廣東省高州市高州中學(xué)(525200) 陳應(yīng)全

1 問(wèn)題提出

思維導(dǎo)圖又稱(chēng)心智導(dǎo)圖,是英國(guó)學(xué)者托尼·巴贊20世紀(jì)70年代提出的一種發(fā)散性的表達(dá)方式,它是一個(gè)將思維可視化、知識(shí)結(jié)構(gòu)化的有效工具.近年來(lái),思維導(dǎo)圖在各行各業(yè)的應(yīng)用越來(lái)越廣,在數(shù)學(xué)教學(xué)中也得到了很多師生的認(rèn)可并嘗試應(yīng)用.教師根據(jù)教學(xué)需要合理使用思維導(dǎo)圖既能幫助學(xué)生形成一個(gè)完整的知識(shí)脈絡(luò),提升學(xué)習(xí)效率,又能幫助老師建立完善的知識(shí)體系,提升教學(xué)效果.

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂中的一種常規(guī)的教學(xué)行徑,其目的是鞏固基礎(chǔ)知識(shí),滲透數(shù)學(xué)思想方法以及發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但是由于數(shù)學(xué)自身特點(diǎn)使得一些問(wèn)題往往具有過(guò)多的思維量以及繁雜的運(yùn)算量,致使不少學(xué)生在解題教學(xué)中難以理解問(wèn)題解決的來(lái)龍去脈.而思維導(dǎo)圖作為一種圖像化思維工具,能有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思維可視化,構(gòu)建清晰的知識(shí)脈絡(luò)和推理形式[1].因此,探索思維導(dǎo)圖在解題教學(xué)中的應(yīng)用對(duì)提升解題教學(xué)的效果具有積極的意義.下面筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐和思考,探討思維導(dǎo)圖在解題教學(xué)的中的應(yīng)用,供同行參考.

2 教學(xué)探討

2.1 利用思維導(dǎo)圖幫助理解題意

解題教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)是幫助學(xué)生分析題目條件,理清解題目標(biāo),以期尋找解題突破口.在這個(gè)過(guò)程中,思維導(dǎo)圖可以充分凸顯其可視化的優(yōu)勢(shì).教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)引入圖形、文字與符號(hào)等,將題目中的文字語(yǔ)言利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá),把題目中的關(guān)鍵詞逐個(gè)解讀或進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo),使題目中的條件與條件、條件與結(jié)論的關(guān)系更加清晰明了,有助于學(xué)生深入理解題意,為下一步探尋解題路徑奠定基礎(chǔ).

例1(2021年全國(guó)甲卷(理)第12題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則)

分析此題條件比較多,很多學(xué)生讀完題目后往往難以理解條件之間的關(guān)系.為此筆者在教學(xué)過(guò)程中畫(huà)出了該題的審題思維導(dǎo)圖(如圖1所示),幫助學(xué)生理解題意.

圖1

從圖1可以看出,在解題教學(xué)中,教師能合理使用思維導(dǎo)圖將題目中條件間的關(guān)系、條件與結(jié)論關(guān)系梳理清楚,在思維導(dǎo)圖中還結(jié)合相關(guān)概念對(duì)部分條件進(jìn)行了簡(jiǎn)單的推導(dǎo),有助于學(xué)生更深刻地理解題意,提高了審題效率.

2.2 利用思維導(dǎo)圖探尋解題路徑

羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題引論》指出:解題活動(dòng)是一種思維活動(dòng),解題教學(xué)不僅要解題活動(dòng)的結(jié)果(答案),而且要呈現(xiàn)解題活動(dòng)的必要過(guò)程——暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動(dòng)[2].可是,不少老師在解題教學(xué)中仍然習(xí)慣采用“重結(jié)果,輕過(guò)程”的教學(xué)模式,缺乏解題思維過(guò)程的呈現(xiàn),造成學(xué)生的思維能力得不到發(fā)展,這樣的課堂致使學(xué)生未能真正掌握探尋解題路徑的方法,從而形成教學(xué)中“老師講的時(shí)候能聽(tīng)懂,自己做的時(shí)候就不會(huì)”的不良局面.為此,在解題教學(xué)中我們可以借助思維導(dǎo)圖對(duì)題目進(jìn)行層層剖析,讓教師和學(xué)生一起從不同視角探尋解題路徑,提高學(xué)生課堂參與度.整個(gè)思維過(guò)程充分暴露在思維導(dǎo)圖上,不僅有助于學(xué)生梳理每種解題路徑的來(lái)龍去脈,還可以明晰各種解題路徑的優(yōu)劣.

例2(2021年新高考I卷14)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP,若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)___.

分析本題求C的準(zhǔn)線方程,難度并不大,通過(guò)題目條件建立關(guān)于p的方程即可.根據(jù)題意易知結(jié)合條件PQ⊥OP與|PQ|=6可建立關(guān)于p的等量關(guān)系,因此可以從勾股定理、直線斜率關(guān)系與平面向量知識(shí)多個(gè)視角思考.此外,結(jié)合條件PQ⊥OP與PF與x軸垂直也可從平面幾何性質(zhì)視角思考.此時(shí),我們可以從這四個(gè)視角畫(huà)出思維導(dǎo)圖,如圖2所示.

圖2

本題利用思維導(dǎo)圖作為工具探索解題路徑,充分展示了解題思維過(guò)程,既有助于探尋多種解題路徑,又有利于拓展學(xué)生思維.

2.3 利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行變式拓展

在解題教學(xué)中,對(duì)例題實(shí)行變式拓展是一種常用手段,旨在優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì),激發(fā)學(xué)生探索潛能以及提升綜合解題能力.可是,有部分老師在變式拓展中變式拓展較多而未能暴露“變”的思維過(guò)程,使得學(xué)生未能領(lǐng)會(huì)到“變”的方向與本質(zhì).此時(shí),教師可以引入思維導(dǎo)圖既可以讓學(xué)生深入思考、作筆記,以便課后復(fù)習(xí),又可以讓學(xué)生領(lǐng)悟到教師對(duì)例題“變”的過(guò)程,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題并形成自己的解題思維.

筆者對(duì)本例題進(jìn)行了九種變式拓展,從學(xué)生課堂反饋情況來(lái)看,其實(shí)很多學(xué)生不了解“變”的方向和本質(zhì).為此,筆者借助思維導(dǎo)圖讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“變”的思維過(guò)程,如圖3所示.

圖3

將例題變式拓展與思維導(dǎo)圖結(jié)合,能更好地體現(xiàn)變式拓展過(guò)程,以便學(xué)生能在更高的站位上理解問(wèn)題,有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),達(dá)到了觸類(lèi)旁通、舉一反三的教學(xué)效果.

2.4 利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行反思回顧

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞“怎樣解題表”的第四個(gè)步驟便是“反思回顧”,他還指出:通過(guò)回顧完整的答案,重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑,學(xué)生能夠鞏固知識(shí),并培養(yǎng)解題能力[3].因此,反思回顧是解題不可或缺的重要環(huán)節(jié),更是提升解題能力的重要途徑之一.可是,不少老師在解題教學(xué)中往往過(guò)于草率而未能將反思回顧環(huán)節(jié)落到實(shí)處,常常簡(jiǎn)單地總結(jié)幾句,留給學(xué)生的是一種走馬觀花的感覺(jué).在解題教學(xué)中,教師不僅要向?qū)W生講清楚解題后回顧反思到底“反思什么”,還要引導(dǎo)他們?nèi)绾芜M(jìn)行解題反思.一般地,我們可以引導(dǎo)學(xué)生反思該題答案的正確性、解答過(guò)程的嚴(yán)密性、解法是否具有推廣意義以及相關(guān)注意事項(xiàng)等.下面利用思維導(dǎo)圖結(jié)合例3,就利用基本不等式求最值有關(guān)問(wèn)題作一個(gè)解題反思回顧,如圖4所示.

圖4

在解題反思回顧中使用思維導(dǎo)圖,可以說(shuō)是對(duì)解題后的一個(gè)直觀歸納總結(jié),給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)重要而有益提升解題能力的機(jī)會(huì).

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述,思維導(dǎo)圖可以廣泛應(yīng)用于解題教學(xué)中,由于其具有思維可視化、知識(shí)結(jié)構(gòu)化的優(yōu)勢(shì),有助于學(xué)生快速地理解題意,合理地探尋解題路徑,規(guī)范地書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程,深刻地理解例題“變”的本質(zhì),科學(xué)地進(jìn)行反思回顧.事實(shí)上,教師不采用思維導(dǎo)圖依然可以正常開(kāi)展解題教學(xué),但是借助思維導(dǎo)圖之后,能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行可視化思考數(shù)學(xué)問(wèn)題,促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題有一個(gè)“全景式”的把握,將學(xué)生的解題視野提升到更高的層次,從而有效地提升了學(xué)生數(shù)學(xué)綜合解題能力.因此,思維導(dǎo)圖作為一種有效的解題輔助工具,我們有必要將它應(yīng)用于解題教學(xué)過(guò)程中,以便學(xué)生逐步養(yǎng)成運(yùn)用“思維導(dǎo)圖”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)越思維模式,從而提升我們的教學(xué)效果.