華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 李崇榆

1 問(wèn)題提出

祖暅原理也稱祖氏原理,是一個(gè)涉及幾何體求積且具備微積分思想的著名命題,由我國(guó)南北朝時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子祖暅為推導(dǎo)球的體積而提出.在中學(xué)教材中,介紹了應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式的方法,該方法不僅是構(gòu)造性證明的典范,也是創(chuàng)造性思維的一個(gè)很好的載體.而球體積公式的一些教學(xué)實(shí)踐,將學(xué)生的思維固定在利用祖暅原理構(gòu)造一個(gè)從底面半徑和高都為R的圓柱中,挖掉一個(gè)底面半徑和高都為R的倒圓錐得到的幾何體求半球的體積的“軌道”上,學(xué)生雖能“看懂”證明,卻不“知其所以然”.這樣的探究有活動(dòng)無(wú)體驗(yàn),有經(jīng)歷無(wú)感悟,達(dá)不到探究的目的,學(xué)生不能感悟到祖暅原理所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想以及創(chuàng)造的樂(lè)趣,只能感受到其“冰冷的美麗”.鑒于此,筆者對(duì)球的體積部分教學(xué)進(jìn)行了如下的設(shè)計(jì).

2 利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)

探究(一)利用祖暅原理構(gòu)造出與半球體積相等的參照幾何體(以下簡(jiǎn)稱參照體)

問(wèn)題1利用祖暅原理構(gòu)造出的半球的參照體應(yīng)該滿足什么條件?

預(yù)設(shè)答案:①高為R;②參照體和半球在等高處被一個(gè)平面所截得的截面的面積恒相等.

教師:很棒!第一個(gè)條件很容易滿足,怎樣滿足第二個(gè)條件呢?

預(yù)設(shè)答案:先求出半球在高h(yuǎn)處的截面面積.

教師:如圖是一個(gè)半徑為R的半球,該怎么計(jì)算它在高h(yuǎn)處的截面面積呢?

圖1

問(wèn)題2怎樣的截面的面積為πR2?πh2?

預(yù)設(shè)師生活動(dòng):學(xué)生前后桌4人為一組,進(jìn)行分組討論,合作交流;教師巡堂指導(dǎo)學(xué)生討論;各小組派代表分享談?wù)摻Y(jié)果,教師引導(dǎo)學(xué)生將截面進(jìn)行分類.以下為預(yù)設(shè)的學(xué)生討論的截面:

圖2

圖3

圖4

圖5

教師:隨著高h(yuǎn)的改變,截面形狀也會(huì)發(fā)生變化.我們選取同學(xué)們所設(shè)想的其中一個(gè)截面,先來(lái)看看截面隨高h(yuǎn)的變化情況.(由學(xué)生指定某一截面進(jìn)行探究,本文以長(zhǎng)為寬為的長(zhǎng)方形截面為例)

教師:(啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)h,同時(shí)可改變觀察視角觀察截面變化)截面形狀隨h有什么變化?

預(yù)設(shè)答案:截面從正方形變成長(zhǎng)方形再變成一條線段.

圖6

問(wèn)題3我們知道“點(diǎn)動(dòng)成線,線動(dòng)成面,面動(dòng)成體”,隨著高h(yuǎn)的改變,這些截面會(huì)構(gòu)造出什么樣的參照體呢?

預(yù)設(shè)教師活動(dòng):教師啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)h,并改變觀察視角;學(xué)生前后桌四人為一組進(jìn)行觀察,合作交流,教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想.

預(yù)設(shè)答案1:從動(dòng)畫(huà)看,截面的四個(gè)頂點(diǎn)像是在做直線運(yùn)動(dòng),形成四條線段運(yùn)動(dòng)形成四個(gè)平面,連接底面正方形和高R處線段的頂點(diǎn)的話,我猜會(huì)是一個(gè)多面體.

預(yù)設(shè)答案2:我也覺(jué)得參照體的各個(gè)面都是平面.比如,一個(gè)h就對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)如果分別這兩個(gè)量看成自變量和因變量,同時(shí)h∈[0,R],那么畫(huà)出的函數(shù)圖像就是一條選段,這條線段運(yùn)動(dòng)的軌跡就是一個(gè)平面.

教師:很棒,同學(xué)們進(jìn)行了合理的猜想.那這個(gè)參照體是否和大家的預(yù)想一樣呢?我們利用GeoGebra跟蹤這個(gè)截面的軌跡來(lái)驗(yàn)證一下我們的猜想.

圖7

教師:這個(gè)參照體和我們同學(xué)的猜想是一致的!我們構(gòu)造出了一個(gè)和半球體積相等的多面體!

探究(二)利用構(gòu)造出的參照體的體積求球的體積

問(wèn)題4能不能求出該參照體的體積?

預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng):學(xué)生分組討論,交流分享.

教師:通過(guò)割補(bǔ),我們將這個(gè)多面體看成是棱柱和棱錐的簡(jiǎn)單組合體,就可以利用學(xué)過(guò)的棱柱和棱錐的體積公式計(jì)算它的體積,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想!

問(wèn)題5球的體積是多少?

預(yù)設(shè)教師活動(dòng):根據(jù)課堂時(shí)間,教師選擇繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生猜想并驗(yàn)證或是直接呈現(xiàn)由學(xué)生所設(shè)想的截面所構(gòu)造出的參照體.

圖8

探究(三)課后拓展題

圖9

圖10

3 教學(xué)思考

(1)開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)探究,提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱課標(biāo))指出:“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體.”[2]本文不局限于構(gòu)造一個(gè)從底面半徑和高都為R的圓柱中挖掉一個(gè)底面半徑和高都為R的倒圓錐得到的幾何體求半球的體積的思路,而是基于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí),設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題“怎樣的截面的面積會(huì)為πR2?πh2”展開(kāi)探究活動(dòng),在教師的引導(dǎo)獨(dú)立思考,合作探究,經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證”的過(guò)程,實(shí)現(xiàn)自身的“再創(chuàng)造”,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探究能力,感受祖暅原理構(gòu)造幾何體的巧妙性,積累求其他復(fù)雜幾何體體積的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).

(2)突出GeoGebra和數(shù)學(xué)課程融合

課標(biāo)指出:“運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)建立空間觀念.”[2]雖然學(xué)生具備一定的邏輯推理和空間想象能力,但是由于學(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系,難以構(gòu)造參照體和求參照體的體積,很有可能產(chǎn)生畏難情緒,使得探究流于形式.因此,本文一方面利用GeoGebra展現(xiàn)截面隨高度h的改變而改變的生動(dòng)的動(dòng)畫(huà),啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想,降低抽象程度;另一方面,供學(xué)生觀察操作確認(rèn)參照體的性質(zhì)以求體積,支持學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行合作探索.盡管GeoGebra的功能非常強(qiáng)大,但在學(xué)生的空間觀念得以發(fā)展后,應(yīng)減少GeoGebra的使用,避免學(xué)生對(duì)信息技術(shù)產(chǎn)生依賴,阻礙空間想象能力的進(jìn)一步發(fā)展.