握如何用代數(shù)運算解決幾何問題的一般思路,特別是引入空間直角坐標(biāo)系后,將一些復(fù)雜的空間位置關(guān)系和度量問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算,極大程度彌補了學(xué)生空間想象能力不足的問題,但在實際學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生也會產(chǎn)生一個困惑,即面對不易建系的空間幾何體,相關(guān)角度的度量問題該怎么處理?向量的工具性作用還能體現(xiàn)出來嗎?本文從一道課本習(xí)題的解決過程展開拓展探究,逐步獲得對這類問題一般性的解決思路.

I.利用空間向量推導(dǎo)線面角的計算公式

例1 (人教版選擇性必修一教材第38 頁練習(xí)2)已知PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條射線,每兩條射線的夾角均為60?,那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值( )

分析本題最優(yōu)處理方法是構(gòu)造一個滿足條件的模型,事實上在單位正方體內(nèi)可以找到兩兩成60?的三條線段,具體做法如下:

評析解法1 簡潔優(yōu)美,但短時間內(nèi)很難想到,大部分學(xué)生能構(gòu)造出一個符合模型的正四面體,而后續(xù)的建系和坐標(biāo)運算也較為復(fù)雜,故上述解法不具有一般性.

圖1

圖2

評析解法2 體現(xiàn)了向量的工具性作用.利用向量自由移動的特點,先表示平面上任一直線的方向向量,再利用線面角的幾何特征找到符合題意的方向向量,進(jìn)而求夾角的三角函數(shù)值,顯然該解法具有一般性.

實際上,解析2 中蘊含的解題思路可以解決更一般性的問題.現(xiàn)舉例如下:

例2 已知PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條射線,且cos ∠APB=,cos ∠BPC=,cos ∠APC=,那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是____.

圖3

利用上述思路,不難得到該問題的一般形式和結(jié)論為:

性質(zhì)1 如圖4,已知PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條射線,記∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=γ,且cosα=a,cosβ=b,cos,設(shè)直線PC與平面PAB所成角為θ,則cosθ=或cosθ=

圖4

上述公式中對α,β,γ∈(0,π)的情形,經(jīng)分類討論后均成立,即可成為一般條件下的線面角的一種計算方法,其中兩種特殊結(jié)論為:

(1)若α=β=γ,則cosθ=

(2)若α=90?,則cosθ=

該公式的本質(zhì)是利用向量這一工具,將線面角的計算分解成三個共頂點的平面角三角函數(shù)的計算,利用這一結(jié)論可以簡化處理一些高考常見的線面角求解問題.

例3 (2021年高考上海卷第17題節(jié)選)如圖5,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=3.

圖5

(2)求直線AB1與平面ACC1A1的夾角大小.

故θ=arccos

例4 如圖6,已知四面體P?ABC,若∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=γ,且PA=a,PB=b,PC=c,求四面體P?ABC的體積.

圖6

解析設(shè)直線PC與平面PAB所成角為θ,C到平面PAB的距離為d,由線面角公式

故

設(shè)四面體P?ABC的體積為V,則

此即為空間四面體的體積公式,利用該結(jié)論不難得出一些特殊四面體的體積公式,這里不再贅述.

II.利用空間向量推導(dǎo)二面角的平面角計算公式

性質(zhì)2 如圖7,已知三棱錐P?ABC,記∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=γ,設(shè)二面角C?PB?A的平面角為θ,則cosθ=.

圖7

證明分情況討論:

①α,β均為銳角(或直角)時,如圖8,過C和A分別作CM⊥PB,AN⊥PB,垂足為M,N,由,平方后得

圖8

利用勾股定理合并得

故

②若α,β中有且只有一個鈍角時,不妨設(shè)α為銳角,β為鈍角,如圖9,利用①同理可得

圖9

故

③均為鈍角時,證明過程同①一致,最后得到cos(π?α)cos(π?β)=cosγ?sinαsinβcosθ,故cosθ=,即等式也成立.

綜上,cosθ=成立.

此即為二面角平面角的另一種計算公式,即利用向量這一工具,將二面角平面角三角函數(shù)的計算分解為交線上共頂點的三個平面角的計算,而當(dāng)θ=90?時,有cosγ=cosαcosβ,此結(jié)論即為空間三余弦定理.

利用該結(jié)論可以簡化處理一些幾何體中的二面角計算問題.

例5 (2020年高考全國I 卷理科第18題)如圖10,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.?ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,PO=DO.求二面角B?PC?E的余弦值.

圖10

記二面角B?PC?E的平面角為θ,則

通過上述兩個角度公式的推導(dǎo),不難體會出向量是高中階段十分重要的解題工具,在日常教學(xué)中對其靈活應(yīng)用有利于培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化意識與空間意識,在解決立體幾何度量問題中不應(yīng)簡單視其為一種程序化的解題方式,而應(yīng)養(yǎng)成一種工具意識,鼓勵學(xué)生從一些問題的結(jié)構(gòu)上與向量產(chǎn)生關(guān)聯(lián)進(jìn)而獲得解決.可喜的是新教材在數(shù)學(xué)探究課型中專門設(shè)置了有關(guān)利用向量開展研究的教學(xué)活動,在閱讀與思考材料中對其概念進(jìn)行了更高維度的推廣和簡單應(yīng)用,另外在新教材解析幾何章節(jié)知識點的引入和一些公式推導(dǎo)中也都能見到它的身影,因此,關(guān)于向量工具性的課堂教學(xué)和問題研究,值得數(shù)學(xué)教育工作者作進(jìn)一步思考和探討.