江蘇省啟東市匯龍中學(226299) 施建華

1 探究的緣起

在高三的復習階段的一次模擬測驗中,考察了如下的一道解三角形問題.該問題在確定存在最值的條件下,反向求解參數的范圍,這與學生平時訓練的問題差異較大,學生普遍反映無從下手,得分率特別低.為此,筆者仔細地分析了該問題,并探究了該問題的一般形式.

題目(2019年佛山一模第16題)在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a=1,A=若當b,c變化時,g(b,c)=b+λc存在最大值,求正數λ的取值范圍.

2 學生主要使用的解題思路與完善

思路一:利用正、余弦定理轉化求解

思路二:數形結合——構造外接圓求解

還有部分同學選擇借助圖形求解,根據題干信息可得:ΔABC的外接圓的半徑為定值:r=若固定點B、C,則點A的軌跡為ΔABC的外接圓上的一段圓弧.但接下來,學生很難表示出g(b,c)=b+λc的幾何意義,解題陷入僵局.

思路三:根據對稱性求解

當λ=1時,g(b,c)=b+c,借助余弦定理與基本不等式即可知其存在最大值;當λ＞1時,若存在符合條件的值,則令g(b,c)=結合b、c的對稱性可知＜1也可使得結論成立.

3 數形幾何——將條件可視化

為了突破以上難點,筆者嘗試使用軌跡,利用數形結合的思想進行求解.

在解法一中:g(b,c)=(sinB+λsinC),其本質上就是sinB+λsinC存在最大值.為此構造向量:a=(sinC,sinB),b=(λ,1),原問題轉化為a·b存在最大值.

圖2

評述根據上面的求解過程,本文將原解三角形問題轉化為一個向量的投影問題,在明確的軌跡下,通過圖形直觀的解釋了最值的存在理由.

4 問題的拓展研究

本文對該問題繼續(xù)繼續(xù)進行探究.原問題討論g(b,c)=b+λc存在最大值,若將其修改為g(b,c)=b2+λc2存在最大值,λ的取值范圍會如何修改呢?

為此,本文直接討論此類問題的一般形式:在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a為定值,A=θ.若當b,c變化時,g(b,c)=b2+λc2是否存在最值.

綜上分析,此類問題僅對θ有限制,對λ的取值沒有限制.