許晨舟，杜濤，韓忠華,，昝博文，牟宇，張津澤

1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

2.翼型、葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

0 引 言

飛行器氣動(dòng)設(shè)計(jì)的核心工作之一是提供準(zhǔn)確、完備的氣動(dòng)特性數(shù)據(jù)，其中最為重要的是凍結(jié)外形氣動(dòng)特性數(shù)據(jù)，國外一般稱為“設(shè)計(jì)氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫”。然而，對(duì)于流動(dòng)條件變化復(fù)雜的高超聲速飛行器，建立設(shè)計(jì)氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫通常需要開展規(guī)模龐大和復(fù)雜的風(fēng)洞試驗(yàn)和CFD 計(jì)算，導(dǎo)致氣動(dòng)研制經(jīng)費(fèi)和進(jìn)度難以控制。因此工程應(yīng)用迫切需要發(fā)展新的方法降低氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫建立成本。

近年來，隨著數(shù)字化飛行器設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展，研究人員在人工智能技術(shù)與空氣動(dòng)力學(xué)結(jié)合方面開展了諸多有益的嘗試與探索。其中具有代表性的機(jī)器學(xué)習(xí)方法已經(jīng)成為最主流的人工智能實(shí)現(xiàn)方式，被廣泛應(yīng)用于飛行器多源氣動(dòng)數(shù)據(jù)融合與建模。機(jī)器學(xué)習(xí)方法可以快速預(yù)測(cè)不同工況下飛行器的氣動(dòng)特性，對(duì)建立完備的氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫、降低飛行器設(shè)計(jì)成本以及提升飛行器綜合性能具有重要意義。

變可信度融合模型是機(jī)器學(xué)習(xí)方法中的代表性方法。它是一種針對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的監(jiān)督式機(jī)器學(xué)習(xí)方法，其核心思想是先利用大量的低可信度（成本低、精度差）數(shù)據(jù)去近似氣動(dòng)特性的變化趨勢(shì)，再融合高可信度（成本高、精度好）數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)對(duì)未知狀態(tài)下氣動(dòng)特性的高精度預(yù)測(cè)。目前常用的變可信度融合模型大致可以分為以下4 類：

1）基于標(biāo)度函數(shù)的修正模型

基于標(biāo)度函數(shù)的修正模型是在低可信度模型基礎(chǔ)上，以相加、相乘或兩者混合的方式引入標(biāo)度函數(shù)，從而構(gòu)建高可信度模型的近似模型。Haftka和Chang 等最早提出了乘法標(biāo)度函數(shù)的修正方法，通過縮放比例系數(shù)可使低可信度模型在局部近似于高可信度分析的結(jié)果。Alexandrov 等將其與置信域法結(jié)合，提出了一階加法和乘法標(biāo)度函數(shù)，并應(yīng)用于翼型和機(jī)翼的優(yōu)化設(shè)計(jì)之中，顯著降低了計(jì)算成本。舒樂時(shí)等和Park 等建立了更符合全局模型變化趨勢(shì)的差異函數(shù)，提高了變可信度模型的預(yù)測(cè)精度。Wang提出了一種基于最小二乘法的加法標(biāo)度函數(shù)構(gòu)造方法，提高了模型的泛化能力。杜濤等提出了一種針對(duì)變可信度模型的自適應(yīng)預(yù)處理技術(shù)，解決了加法標(biāo)度函數(shù)修正模型在原始數(shù)據(jù)絕對(duì)值較小情況下出現(xiàn)數(shù)據(jù)失真的問題。韓忠華等改善了混合標(biāo)度函數(shù)修正方法，并引入了梯度等信息，進(jìn)一步提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

2）空間映射模型

該方法最早由Bandler 在1994年提出，Bandler建立了高、低設(shè)計(jì)空間的映射關(guān)系，使低可信度函數(shù)的局部特性能夠逼近高可信度函數(shù)。而后Robinson等提出了一種改進(jìn)的空間映射方法，并應(yīng)用于撲翼的氣動(dòng)建模與優(yōu)化中。Jonsson 等也將此方法應(yīng)用于跨聲速機(jī)翼的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中?？臻g映射模型最主要的特點(diǎn)是允許高、低可信度模型的設(shè)計(jì)空間維數(shù)不一致，并且適用于高可信度樣本較少的高維建模問題。

3）Co-Kriging 類模型

Co-Kriging 是在Kriging 模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一類針對(duì)多可信度數(shù)據(jù)的高斯回歸模型，被認(rèn)為是一種淺層機(jī)器學(xué)習(xí)方法。其基于貝葉斯理論，通過建立自回歸模型將多種精度的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，利用交叉協(xié)方差來衡量不同精度數(shù)據(jù)間的相關(guān)性。Kennedy 和O’Hagan首次將其應(yīng)用于工程科學(xué)領(lǐng)域，提出了經(jīng)典的KOH 模型。之后，該模型的算法理論被不斷改進(jìn)，包括采用多項(xiàng)式縮放系數(shù)、引入更多不同可信度層數(shù)據(jù)、建模樣本非嵌套化等。韓忠華和 Zimmermann 等提出了一種能夠避免復(fù)雜交叉協(xié)方差計(jì)算的Co-Kriging 模型。此外，韓忠華等還提出了一種通用性更強(qiáng)、建模更加簡(jiǎn)潔的分層Kriging 模型（Hierarchical kriging，HK）。該模型的基本思想是以大量的低可信度數(shù)據(jù)建立全局趨勢(shì)模型，通過少量的高可信度樣本進(jìn)行修正，最終建立起高精度的預(yù)測(cè)模型。HK 方法的后續(xù)改進(jìn)研究可以參閱文獻(xiàn)[6]和[8]。

4）多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（Multi-Fidelity Neural Network，MFNN）采用最新發(fā)展的深度學(xué)習(xí)技術(shù)，先根據(jù)低可信度樣本建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，再將低可信度模型的預(yù)測(cè)值和高可信度樣本同時(shí)作為高可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，最后根據(jù)輸出的預(yù)測(cè)值與高可信度樣本標(biāo)簽值之間的差異來構(gòu)建損失函數(shù)，迭代訓(xùn)練模型參數(shù)。Meng 等在MFNN 模型的基礎(chǔ)上提出了多可信度貝葉斯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該方法可提供模型預(yù)測(cè)值的均方誤差。何磊等將MFNN 網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于亞聲速翼型的氣動(dòng)特性建模。張?chǎng)螏浀葎t將MFNN 網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于翼型與翼身組合體的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

雖然變可信度融合模型理論與算法在近十年已取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，但現(xiàn)有方法的泛化能力仍明顯不足，大多數(shù)模型還停留在實(shí)驗(yàn)室研究階段，缺乏工程研制中復(fù)雜應(yīng)用場(chǎng)景的適應(yīng)性研究。

2019年，在我國首次開展的在役火箭子級(jí)落區(qū)控制項(xiàng)目中，由于飛行操態(tài)較多，跨越馬赫數(shù)范圍廣，氣動(dòng)研制工作面臨經(jīng)費(fèi)和進(jìn)度的雙重壓力。本文作者所在團(tuán)隊(duì)首次嘗試引入變可信度融合模型技術(shù)，在解決了4 項(xiàng)關(guān)鍵算法和技術(shù)問題、提升了模型在復(fù)雜工程問題中的適應(yīng)性，利用加法標(biāo)度函數(shù)修正模型和HK 模型學(xué)習(xí)了項(xiàng)目部分風(fēng)洞試驗(yàn)及CFD計(jì)算結(jié)果后，預(yù)測(cè)了全部工況的氣動(dòng)特性，按時(shí)建立了飛行氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫，并大幅降低了風(fēng)洞試驗(yàn)和數(shù)值仿真的需求。2019年7月，飛行搭載試驗(yàn)取得成功，預(yù)測(cè)結(jié)果的正確性獲得了驗(yàn)證。

本文是上述研究工作的繼續(xù)。在應(yīng)用中作者發(fā)現(xiàn)相關(guān)函數(shù)和模型的選擇對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的正確性和質(zhì)量有較大影響，因此，本文將深入研究影響機(jī)理，進(jìn)一步發(fā)掘變可信度融合模型在工程復(fù)雜場(chǎng)景中應(yīng)用的魯棒性和適應(yīng)性。除文獻(xiàn)[2]中的加法標(biāo)度函數(shù)修正模型和HK 模型外，本文還將額外對(duì)比2 種變可信度融合模型—Co-Kriging 模型和MFNN 模型。這4 種變可信度融合模型幾乎代表了當(dāng)前主流的氣動(dòng)融合建模思路。通過對(duì)建模結(jié)果的對(duì)比分析，討論不同相關(guān)函數(shù)和模型的工程適應(yīng)性，并給出變可信度融合模型的使用建議。

1 變可信度模型理論與算法

1.1 基本假設(shè)

對(duì)于一個(gè)維的建模問題，假設(shè)存在通過不同來源或不同精度的分析模型得到的高、低可信度樣本數(shù)據(jù)集：

以及對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值：

其中，下標(biāo)“1”表示高可信度，“2”表示低可信度；和分別為高、低可信度樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)， R為實(shí)數(shù)集。

變可信度模型構(gòu)建中所需要解決的核心問題是如何有效地融合高、低精度分析模型的數(shù)據(jù)，使預(yù)測(cè)結(jié)果能更逼近真實(shí)的高精度結(jié)果。下面將介紹4 種常見的變可信度融合模型理論。

1.2 加法標(biāo)度函數(shù)修正模型

基于加法標(biāo)度函數(shù)修正的變可信度融合模型（Additive Scaling Function Based Multi-fidelity Surrogate Model，AS-MFS）是一種以低可信度模型為基礎(chǔ)、通過加法標(biāo)度函數(shù)的方式引入高可信度數(shù)據(jù)輔助構(gòu)建高可信度分析模型的近似模型，具體的公式推導(dǎo)可參見文獻(xiàn)[8]。在AS-MFS 中，標(biāo)度函數(shù)（）定義為高可信度樣本點(diǎn)處高、低可信度分析模型輸出響應(yīng)間的差值：

由于概念直觀且模型簡(jiǎn)潔，AS-MFS 已成為標(biāo)度函數(shù)修正模型中最常用的方法，被廣泛應(yīng)用于工程問題的建模和設(shè)計(jì)過程中。

1.3 Co-Kriging 模型

本文選用的Co-Kriging 模型來自文獻(xiàn)[29]。假設(shè)模型預(yù)估值為已知樣本響應(yīng)值的線性加權(quán)：

為了降低模型的復(fù)雜程度，文獻(xiàn)[29]假設(shè)高、低可信度數(shù)據(jù)具有相同的過程方差。同時(shí)為了描述不同可信度數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，額外引入了一個(gè)模型超參數(shù)[0，1]，于是通過拉格朗日乘子法可將公式（6）轉(zhuǎn)為矩陣形式：

經(jīng)過推導(dǎo)可得，Co-Kriging 模型的預(yù)估值表達(dá)式為：

1.4 分層Kriging 模型

韓忠華等于2012年提出了分層Kriging 模型，它是對(duì)傳統(tǒng)Kriging 模型理論的進(jìn)一步發(fā)展。首先，針對(duì)低可信度數(shù)據(jù)集建立Kriging 模型：

其次，假設(shè)在高可信度樣本點(diǎn)處存在靜態(tài)隨機(jī)過程：

其中，Z（x）表示均值為0、差為的靜態(tài)隨機(jī)過程。這里低可信度Kriging 模型的預(yù)估值?（）與常數(shù)縮放因子的乘積代替了原先的常數(shù)回歸項(xiàng)，成為高可信度模型的全局趨勢(shì)模型。與Kriging 模型類似，可推得HK 模型的均方誤差為：

并滿足如下無偏估計(jì)的條件：

最終，HK 模型的預(yù)估值可表示為：

1.5 多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

除了基于貝葉斯理論的變可信度模型，近年來新發(fā)展了一種基于深度學(xué)習(xí)的多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（MFNN），其模型結(jié)構(gòu)如圖1所示，具體推導(dǎo)過程可以參閱文獻(xiàn)[31]。

圖1 多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of multi-fidelity neural network

假設(shè)高、低可信度數(shù)據(jù)之間的關(guān)系可以表示為：

其中，（）表示數(shù)據(jù)從低可信度層到高可信度層的映射關(guān)系。一般認(rèn)為在高、低可信度數(shù)據(jù)層均存在線性和非線性相關(guān)性，于是映射函數(shù)（）可拆為兩部分：

為了描述高、低可信度數(shù)據(jù)間線性和非線性相關(guān)性的程度，引入超參數(shù)縮放因子，于是MFNN 模型的預(yù)估值表達(dá)式為：

2 在柵格舵氣動(dòng)建模與預(yù)測(cè)上的應(yīng)用和比較

2.1 模型訓(xùn)練樣本集

預(yù)測(cè)對(duì)象為在役火箭的一子級(jí)，如圖2所示，其級(jí)間段設(shè)計(jì)了4 片對(duì)稱分布的柵格舵，對(duì)再入過程的俯仰、偏航和滾轉(zhuǎn)通道進(jìn)行氣動(dòng)操縱。本文將以俯仰通道氣動(dòng)特性為研究對(duì)象，輸入變量為馬赫數(shù)、攻角（）和俯仰舵偏角。

圖2 火箭一子級(jí)落區(qū)控制的柵格舵方案示意圖[2]Fig.2 Illustration of grid fins in the rocket first stage landing area control project[2]

項(xiàng)目以風(fēng)洞試驗(yàn)（圖3）為主，輔以少量CFD 計(jì)算（圖4）。由于進(jìn)度和經(jīng)費(fèi)的原因，風(fēng)洞試驗(yàn)和CFD 計(jì)算的結(jié)果并不充分。亞聲速和跨聲速條件的試驗(yàn)成本低、進(jìn)度快，均開展了試驗(yàn)；馬赫數(shù)大于4 的狀態(tài)未開展試驗(yàn)，最終僅開展了所需工況的54%，如表1所示。理論上，風(fēng)洞試驗(yàn)狀態(tài)比CFD 計(jì)算更加接近飛行器表面真實(shí)的流動(dòng)狀態(tài)，因此，本文將風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)視為高可信度數(shù)據(jù)，而CFD 計(jì)算結(jié)果是低可信度輔助數(shù)據(jù)。

圖3 火箭一子級(jí)帶柵格舵模型在風(fēng)洞中試驗(yàn)情況[2]Fig.3 Experimental model of rocket first stage with grid fins in the wind tunnel test[2]

圖4 火箭一子級(jí)帶柵格舵外形數(shù)值仿真的計(jì)算網(wǎng)格[2]Fig.4 Computational grids of CFD simulation for rocket first stage with grid fins[2]

表1 俯仰特性風(fēng)洞試驗(yàn)情況[2]Table 1 Fundamental state for wind tunnel experiment on pitching moment characteristics[2]

亞聲速段時(shí)，火箭一子級(jí)帶柵格舵外形的俯仰力矩在0°攻角附近為靜穩(wěn)定配平點(diǎn)，而超聲速段變?yōu)椴环€(wěn)定配平點(diǎn)（圖5），跨聲速段容易出現(xiàn)顯著的壅塞現(xiàn)象。柵格舵的俯仰力矩表現(xiàn)出遠(yuǎn)比軸向力和法向力復(fù)雜的變化特性。這種特性能夠代表工程應(yīng)用的復(fù)雜場(chǎng)景，因此本文將俯仰力矩特性的氣動(dòng)建模與預(yù)測(cè)作為主要研究對(duì)象。

圖5 火箭一子級(jí)帶柵格舵外形跨聲速段和超聲速段俯仰力矩特性Fig.5 Pitching moment characteristics of rocket first stage with grid fins in the transonic and supersonic regimes

從氣動(dòng)數(shù)據(jù)集中篩選出不同舵偏角、馬赫數(shù)、攻角（輸入數(shù)據(jù)）與俯仰力矩系數(shù)（輸出數(shù)據(jù)），得到不同舵偏角下的310 組風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)和96 組CFD 計(jì)算數(shù)據(jù)，其空間分布情況如圖6所示，4 個(gè)舵偏角從上往下依次為–20°、–10°、0°和10°。從圖中可以看出：高可信度風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)（綠色球體）主要集中在跨聲速段，缺少高超聲速段數(shù)據(jù)（馬赫數(shù)4 以上）；而CFD 計(jì)算數(shù)據(jù)（紅色方塊）覆蓋了全馬赫數(shù)工況，但缺少大攻角下（攻角15°以上）俯仰力矩?cái)?shù)據(jù)。

圖6 柵格舵俯仰力矩系數(shù)數(shù)據(jù)集空間分布情況Fig.6 Pitching moment data set of rocket first stage with grid fins

2.2 模型訓(xùn)練的關(guān)鍵問題

本文采用4 種變可信度融合模型對(duì)俯仰力矩系數(shù)進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)。下面先對(duì)模型訓(xùn)練過程中出現(xiàn)的一些關(guān)鍵問題進(jìn)行分析和討論。

除了MFNN 模型，其余3 種變可信度融合模型均基于高斯過程回歸理論。高斯過程回歸—本文特指Kriging 模型—是一種使用高斯過程先驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值分析的模型。它通常包含不超過兩層的非線性特征變換，因而被認(rèn)為是一種淺層的機(jī)器學(xué)習(xí)模型。文獻(xiàn)[2]中，我們發(fā)現(xiàn)相關(guān)函數(shù)R 和模型超參數(shù)訓(xùn)練對(duì)Kriging 模型的預(yù)測(cè)效果影響很大。相關(guān)函數(shù)又稱為“核函數(shù)”，是一類僅與樣本點(diǎn)空間距離相關(guān)的光滑函數(shù)，滿足距離為0 時(shí)等于1、距離無窮大時(shí)等于0，且相關(guān)性隨著距離的增大而減小。對(duì)于一個(gè)維的建模問題，相關(guān)函數(shù)一般具有如下的形式：

其中，、x為設(shè)計(jì)空間中任意兩個(gè)不同位置，為待定的模型超參數(shù)。一般來說，帶有的相關(guān)函數(shù)可以更好地反映不同變量在該維空間上的變化尺度，通過訓(xùn)練可以提高Kriging 模型對(duì)非線性函數(shù)的擬合能力。另外，還有一類不帶的相關(guān)函數(shù)，如薄板樣條函數(shù)，它們往往對(duì)非線性函數(shù)的擬合較差，而對(duì)線性函數(shù)的擬合較好。

目前常用的帶的相關(guān)函數(shù)包括三次樣條函數(shù)和高斯指數(shù)函數(shù)。本節(jié)將著重考察這兩種相關(guān)函數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)效果的影響。

三次樣條函數(shù)的解析表達(dá)式為：

其中，ξ=θ|x-x|，=1，2，，。該函數(shù)二階可導(dǎo)，在光滑性和魯棒性方面能取得很好的折中。

高斯指數(shù)函數(shù)的解析表達(dá)式為：

其中，p為相關(guān)函數(shù)光滑程度的各向異性參數(shù)。p=2時(shí)，相關(guān)函數(shù)無窮階次可導(dǎo)；p ＜2時(shí)，相關(guān)函數(shù)一階可導(dǎo)。

圖7、8 分別為超參數(shù)取不同值時(shí)三次樣條函數(shù)和高斯指數(shù)函數(shù)的變化情況。從圖中可以看到，隨著的增大，相關(guān)函數(shù)曲線逐漸變“陡峭”，這意味著較大的會(huì)縮小作用范圍。取值相同時(shí)，對(duì)比三次樣條函數(shù)和高斯指數(shù)函數(shù)（p = 2），可以發(fā)現(xiàn)：三次樣條函數(shù)隨樣本空間距離的變化更劇烈，并且當(dāng)樣本空間距離大到一定程度時(shí)，二者的相關(guān)性消失。文獻(xiàn)[35]將這類樣本局部性影響較大而全局性影響較小的相關(guān)函數(shù)稱為“緊支撐性函數(shù)”。圖9展示了= 1 時(shí)高斯指數(shù)函數(shù)取隨參數(shù)p 的變化情況。可以看到，隨著參數(shù)p 的增大，相關(guān)函數(shù)在樣本距離較小的情況下過渡得更為平緩。為了保持這種光滑的過渡性，本文限制高斯指數(shù)函數(shù)參數(shù)p 的取值范圍為[1.5，2]，且參數(shù)p 與超參數(shù)都可以通過最大似然估計(jì)的方法優(yōu)化得到。

圖7 不同超參數(shù)下的三次樣條函數(shù)變化Fig.7 Influence of θ on the cubic correlation function

圖8 不同超參數(shù)下的高斯指數(shù)函數(shù)變化（p = 2）Fig.8 Influence of θ on the Gauss correlation function with p = 2

圖9 不同參數(shù)p 時(shí)的高斯指數(shù)函數(shù)變化（θ = 1）Fig.9 Influence of index p on the Gauss correlation function with θ = 1

上文通過理論分析解釋了兩種相關(guān)函數(shù)的差異性，下面將其應(yīng)用于柵格舵的俯仰力矩參數(shù)建模問題，考察不同相關(guān)函數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)效果的影響情況。本文以舵偏角=0°時(shí)的俯仰力矩系數(shù)建模為例。需要說明的是，當(dāng)俯仰舵無偏轉(zhuǎn)時(shí)，共有100 組風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)和24 組CFD 計(jì)算數(shù)據(jù)；模型的第一維輸入是馬赫數(shù)，第二維輸入是攻角。

為在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行對(duì)比，首先將兩種相關(guān)函數(shù)的超參數(shù)優(yōu)化范圍均限制在[0.001，1.0]。圖10 為HK 模型采用不同相關(guān)函數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。從圖中可以看到，采用緊支撐性較強(qiáng)的三次樣條函數(shù)時(shí)，預(yù)測(cè)曲面變得不光滑，在離樣本點(diǎn)較遠(yuǎn)的區(qū)域出現(xiàn)波浪型“隆起”現(xiàn)象；而采用高斯指數(shù)函數(shù)時(shí)，整個(gè)預(yù)測(cè)曲面在設(shè)計(jì)空間內(nèi)的變化都較為光滑。

圖10 基于不同相關(guān)函數(shù)的HK 模型對(duì)俯仰力矩系數(shù)建模結(jié)果對(duì)比（超參數(shù)優(yōu)化范圍受限制）Fig.10 Comparison of predicted pitching moment coefficients via HK model based on different correlation functions （with optimization boundaries for hyperparameters）

然后，解除對(duì)超參數(shù)優(yōu)化范圍的限制，基于最大似然估計(jì)理論對(duì)超參數(shù)進(jìn)行徹底優(yōu)化，得到優(yōu)化后的超參數(shù)及俯仰力矩系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖11 所示。從圖中可以看到：采用三次樣條作為相關(guān)函數(shù)時(shí)，優(yōu)化后超參數(shù)的第一維數(shù)值較大，反映在預(yù)測(cè)曲面上，俯仰力矩系數(shù)預(yù)測(cè)值沿馬赫數(shù)方向出現(xiàn)了過擬合現(xiàn)象；而采用高斯指數(shù)函數(shù)時(shí)，預(yù)測(cè)模型未出現(xiàn)明顯的過擬合現(xiàn)象。造成這一現(xiàn)象的原因是：三次樣條函數(shù)的緊支撐性使得其在較大時(shí)樣本的影響域很?。▓D7），一旦預(yù)測(cè)點(diǎn)稍微偏離樣本點(diǎn)，就無法獲取樣本響應(yīng)值的相關(guān)信息，預(yù)測(cè)值將迅速靠近模型自身的常數(shù)回歸項(xiàng)。在HK 模型的外插區(qū)域，由于缺少高可信度風(fēng)洞數(shù)據(jù)，采用高斯指數(shù)函數(shù)的模型預(yù)測(cè)曲面出現(xiàn)了小范圍凹坑與鼓包。根據(jù)馬赫數(shù)無關(guān)性原理，該現(xiàn)象不符合實(shí)際的物理規(guī)律。這也從側(cè)面反映出：并不是模型的超參數(shù)優(yōu)化得越徹底，預(yù)測(cè)效果就會(huì)越好；而是需要結(jié)合建模問題本身，給出合理的優(yōu)化空間。

圖11 基于不同相關(guān)函數(shù)的HK 模型對(duì)俯仰力矩系數(shù)建模結(jié)果對(duì)比（超參數(shù)優(yōu)化范圍不作限制）Fig.11 Comparison of predicted pitching moment coefficients via HK model based on different correlation functions （with no optimization boundaries for hyperparameters）

本文將超參數(shù)的優(yōu)化范圍限制在[0.001，1.0]，再對(duì)比不同變可信度高斯回歸模型采用這兩種相關(guān)函數(shù)的俯仰力矩系數(shù)預(yù)測(cè)曲線，截取了攻角為10°的結(jié)果，如圖12 所示。從圖中可以看到：采用三次樣條作為相關(guān)函數(shù)時(shí)，3 種變可信度模型的預(yù)測(cè)曲線均出現(xiàn)了不同程度的“振蕩”現(xiàn)象；而采用高斯指數(shù)函數(shù)時(shí)，模型預(yù)測(cè)曲線變化較為光滑，更符合物理規(guī)律。圖12 充分顯示了相關(guān)函數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的重要性。在后續(xù)的分析中，選用高斯指數(shù)函數(shù)作為AS-MFS 模型、 Co-Kriging 模型和HK 模型的相關(guān)函數(shù)。

圖12 采用兩種相關(guān)函數(shù)的不同變可信度模型對(duì)俯仰力矩系數(shù)建模的結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of predicted pitching moment coefficients via different variable-fidelity model based on the two correlation functions

如何評(píng)估最終建立的變可信度融合模型的預(yù)測(cè)精度，是研究人員最關(guān)心、也是其在工程問題中取得成功應(yīng)用的關(guān)鍵性問題之一。本文沿用文獻(xiàn)[2]提出的檢驗(yàn)方法：交叉驗(yàn)證與物理規(guī)律檢驗(yàn)相結(jié)合。交叉驗(yàn)證，即屏蔽一小部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將其設(shè)定為未知，然后與模型預(yù)測(cè)進(jìn)行比較。氣動(dòng)特性數(shù)據(jù)并非毫無規(guī)律可言，而是需要滿足客觀存在的物理規(guī)律，例如Oswatitsch 高超馬赫數(shù)無關(guān)性原則。這些規(guī)律可以幫助研究人員對(duì)氣動(dòng)模型進(jìn)一步確認(rèn)預(yù)測(cè)結(jié)果。

鑒于項(xiàng)目數(shù)據(jù)空間分布的特殊性，高可信度風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果僅分布在馬赫數(shù)4 以下的狀態(tài)（圖6）。本文將馬赫數(shù)區(qū)間分成兩段，分別采用交叉驗(yàn)證和物理規(guī)律檢驗(yàn)的方法。具體而言：

1）對(duì)馬赫數(shù)小于4 的內(nèi)插區(qū)域，由于存在高可信度樣本數(shù)據(jù)，因此隨機(jī)屏蔽一小部分風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為測(cè)試集，計(jì)算相關(guān)系數(shù)（r）、相對(duì)均方根誤差（RRMSE）和相對(duì)最大絕對(duì)誤差（RMAE） 3 個(gè)指標(biāo)來表征模型的預(yù)估精度。其中，r和RRMSE 用來表征模型的全局預(yù)測(cè)精度，且r越接近1、RRMSE越接近0，模型全局預(yù)測(cè)越精確；RMAE 用來表征模型的局部預(yù)測(cè)精度，且RMAE 越接近0，模型局部預(yù)測(cè)越精確。3 個(gè)指標(biāo)的計(jì)算公式如下：

其中，N 為測(cè)試集中的樣本個(gè)數(shù)。需要說明的是，N 的值不宜過大，否則會(huì)導(dǎo)致需要被屏蔽的高可信度風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)過多，從而減少參與氣動(dòng)建模的高可信度樣本數(shù)據(jù)，造成模型預(yù)測(cè)精度的損失。綜合考慮后，從310 組高可信度樣本里抽取了30 組樣本作為測(cè)試集。

2）對(duì)于馬赫數(shù)大于4 的外插區(qū)域，由于缺乏風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，無法采用交叉驗(yàn)證方法進(jìn)行精度評(píng)估，因而采用物理規(guī)律進(jìn)行檢驗(yàn)。需要說明的是，火箭一子級(jí)帶柵格舵外形的飛行搭載試驗(yàn)取得了成功，其在再入啟控的過程中經(jīng)歷了外插段的高馬赫數(shù)區(qū)間，也從側(cè)面間接說明了采用變可信度融合模型進(jìn)行外插的正確性和有效性。后續(xù)研究工作中將發(fā)展對(duì)外插結(jié)果的直接驗(yàn)證方法。

2.3 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果及對(duì)比

本節(jié)采用2.1 小節(jié)介紹的4 種變可信度融合模型分別對(duì)–20°、–10°、0°和10°舵偏角下柵格舵的俯仰力矩系數(shù)進(jìn)行建模。表2為各舵偏角下的樣本個(gè)數(shù)分布情況。

表2 不同舵偏角下樣本分布情況Table 2 Data sets for different elevator deflections of grid fins

圖13 為采用高斯指數(shù)相關(guān)函數(shù)的AS-MFS 模型、Co-Kriging 模型、HK 模型和MFNN 模型在馬赫數(shù)[0.4，4]區(qū)間內(nèi)對(duì)俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插結(jié)果對(duì)比。從圖中可以看到，AS-MFS 模型、Co-Kriging 模型和HK 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果較為接近，均比較光滑，各舵偏角對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)曲面近似平行且相互隔開，不存在交叉現(xiàn)象。MFNN 模型預(yù)測(cè)的俯仰力矩系數(shù)在跨聲速、大攻角區(qū)域有較高的隆起現(xiàn)象；在跨聲速區(qū)，–20°和–10°舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)有明顯的交叉現(xiàn)象。圖14 為馬赫數(shù)為3.5 時(shí)采用交叉驗(yàn)證方法檢驗(yàn)不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比情況。從圖中可以看到，Co-Kriging 模型和HK 模型的預(yù)測(cè)值與測(cè)試點(diǎn)吻合最好，且二者精度較為接近。AS-MFS 模型的預(yù)測(cè)精度稍弱于前兩種模型。由于AS-MFS、Co-Kriging 模型和HK 模型為插值模型，因此預(yù)測(cè)曲線均精確通過了訓(xùn)練樣本；而MFNN 的預(yù)測(cè)結(jié)果較差，且由于它是擬合模型，因此未精確通過訓(xùn)練樣本。此外，表3還展示了采用交叉驗(yàn)證方法計(jì)算的模型精度指標(biāo)對(duì)比情況?？梢钥吹剑讪C20°、0°和10°舵偏角下，Co-Kriging 模型的3 項(xiàng)精度指標(biāo)均優(yōu)于其他3 種模型。在–10°舵偏角下，Co-Kriging 模型除RRMSE 指標(biāo)稍弱于HK 模型外，其他2 項(xiàng)精度指標(biāo)仍為最佳。這表明Co-Kriging 模型在柵格舵俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插預(yù)測(cè)上具備一定的精度優(yōu)勢(shì)。HK 模型的精度指標(biāo)僅次于Co-Kriging 模型，也表現(xiàn)出了較強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力。在4 種模型中，MFNN 模型預(yù)測(cè)結(jié)果的3 項(xiàng)指標(biāo)均最差，俯仰力矩系數(shù)的預(yù)測(cè)誤差較大。

圖13 不同變可信度模型對(duì)俯仰力矩系數(shù)建模內(nèi)插結(jié)果對(duì)比Fig.13 Comparison of predicted pitching moment coefficients via different VFMs

表3 針對(duì)俯仰力矩系數(shù)建模不同模型精度指標(biāo)對(duì)比Table 3 Comparison of different accuracy indicators for pitching moment coefficients via different VFMs

圖14 不同變可信度模型在馬赫數(shù)為3.5 時(shí)俯仰力矩系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果的交叉驗(yàn)證對(duì)比Fig.14 Comparison of cross validation for predicted pitching moment coefficients via different VFMs at Mach 3.5

圖15 為4 種變可信度模型的外插預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比，其中單獨(dú)截取了馬赫數(shù)為5 和7 下的俯仰力矩系數(shù)隨攻角變化結(jié)果進(jìn)行展示。從圖中可以看到，AS-MFS 模型和MFNN 模型的外插曲面最光滑，相比之下，Co-Kriging 模型和HK 模型外插曲面的光滑程度略微下降，存在少量凹坑。在馬赫數(shù)為5 的狀態(tài)下，AS-MFS 模型預(yù)測(cè)的0°和–10° 舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)曲線在攻角14°附近有部分重疊，HK 模型的俯仰力矩系數(shù)曲線在2 個(gè)舵偏角下則存在交叉現(xiàn)象。Co-Kriging 模型和MFNN 模型不同舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)曲線均無交叉現(xiàn)象。在馬赫數(shù)為7 的狀態(tài)下，HK 模型預(yù)測(cè)的2 個(gè)舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)曲線仍然交叉，而其余3 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果較好，符合基本物理規(guī)律。需要注意的是，在0°攻角、0°舵偏角狀態(tài)下，俯仰力矩系數(shù)理論上過零點(diǎn)，但AS-MFS 模型和Co-Kriging 模型預(yù)測(cè)值在馬赫數(shù)為5 和7 狀態(tài)下整組預(yù)測(cè)曲線均向下略微偏移，俯仰力矩系數(shù)未能過零點(diǎn)；而HK 模型和MFNN 模型預(yù)測(cè)值在該狀態(tài)時(shí)經(jīng)過了零點(diǎn)，符合客觀物理規(guī)律。考慮到HK 模型預(yù)測(cè)結(jié)果存在交叉現(xiàn)象，因此可以認(rèn)為MFNN 模型在俯仰力矩系數(shù)外插時(shí)的預(yù)測(cè)效果更好。

圖15 不同變可信度模型對(duì)俯仰力矩系數(shù)建模外插結(jié)果對(duì)比Fig.15 Comparison of predicted pitching moment coefficients via different VFMs

綜上所述，Co-Kriging 模型對(duì)柵格舵俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插有著較為良好的表現(xiàn)，而采用MFNN模型可以在外插區(qū)域得到相對(duì)更加光滑、合理的預(yù)測(cè)結(jié)果。

3 結(jié) 論

本文將機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)融合方法應(yīng)用于在役火箭一子級(jí)柵格舵落區(qū)控制項(xiàng)目的氣動(dòng)研制中，在開展部分工況風(fēng)洞試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合少量的CFD 計(jì)算結(jié)果，預(yù)測(cè)獲得了設(shè)計(jì)所需的完整氣動(dòng)特性數(shù)據(jù)。通過對(duì)比4 種變可信度融合模型對(duì)柵格舵俯仰力矩氣動(dòng)特性的預(yù)測(cè)結(jié)果，得出結(jié)論如下：

1）針對(duì)柵格舵氣動(dòng)建模等全局預(yù)測(cè)問題，選用高斯指數(shù)函數(shù)作為高斯過程回歸類機(jī)器學(xué)習(xí)模型的核函數(shù)，可以獲得更光滑、魯棒性更好的預(yù)測(cè)結(jié)果；合理的超參數(shù)優(yōu)化范圍可以進(jìn)一步提高模型的預(yù)測(cè)精度。

2）對(duì)于柵格舵俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插，Co-Kriging模型可以獲得相對(duì)較好的預(yù)測(cè)結(jié)果，模型的泛化能力更強(qiáng)。

3）HK 模型在俯仰力矩系數(shù)內(nèi)插時(shí)表現(xiàn)出較強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力，但在外插時(shí)效果不理想，不同舵偏角下存在不合理的交叉現(xiàn)象。

4）采用MFNN 模型在高馬赫數(shù)下對(duì)俯仰力矩系數(shù)外插時(shí)可以獲得更為光滑、合理的預(yù)測(cè)結(jié)果，但在內(nèi)插時(shí)的預(yù)測(cè)誤差較大。

5）總體而言，內(nèi)插的預(yù)測(cè)可信度更高，外插的風(fēng)險(xiǎn)較大，還需要開展更多的研究工作。

后續(xù)將繼續(xù)探索變可信度模型與氣動(dòng)特性建模的深度融合，考慮改進(jìn)現(xiàn)有的模型理論與算法，建立融入人工經(jīng)驗(yàn)或物理認(rèn)知的變可信度新模型，進(jìn)一步提高氣動(dòng)特性預(yù)測(cè)的智能化水平。同時(shí)，發(fā)展對(duì)外插結(jié)果的直接驗(yàn)證方法，更全面系統(tǒng)地評(píng)估不同機(jī)器學(xué)習(xí)融合模型的性能，為工程人員提供技術(shù)參考。