曾勇 史振偉 薛曉芳 譚紅梅

1.重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁與隧道工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 400074

2.重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁結(jié)構(gòu)與材料教育部工程研究中心 400074

引言

鋼橋承受重復(fù)荷載，可能會(huì)導(dǎo)致疲勞病害或疲勞失效。因此，需要在設(shè)計(jì)使用壽命期間對(duì)疲勞的某些關(guān)鍵細(xì)節(jié)進(jìn)行檢查，檢測(cè)潛在的疲勞損傷，并為適當(dāng)?shù)木S修行為提供有用的證據(jù)（如疲勞關(guān)鍵細(xì)節(jié)的裂紋長(zhǎng)度）。另一方面，檢測(cè)和與之相關(guān)的維修行為會(huì)產(chǎn)生費(fèi)用，增加鋼橋運(yùn)營(yíng)階段的全壽命成本。由此可知，有效規(guī)劃疲勞關(guān)鍵細(xì)節(jié)的檢測(cè)和維修行為不僅對(duì)確保結(jié)構(gòu)功能和安全至關(guān)重要，而且對(duì)控制鋼橋運(yùn)營(yíng)階段的全壽命也很重要。

從20 世紀(jì)90 年代開(kāi)始，針對(duì)疲勞結(jié)構(gòu)如何既保證結(jié)構(gòu)的安全性，又使得運(yùn)營(yíng)階段的全壽命成本最低，海內(nèi)外學(xué)者相繼提出了一些基于概率的結(jié)構(gòu)養(yǎng)護(hù)優(yōu)化方法。Kong［1］等通過(guò)使用計(jì)算機(jī)程序?qū)ν嘶Y(jié)構(gòu)進(jìn)行生命周期分析（該程序考慮了各種作用對(duì)退化結(jié)構(gòu)一組剖面的可靠性指標(biāo)的影響），并考慮結(jié)構(gòu)的全生命周期成本，建立了基于可靠性的框架模型，并給出了退化橋梁的數(shù)值算例，驗(yàn)證了該方法的有效性。Stewart［2］等利用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)腐蝕開(kāi)裂可能性和開(kāi)裂程度的概率信息，發(fā)展了一種預(yù)測(cè)壽命周期成本的技術(shù)，該技術(shù)根據(jù)裂縫開(kāi)裂的可能性和程度，建立維修費(fèi)用函數(shù)，并作為判斷維修時(shí)機(jī)和維修費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)。Soliman［3］等提出了一種概率方法，通過(guò)整合檢測(cè)和監(jiān)測(cè)行動(dòng)獲得的信息，找到疲勞敏感結(jié)構(gòu)的最佳管理計(jì)劃，該方法利用依賴(lài)于時(shí)間的概率損壞準(zhǔn)則，結(jié)合檢查成本和失效成本來(lái)找到不確定情況下的最佳檢測(cè)時(shí)間，在結(jié)構(gòu)服役期間執(zhí)行檢測(cè)操作，所產(chǎn)生的新信息，將用于更新?lián)p傷傳播參數(shù)和對(duì)結(jié)構(gòu)的養(yǎng)護(hù)進(jìn)行優(yōu)化。Faber［4］等采用貝葉斯概率網(wǎng)絡(luò)評(píng)估了某海上設(shè)施拆除的風(fēng)險(xiǎn)性，主要是利用貝葉斯概率網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行敏感度分析，用于改進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型。J. Zhu［5］等通過(guò)積分提出了一種概率模型，使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)檢查，同時(shí)考慮相關(guān)的不確定性，用于正交異性鋼橋面板的疲勞損傷的診斷和預(yù)測(cè)。

進(jìn)入21 世紀(jì)以后，我國(guó)的一些學(xué)者也開(kāi)始注意和研究此方向，并取得不錯(cuò)的成果。楊偉軍［6］等基于橋梁運(yùn)營(yíng)階段的動(dòng)態(tài)可靠性，結(jié)合維修加固成本與加固完成后的經(jīng)濟(jì)效益，提出了一種以動(dòng)態(tài)可靠性為約束，維修加固成本和失效損失之和為目標(biāo)函數(shù)的決策方法。曾勇［7］等結(jié)合LEMF、結(jié)構(gòu)可靠度理論和WLC 方法，提出了一種基于概率的鋼橋焊接構(gòu)件的疲勞養(yǎng)護(hù)策略?xún)?yōu)化方法，該方法以滿(mǎn)足最小可靠度情況下總養(yǎng)護(hù)成本最低為準(zhǔn)則，方法簡(jiǎn)單實(shí)用，可操作性強(qiáng)。黃天立［8］等采用伽馬過(guò)程模擬鋼橋的疲勞裂紋增長(zhǎng)過(guò)程和疲勞失效概率，并結(jié)合檢測(cè)概率和養(yǎng)護(hù)成本，以最大化構(gòu)件使用壽命和最小化運(yùn)營(yíng)階段養(yǎng)護(hù)成本為多目標(biāo)函數(shù)，提出了基于伽馬過(guò)程和遺傳算法的鋼橋構(gòu)件疲勞裂紋檢測(cè)和維護(hù)策略?xún)?yōu)化計(jì)算模型。

經(jīng)上述研究現(xiàn)狀發(fā)現(xiàn)，所采取的疲勞壽命評(píng)估方法的不足之處在于不能夠獲得疲勞裂紋的實(shí)際尺寸。當(dāng)采用無(wú)損檢查技術(shù)對(duì)鋼橋進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，不僅可以檢測(cè)出結(jié)構(gòu)的損害程度，更重要的是還能夠獲得疲勞裂紋的實(shí)際尺寸，而實(shí)際裂紋長(zhǎng)度與采用各種方法模擬的裂紋長(zhǎng)度往往會(huì)存在偏差。因此，本文采用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，將無(wú)損檢查獲得的實(shí)際裂紋長(zhǎng)度更新到基于動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的疲勞裂紋評(píng)估模型中，以保證各種方法模擬的實(shí)際裂紋長(zhǎng)度的準(zhǔn)確性。

1 鋼橋檢測(cè)和維修優(yōu)化框架

雖然基于檢測(cè)結(jié)果的后驗(yàn)分析能夠更新疲勞裂紋評(píng)估模型并指導(dǎo)維修決策，但它對(duì)于選擇檢測(cè)計(jì)劃（即無(wú)損檢測(cè)技術(shù)）沒(méi)有幫助。因此本文提出了一種綜合性的基于概率的優(yōu)化框架，用于選擇疲勞關(guān)鍵細(xì)節(jié)的最佳檢測(cè)和維修計(jì)劃，擬議的框架如圖1 所示。

圖1 檢測(cè)維修優(yōu)化框架示意Fig.1 Schematic diagram of inspection and maintenance optimization framework

擬議的框架主要包括以下三個(gè)方面：

1.檢測(cè)時(shí)間

在框架中用箭頭表示鋼橋的服役時(shí)間歷程。檢測(cè)時(shí)間可根據(jù)性能函數(shù)評(píng)估疲勞可靠性來(lái)確定，根據(jù)基于斷裂力學(xué)理論的疲勞壽命評(píng)估模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)合性能函數(shù)確定鋼橋的第一次檢測(cè)時(shí)間，然后將檢測(cè)結(jié)果用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)更新鋼橋疲勞細(xì)節(jié)的裂紋擴(kuò)展模型，依據(jù)此模型確定下一次鋼橋的檢測(cè)時(shí)間，使用壽命期間剩余的檢測(cè)也采用此方法。

2.檢測(cè)維修事件樹(shù)

確定檢測(cè)以后，首先要根據(jù)疲勞細(xì)節(jié)、檢測(cè)概率和基于動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的鋼橋疲勞裂紋擴(kuò)展模型等因素，從列舉的檢測(cè)方法I1～I(xiàn)i中，選擇出最佳的檢測(cè)方法，檢測(cè)完成后，根據(jù)獲得的檢測(cè)數(shù)據(jù)評(píng)估結(jié)構(gòu)的損壞狀態(tài)；最后再根據(jù)結(jié)構(gòu)的損壞狀態(tài)列舉對(duì)應(yīng)的維修措施R1～Ri。

3.養(yǎng)護(hù)決策流程圖

首先要指定某一特定檢測(cè)方法，根據(jù)檢測(cè)獲得的數(shù)據(jù)，利用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的鋼橋疲勞裂紋擴(kuò)展模型評(píng)估鋼橋的性能，列舉維修措施，評(píng)估該維修措施下的鋼橋性能，然后計(jì)算該措施的養(yǎng)護(hù)成本，循環(huán)計(jì)算不同維修措施下的養(yǎng)護(hù)成本，最終做出最佳的決策。

上述框架的關(guān)鍵之處在于如何將檢測(cè)到的裂縫尺寸更新到結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋中去，并更新結(jié)構(gòu)的性能。本文使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，將檢測(cè)到的裂縫尺寸作為證據(jù)，用來(lái)達(dá)到上述目的。下面介紹一下動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建步驟，并建立基于動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的疲勞裂紋擴(kuò)展模型。

2 動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建步驟

概率方法是解決不確定問(wèn)題的一種相對(duì)有效的方式，而貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是將概率論統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于復(fù)雜領(lǐng)域、進(jìn)行不確定性推理和數(shù)據(jù)分析的工具。目前動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在醫(yī)療診斷、工程應(yīng)用、金融分析等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，是研究不確定性問(wèn)題領(lǐng)域內(nèi)發(fā)展較快的時(shí)變不確定信息推理技術(shù)。本文將動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建過(guò)程劃分為以下四個(gè)階段：

（1）獲取變量階段。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的特征變量是構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)，特征變量過(guò)多會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量將呈量級(jí)增加，過(guò)少又會(huì)導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)疲勞裂紋的擴(kuò)展，構(gòu)建的動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)將失去意義。因此需要對(duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行分析，確保能夠得到與實(shí)際情況相符合的變量。在此階段需要完成的工作有：確定節(jié)點(diǎn)變量及其狀態(tài)分布，將其離散化處理，并確定變量的狀態(tài)空間。

（2）構(gòu)建靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。初始模型設(shè)計(jì)階段即建立靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)階段，此階段需要確定變量節(jié)點(diǎn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和概率分布，然后使用Ge-

NIe軟件完成靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的建模。

（3）構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計(jì)階段的關(guān)鍵是確定隨時(shí)間更新變化的節(jié)點(diǎn)，定義出轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)。轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的定義有用引入算法進(jìn)行定義的，也有利用專(zhuān)家知識(shí)進(jìn)行定義的，可以根據(jù)研究問(wèn)題具備的基礎(chǔ)條件和需要進(jìn)行選擇。

（4）驗(yàn)證模型?？梢酝ㄟ^(guò)輸入工程實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行正向推理，比較預(yù)測(cè)結(jié)果和使用最原始公式計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)的差距，來(lái)驗(yàn)證所構(gòu)建的模型是否有效，如果結(jié)果差異較大，就需要對(duì)前面的步驟進(jìn)行檢查、修正。這一階段是一個(gè)反復(fù)的過(guò)程。

2.1 獲取動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型變量

由于本文采用基于斷裂力學(xué)的疲勞裂紋擴(kuò)展模型對(duì)鋼橋疲勞細(xì)節(jié)進(jìn)行壽命評(píng)估，因此在本研究中，疲勞裂紋擴(kuò)展由Paris公式（1）來(lái)確定：

式中：C、m為材料的疲勞參數(shù)；ΔK為循環(huán)應(yīng)力強(qiáng)度因子，由循環(huán)應(yīng)力引起；N為加載循環(huán)次數(shù)；Δa為一個(gè)時(shí)間段的裂紋擴(kuò)展速率；Sre為等效應(yīng)力幅；a0為當(dāng)前時(shí)間段中的初始裂紋的長(zhǎng)度；G為幾何修正系數(shù)。

對(duì)于基于斷裂力學(xué)的疲勞裂紋擴(kuò)展模型，可以根據(jù)裂紋的長(zhǎng)度定義疲勞的極限狀態(tài)，當(dāng)疲勞裂紋長(zhǎng)度a達(dá)到預(yù)定閾值acr時(shí)，鋼橋的構(gòu)件達(dá)到其使用壽命。鋼橋的極限疲勞狀態(tài)可以通過(guò)式子（3）進(jìn)行計(jì)算：

從式（3）可知，當(dāng)E（t）＞0 時(shí)，構(gòu)件處于安全狀態(tài)；當(dāng)E（t）＝0 時(shí)，構(gòu)件處于臨界狀態(tài)；當(dāng)E（t）＜0 時(shí)，構(gòu)件處于危險(xiǎn)狀態(tài)。在此定義當(dāng)疲勞裂紋長(zhǎng)度a超過(guò)預(yù)定閾值acr時(shí)，構(gòu)件處于危險(xiǎn)狀態(tài)，并將此事發(fā)生的概率命名為超限概率，并以Pf（t）來(lái)表示鋼橋服役期t年時(shí)的超限概率。

從式（1）～（3）中可以得到貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)變量）：材料常數(shù)C和m，循環(huán)應(yīng)力強(qiáng)度因子ΔK，初始裂紋的長(zhǎng)度a0，等效應(yīng)力幅Sre，當(dāng)前時(shí)間段的裂紋長(zhǎng)度a，臨界裂紋長(zhǎng)度acr，當(dāng)前時(shí)間段的疲勞狀態(tài)E。

一般來(lái)說(shuō)，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)主要通過(guò)兩種方式來(lái)獲得變量空間：參數(shù)學(xué)習(xí)和專(zhuān)家咨詢(xún)。由于監(jiān)測(cè)資料少，搜集資料困難等原因，通過(guò)大樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)學(xué)習(xí)的方法很難實(shí)現(xiàn)。另一方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)基于斷裂力學(xué)的疲勞裂紋擴(kuò)展擁有深入研究，對(duì)于本文涉及的變量，提出過(guò)針對(duì)不同材料和結(jié)構(gòu)的概率分布。

2.2 構(gòu)建靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型

靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一般需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)，但是本文采用基于斷裂力學(xué)的疲勞裂紋擴(kuò)展模型，對(duì)于疲勞裂紋的計(jì)算有確定的公式，節(jié)點(diǎn)變量之間存在明顯的邏輯關(guān)系，因此不需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)，下面根據(jù)疲勞裂紋的兩種計(jì)算方式，提出兩種靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。

1.方案一

根據(jù)公式（1）和（2）中的變量，建立了基于使用時(shí)間預(yù)測(cè)疲勞裂紋的增長(zhǎng)模型，疲勞裂紋計(jì)算見(jiàn)公式（4）：

式中：t是服務(wù)年限；Navg是年平均負(fù)載周期數(shù)。

由于大多數(shù)檢查結(jié)果與裂縫長(zhǎng)度有關(guān)，因此，公式（4）基于裂縫的模型經(jīng)常用于對(duì)裂縫壽命評(píng)估。

在該靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，需要輸入的節(jié)點(diǎn)參數(shù)包括Sre、G、C、m、N、t、a0，而at可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算；裂紋的疲勞狀態(tài)E，根據(jù)at進(jìn)行確定。為了方便定義后續(xù)的節(jié)點(diǎn)變量，提出了兩個(gè)中間變量，

2.方案二

根據(jù)公式（1）和（2）中變量及變量間的邏輯關(guān)系，使用GeNIe軟件建立靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，如圖2 所示。

圖2 方案二構(gòu)建的靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig．2 Static Bayesian network constructed in scheme 2

在該靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，GVW 表示汽車(chē)荷載，用于控制等效應(yīng)力幅Sre；da／dN＝Δat表示一個(gè)時(shí)間段的裂紋擴(kuò)展速率，并用于計(jì)算當(dāng)前時(shí)間段的裂紋長(zhǎng)度，at＝Δat＋a0；aobs表示通過(guò)無(wú)損檢測(cè)觀察到的實(shí)際裂紋長(zhǎng)度，該值對(duì)于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的更新起到重要的作用。裂紋的疲勞狀態(tài)E，作用同方案一相同，用于獲取當(dāng)前時(shí)間段的疲勞細(xì)節(jié)超限概率Pf（t）。在此模型中需要輸入Sre、G、C、m、GVW、a0，而aobs為觀測(cè)值，在動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中才會(huì)起到作用。

為了模擬汽車(chē)荷載GVW 對(duì)疲勞構(gòu)件應(yīng)力幅的影響，通過(guò)建立ANSYS 有限元模型，輸入汽車(chē)荷載，輸出瞬態(tài)分析而獲得的裂紋（即關(guān)鍵構(gòu)件）處的應(yīng)力時(shí)間歷程。隨后，基于Miner 的線性疲勞損傷累積理論，將計(jì)算的裂紋處的應(yīng)力響應(yīng)值，用于計(jì)算等效應(yīng)力幅Sre。由于概率預(yù)測(cè)和貝葉斯推斷都需要大量的ANSYS 模型，因此，該過(guò)程通常會(huì)略過(guò)，直接使用專(zhuān)家咨詢(xún)方法對(duì)等效應(yīng)力幅Sre進(jìn)行定義。

3.對(duì)比分析

方案一和方案二都是基于斷裂力學(xué)的疲勞裂紋擴(kuò)展模型，兩個(gè)方案都存在優(yōu)缺點(diǎn)。方案一的優(yōu)點(diǎn)是可以輸入時(shí)間，計(jì)算任意時(shí)間的構(gòu)件疲勞裂紋長(zhǎng)度，有利于構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯模型，缺點(diǎn)是輸入的節(jié)點(diǎn)變量較多，計(jì)算較為復(fù)雜；方案二的優(yōu)點(diǎn)是輸入節(jié)點(diǎn)變量少，計(jì)算簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是模型中未存在關(guān)于時(shí)間的變量，構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)時(shí)處理會(huì)較為復(fù)雜。因此，為方便構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型和準(zhǔn)確獲取時(shí)間t的裂紋長(zhǎng)度，本文使用方案一處理疲勞裂紋問(wèn)題，并構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型。

2.3 構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型

當(dāng)構(gòu)建靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型之后，下一步的工作就是構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。一般而言，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)需要定義出轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)和轉(zhuǎn)移概率。轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)表示兩個(gè)相鄰靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移過(guò)程，包括結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移和參數(shù)轉(zhuǎn)移過(guò)程；轉(zhuǎn)移概率表示節(jié)點(diǎn)狀態(tài)在轉(zhuǎn)移過(guò)程發(fā)生的概率變化。本文使用GeNIe軟件直接通過(guò)公式（4）定義兩個(gè)時(shí)間段之間的關(guān)系，以t－1 時(shí)間段的裂紋作為t時(shí)間段初始裂紋，t時(shí)間段的裂紋就可以通過(guò)公式進(jìn)行計(jì)算，兩個(gè)時(shí)間段之間的轉(zhuǎn)移如圖3 所示。當(dāng)定義a3時(shí)間段的裂紋長(zhǎng)度時(shí)，以a2作為a3時(shí)間段的初始裂紋長(zhǎng)度，之后的時(shí)間段以此類(lèi)推。由此可見(jiàn)，本文采用的方法是直接通過(guò)公式定義出轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)。

圖3 動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換Fig.3 Relationship transformation diagram between nodes of dynamic Bayesian network

在使用GeNIe建立動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)時(shí)，首先要調(diào)出時(shí)間板，時(shí)間板調(diào)出之后，整個(gè)空間劃分為四部分：時(shí)間板之外的部分表示節(jié)點(diǎn)處于同一時(shí)間，是靜態(tài)的；時(shí)間板左側(cè)的部分表示動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的初始狀態(tài)，里面的節(jié)點(diǎn)類(lèi)似于時(shí)間板外的靜態(tài)節(jié)點(diǎn)，它們只能夠連接到動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的第一個(gè)時(shí)間段；時(shí)間板中間的部位是動(dòng)態(tài)模型的主要表現(xiàn)部分，此處是唯一允許有時(shí)間弧的部位，同時(shí)還可以顯示將要對(duì)其執(zhí)行推斷的時(shí)間段數(shù)；時(shí)間板右側(cè)的部位是動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的最終狀態(tài)，一般連接到網(wǎng)絡(luò)最后一個(gè)時(shí)間段。本文在建立動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)時(shí)，首先將靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的a0節(jié)點(diǎn)拖入時(shí)間板的左側(cè)部分，a0節(jié)點(diǎn)作為初始狀態(tài)定義完成后，將at節(jié)點(diǎn)和E節(jié)點(diǎn)拖入時(shí)間板的中間部分，并定義表示指向自身的時(shí)間弧。在本次操作中并未定義動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的最終狀態(tài)，同時(shí)還可以從圖中發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建的動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)表示9 個(gè)時(shí)間段的內(nèi)容。

GeNIe建立的動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)一般存在兩種形式。一種是未展開(kāi)式，該形式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，與靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)類(lèi)似，但是查詢(xún)數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，不方便使用。另一種是展開(kāi)式，該形式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)稍微復(fù)雜，但是可以明顯觀察到各個(gè)時(shí)間段的節(jié)點(diǎn)情況，方便查詢(xún)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)。因展開(kāi)式方便查詢(xún)和修改數(shù)據(jù)，后續(xù)多采用此種方式的動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。值得注意的是，此處采用的動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)僅對(duì)初始裂紋和年平均應(yīng)力循環(huán)次數(shù)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行更新，而實(shí)際情況往往并非如此，如交通量會(huì)發(fā)生變動(dòng)。

2.4 模型驗(yàn)證

從前面介紹可知，本文中的動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是基于公式（4）構(gòu)建的，而基于斷裂力學(xué)的疲勞裂紋擴(kuò)展最典型的公式是Paris 公式，使用Paris公式計(jì)算的數(shù)值具有一定的可信度。因此，本文使用Paris公式來(lái)驗(yàn)證動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的正確性。

當(dāng)考慮節(jié)點(diǎn)變量的取值問(wèn)題時(shí)，如果選取的節(jié)點(diǎn)變量含有概率的情況，如正態(tài)分布、指數(shù)正態(tài)分布等，那么使用Paris 公式計(jì)算的裂紋長(zhǎng)度也會(huì)包含不確定性，這會(huì)使得模型的驗(yàn)證變得較為復(fù)雜，驗(yàn)證的效果也會(huì)不理想。所以，本文驗(yàn)證時(shí)不考慮概率的因素，選取的節(jié)點(diǎn)變量均為定值。

以某鋼橋橋面板縱向加勁肋為例，初始裂紋長(zhǎng)度a0取為0.1mm，等效應(yīng)力幅Sre取32MPa，假設(shè)疲勞發(fā)生位置函數(shù)G為1.0，其余動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)變量取值如表1 所示。

表1 動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)變量取值Tab.1 Node variable values in dynamic Bayesian Networks

采用表1 中的數(shù)據(jù)，根據(jù)Paris 公式，使用MATLAB軟件，得到疲勞裂紋長(zhǎng)度與疲勞細(xì)節(jié)服役期之間的關(guān)系曲線；另外，在動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中輸入對(duì)應(yīng)的時(shí)間t，得到疲勞裂紋長(zhǎng)度與疲勞細(xì)節(jié)服役期之間的關(guān)系曲線，具體曲線圖如圖4 所示。

圖4 疲勞裂紋發(fā)展曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of fatigue crack growth curves

從圖4 中可以看出，當(dāng)不考慮疲勞細(xì)節(jié)使用過(guò)程中不確定性因素的影響時(shí)，基于Paris 公式繪制的圖形是一條光滑的曲線，使用基于動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型繪制的也是一條曲線，兩曲線的增長(zhǎng)趨勢(shì)趨于一致。另外還可以從圖4 中發(fā)現(xiàn)，疲勞細(xì)節(jié)自正常使用開(kāi)始至服役期30 年，疲勞裂紋的擴(kuò)展速度較為緩慢，兩條曲線的值也較為接近；自服役期30 年后，疲勞裂紋的擴(kuò)展速度迅速增長(zhǎng)，兩條曲線的值開(kāi)始出現(xiàn)偏差，隨著時(shí)間的增大，兩條曲線的差值也慢慢變大；當(dāng)裂紋擴(kuò)展速度較為緩慢時(shí)，使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的值較為準(zhǔn)確；當(dāng)裂紋擴(kuò)展速度較為迅速時(shí)，使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的值與Paris 公式計(jì)算的值會(huì)存在偏差，但偏差并不會(huì)太大，在可接受的范圍內(nèi)。

2.5 精確節(jié)點(diǎn)變量概率分布問(wèn)題

在2.4 節(jié)中已經(jīng)驗(yàn)證了節(jié)點(diǎn)變量取確定值時(shí)動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型與Paris 公式計(jì)算的值較為接近，但在通常情況下，本文所涉及的節(jié)點(diǎn)變量不取確定值，而是以概率的形式來(lái)表示，如正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等。如何使用GeNIe軟件較為準(zhǔn)確的模擬節(jié)點(diǎn)變量的概率分布以及如何將節(jié)點(diǎn)變量的概率分布更準(zhǔn)確的應(yīng)用到動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)問(wèn)題，接下來(lái)通過(guò)采樣數(shù)和離散化兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

1.采樣數(shù)

采樣數(shù)是采樣算法每次執(zhí)行時(shí)設(shè)置使用的采樣數(shù)目，所有的采樣算法都是近似的。一般來(lái)說(shuō)，樣本的數(shù)量決定了結(jié)果的精度，采樣時(shí)選取更多的樣本，會(huì)有更精確的結(jié)果。另一方面，樣本的數(shù)量與運(yùn)算時(shí)間幾乎是線性相關(guān)的，樣本的數(shù)量越多，計(jì)算的時(shí)間越久。雖然采樣數(shù)越多可以獲得較為準(zhǔn)確的精度，但當(dāng)達(dá)到一定的采樣數(shù)以后，獲得的結(jié)果已經(jīng)較為滿(mǎn)意，繼續(xù)增加樣本數(shù)只會(huì)增加計(jì)算量，并不會(huì)提高結(jié)果的精度。因此，應(yīng)該選擇出一種合理的采樣數(shù)，既能保證計(jì)算的精度又可以減小計(jì)算量。

在對(duì)概率問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)事件X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）時(shí)，P（μ －σ ＜X≤μ ＋σ）＝0.6826，P（μ －2σ ＜X≤μ ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ ＜X≤μ ＋3σ）＝0.9974?？梢钥闯鍪录服從正態(tài)分布時(shí)，特定范圍的概率值為確定值，剛好可以用來(lái)驗(yàn)證采樣數(shù)對(duì)精度的影響。在此假設(shè)某節(jié)點(diǎn)S服從正態(tài)分布N（30，22），分別觀察5000 采樣數(shù)、10000 采樣數(shù)、100000 采樣數(shù)、500000 采樣數(shù)時(shí)處于μ ±σ、μ ±2σ 和μ ±3σ范圍內(nèi)的樣本數(shù)，不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的樣本數(shù)和概率如表2 所示。不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值如圖5 所示。

表2 不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的樣本數(shù)和概率Tab.2 Sample number and probability of different sample numbers in a specific range

從圖5 宏觀角度來(lái)看，選取的的四組采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值與標(biāo)準(zhǔn)值相差幾乎不大，這表明GeNIe軟件在進(jìn)行隨機(jī)采樣時(shí)具有較高的準(zhǔn)確度；另一方面，從表2 微觀角度來(lái)看，當(dāng)采樣數(shù)為5000 樣本和10000 樣本時(shí)，采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值與標(biāo)準(zhǔn)值還是存在一定的偏差。當(dāng)采樣數(shù)為10000 樣本和500000 樣本時(shí)，采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值與標(biāo)準(zhǔn)值較為接近。而從數(shù)據(jù)上來(lái)看，當(dāng)采樣數(shù)為100000 時(shí)，取值與標(biāo)準(zhǔn)值相差很小，完全能夠滿(mǎn)足計(jì)算要求。因此，本文在使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，為了避免不必要的計(jì)算和保證計(jì)算結(jié)果的精度，選取的采樣數(shù)為100000。

圖5 不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率Fig.5 Probability values of different sampling numbers in a specific range

2.離散化

在前面提到，本文所涉及的節(jié)點(diǎn)變量較多的是以概率的形式來(lái)表示，如正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等，而這些概率分布都是連續(xù)性分布。當(dāng)節(jié)點(diǎn)為連續(xù)性分布時(shí)，沒(méi)有普遍可靠的隨機(jī)抽樣算法。在這種情況下，GeNIe 軟件提出了一種自動(dòng)離散化的算法。該算法將原始的基于方程的連續(xù)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為離散貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，而原始的網(wǎng)絡(luò)定義沒(méi)有改變，但是在使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理時(shí)是在一個(gè)臨時(shí)的離散貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行的，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)專(zhuān)門(mén)為推理而創(chuàng)建。為了使用該算法，需要用離散化的規(guī)范來(lái)增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的定義，如果不這樣做，GeNIe 軟件會(huì)本著保持每個(gè)模型語(yǔ)法正確性的精神，將每個(gè)變量離散成兩種狀態(tài)，在大多數(shù)情況下，兩種狀態(tài)不足以滿(mǎn)足要求，應(yīng)該重新訪問(wèn)有問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)，將它們離散成更多的間隔。

當(dāng)進(jìn)行離散化操作之前，首先需要定義節(jié)點(diǎn)變量取值的上下限。對(duì)于正態(tài)分布，由于3σ 原則，在（μ －3σ，μ ＋3σ）以外的取值概率不到0.3%，幾乎不可能發(fā)生。所以，上限可取μ －3σ，下限可取μ ＋3σ。對(duì)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布或其概率分布，可先不定義上下限，離散化查看結(jié)果取值之后，再結(jié)合實(shí)際情況重新定義節(jié)點(diǎn)變量的上下限。在此以某節(jié)點(diǎn)S服從正態(tài)分布N（30，22）為例，上限取24，下限取36，離散狀態(tài)取10個(gè)，使用GeNIe 軟件自動(dòng)離散化后的結(jié)果如圖6所示。

圖6 自動(dòng)離散化后的結(jié)果Fig.6 Results of automatic discretization

在進(jìn)行離散化時(shí)需要考慮將節(jié)點(diǎn)變量離散為多少狀態(tài)。以疲勞裂紋為例，如果離散的狀態(tài)數(shù)目較少，會(huì)使得裂紋在擴(kuò)展過(guò)程中一直處于某個(gè)狀態(tài)不變，顯然這不利于我們的分析，而如果離散的狀態(tài)數(shù)目較多，會(huì)出現(xiàn)40 ～60 個(gè)狀態(tài)，這雖然會(huì)使得結(jié)果更加精確，但會(huì)大大的增加統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)工作的難度。所以，要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定離散的狀態(tài)數(shù)目。

3 結(jié)論

本文提出一種鋼橋檢測(cè)和維修優(yōu)化框架，構(gòu)建動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程，使用Paris 公式來(lái)驗(yàn)證動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的正確性。并對(duì)采樣數(shù)和離散化兩個(gè)影響動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)精度的因素進(jìn)行了探討。得出如下結(jié)論：

1.當(dāng)不考慮疲勞細(xì)節(jié)使用過(guò)程中不確定性因素的影響時(shí)，基于Paris 公式繪制的圖形是一條光滑的曲線，使用基于動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型繪制的也是一條曲線，兩曲線的增長(zhǎng)趨勢(shì)趨于一致。

2.當(dāng)裂紋擴(kuò)展速度較為緩慢時(shí)，使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的值較為準(zhǔn)確；當(dāng)裂紋擴(kuò)展速度較為迅速時(shí)，使用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的值與Paris公式計(jì)算的值會(huì)存在偏差，但偏差并不會(huì)太大，在可接受的范圍內(nèi)。

3.當(dāng)節(jié)點(diǎn)變量不取確定值，而是以概率的形式來(lái)表示時(shí)，通過(guò)采樣數(shù)和離散化兩個(gè)方面節(jié)點(diǎn)變量的概率分布更準(zhǔn)確的應(yīng)用到動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中。本文選取的采樣數(shù)為100000。