唐道光，張 意，劉敘含，王 喬，李 濤，楊 丹

(1 中北大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，太原 030051; 2 西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 西安 710065;3 西南計(jì)算機(jī)有限責(zé)任公司技術(shù)中心，重慶 400060)

0 引言

在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈自動(dòng)導(dǎo)引、無(wú)人飛行器進(jìn)場(chǎng)著陸、航天器交匯對(duì)接以及行星探測(cè)器自主著陸等方面，制導(dǎo)律起到了不可替代的作用。根據(jù)不同的導(dǎo)引目的、不同的交匯場(chǎng)景，已衍生出形式多樣的制導(dǎo)律種類(lèi)，如比例導(dǎo)引、增強(qiáng)型比例導(dǎo)引、偏置比例導(dǎo)引、帶終端角度約束的制導(dǎo)律、時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律等。這些制導(dǎo)律既可能是基于線性模型，也可能是基于非線性模型的。總體而言，根據(jù)所采用的制導(dǎo)信息類(lèi)型，可分為角速率型制導(dǎo)律和角度型制導(dǎo)律兩類(lèi)。前者需要視線角速率信息，而后者所用的是角度相關(guān)信息。尤其對(duì)視線角速率信息獲取困難或精度不理想的情況，如低成本制導(dǎo)彈藥、捷聯(lián)制導(dǎo)彈藥、雷達(dá)反輻射導(dǎo)彈，準(zhǔn)確的視線角速率信號(hào)獲取沒(méi)有硬件支持或獲取代價(jià)較高，這種情況下應(yīng)用角度制導(dǎo)律就很有意義。

基于不同的終端約束，各類(lèi)制導(dǎo)律的研究已經(jīng)較為廣泛和深入。Zarchan, Garnell等在經(jīng)典著作中對(duì)比例導(dǎo)引、彈道成型等進(jìn)行了深度分析；Wang等在多約束最優(yōu)制導(dǎo)律的解析研究方面取得了一定成果；Ryoo, Lee等在多約束最優(yōu)制導(dǎo)方向開(kāi)展了系統(tǒng)的研究，提出了角度最優(yōu)制導(dǎo)、多項(xiàng)式制導(dǎo)等一系列顯著成果。此外，協(xié)同制導(dǎo)、三維制導(dǎo)、多約束優(yōu)化等也是近些年的熱點(diǎn)研究課題。

通過(guò)建立相對(duì)于終端彈目連線的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程，得到以角度形式表示的比例導(dǎo)引，并推導(dǎo)了基于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引的積分型比例導(dǎo)引、速度追蹤?；诓煌膭?dòng)力學(xué)模型和制導(dǎo)誤差，對(duì)比分析了其性能差別。

1 反輻射導(dǎo)彈的制導(dǎo)需求

空射反輻射導(dǎo)彈通常劃分為四代，分別以AGM-45“百舌鳥(niǎo)”、AGM-78“標(biāo)準(zhǔn)”、AGM-88“哈姆”、AGM-88E等為典型代表，制導(dǎo)方式歷經(jīng)被動(dòng)雷達(dá)、寬頻帶被動(dòng)雷達(dá)、慣性+被動(dòng)雷達(dá)、衛(wèi)星/慣性+主被動(dòng)復(fù)合等。當(dāng)末制導(dǎo)采用被動(dòng)雷達(dá)制導(dǎo)時(shí)，被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭往往并不能直接測(cè)得彈目視線角速率，直接的測(cè)量值是目標(biāo)相對(duì)被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭的誤差角，誤差角與導(dǎo)彈慣導(dǎo)的彈體姿態(tài)角或速度矢量角組合后，才可能得到可用的彈目視線角。相對(duì)而言，處理得到的彈目視線角速率信號(hào)噪聲會(huì)比較大，運(yùn)用比例導(dǎo)引的效果并不總是很好。研究表明，利用彈目視線角信號(hào)，采用角度型制導(dǎo)的方式，對(duì)降低信號(hào)噪聲引起的脫靶量是有益的。

2 無(wú)動(dòng)力學(xué)滯后的最優(yōu)制導(dǎo)律

2.1 數(shù)學(xué)模型

對(duì)地面固定目標(biāo)，導(dǎo)彈和目標(biāo)的幾何關(guān)系如圖1所示，LOS表示當(dāng)前彈目視線(line of sight);(,)表示導(dǎo)彈的位置;(,)表示目標(biāo)的位置;表示導(dǎo)彈速度;表示導(dǎo)彈加速度指令;為彈道傾角；為彈目相對(duì)速度。根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，定義:

圖1 彈目運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖

(1)

圖2 彈目運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系框圖

將式(1)寫(xiě)成系統(tǒng)狀態(tài)方程的形式:

(2)

2.2 基于最優(yōu)控制理論的制導(dǎo)律

將目標(biāo)函數(shù)定義為：

(3)

根據(jù)式(2)，將終端約束表示成矩陣形式:

()=

(4)

若僅約束()==0，則矩陣、為:

(5)

根據(jù)最優(yōu)控制理論，上述最優(yōu)問(wèn)題的解可表示為:

()=[()-]

(6)

式中:

(7)

將矩陣、帶入式(6)、式(7)，則最優(yōu)制導(dǎo)律的表達(dá)式為：

(8)

其中，定義=+3為導(dǎo)航比。

3 比例導(dǎo)引、積分比例導(dǎo)引、速度追蹤的角度表示

3.1 比例導(dǎo)引的兩種表達(dá)形式

基于小角度假設(shè)，認(rèn)為彈目視線角為小角。根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，有

(9)

微分后得到:

(10)

將式(9)、式(10)代入式(8)中，得到：

(11)

(12)

將式(9)、式(12)代入式(8)，得到：

(13)

令

(14)

則得到:

(15)

若目標(biāo)為固定的，則

(16)

式(11)、式(15)和式(16)為比例導(dǎo)引的兩種不同形式，其中后者為比例導(dǎo)引的角度表示形式。

3.2 積分型比例導(dǎo)引和速度追蹤的角度表示

不考慮彈體動(dòng)力學(xué)，則=，其中為彈體的加速度響應(yīng)。根據(jù)彈體動(dòng)力學(xué)，有

(17)

聯(lián)立式(11)和式(17)，兩邊同時(shí)積分，得到:

(18)

若僅針對(duì)固定目標(biāo)，則=1,式(18)可簡(jiǎn)化后寫(xiě)成加速度的形式:

=[(-)+(-)]

(19)

若暫不考慮積分初值，且取1，則上述積分比例導(dǎo)引退化為速度追蹤，如式(20)所示：

=(-)

(20)

對(duì)比式(16)的比例導(dǎo)引和式(20)的速度追蹤，可以發(fā)現(xiàn)，比例導(dǎo)引相對(duì)于速度追蹤引入了時(shí)變的導(dǎo)航增益。

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)目標(biāo)為固定的，不考慮積分初值，則上述3種基于角度的制導(dǎo)律表達(dá)式如表1所示。

表1 3種基于角度的制導(dǎo)律

4 基于高階動(dòng)力學(xué)的積分比例導(dǎo)引、速度追蹤制導(dǎo)模型

不考慮積分比例導(dǎo)引的積分初值，假設(shè)系統(tǒng)具有初始方向誤差輸入，則系統(tǒng)的通用化制導(dǎo)框圖如圖3所示。

圖3 通用化制導(dǎo)框圖

其中:表示制導(dǎo)時(shí)間；導(dǎo)航增益可能為或1，分別表示積分比例導(dǎo)引和速度追蹤。圖3通過(guò)等價(jià)變換后，得到圖4。

圖4 等價(jià)變換后的模型

根據(jù)圖4，假設(shè)高階動(dòng)力學(xué)為1(+1)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)階數(shù)的不同將分母展開(kāi)，如表2所示。由此可見(jiàn)，不管如何取值，這種模型能夠保證一階環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)為。

表2 高階動(dòng)力學(xué)模型分母展開(kāi)

圖4可具體表示為圖5。

圖5 速度追蹤高階動(dòng)力學(xué)制導(dǎo)模型

比例導(dǎo)引的制導(dǎo)模型研究較多，此處不再贅述。觀察可以發(fā)現(xiàn)，假設(shè)制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)完全一致，則比例導(dǎo)引和積分比例導(dǎo)引的區(qū)別在于，積分比例導(dǎo)引需考慮積分初值和的影響；在比例導(dǎo)引的方向誤差輸入為，而積分比例導(dǎo)引或速度追蹤的方向誤差輸入為:

(21)

5 積分比例導(dǎo)引、速度追蹤與比例導(dǎo)引的脫靶量對(duì)比研究

5.1 積分比例導(dǎo)引和比例導(dǎo)引在初始方向誤差作用下的脫靶量對(duì)比分析

為簡(jiǎn)化分析，僅考慮目標(biāo)固定的情況，即=。根據(jù)第4節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型，假設(shè)比例導(dǎo)引也引入同樣的高階制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)1(+1)，初始指向誤差為誤差輸入。在不同動(dòng)力學(xué)階數(shù)下的脫靶量仿真結(jié)果如圖6所示。由此可見(jiàn)，對(duì)同樣的高階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在上述的初始方向誤差輸入條件下，比例導(dǎo)引(proportion navigation, PN)和積分比例導(dǎo)引(integral proportion navigation, IPN)的脫靶量沒(méi)有明顯區(qū)別。

圖6 積分比例導(dǎo)引和比例導(dǎo)引脫靶量對(duì)比

5.2 積分初值對(duì)積分比例導(dǎo)引的脫靶量影響

對(duì)積分比例導(dǎo)引，引入積初值和，則制導(dǎo)框圖如圖7所示。

圖7 IPN 制導(dǎo)系統(tǒng)

圖8、圖9的仿真結(jié)果表明，對(duì)不同的動(dòng)力學(xué)階數(shù)，只要導(dǎo)航系數(shù)≥2且無(wú)量剛末導(dǎo)時(shí)間>10，則IPN系統(tǒng)的積分初值引起的脫靶量都會(huì)趨近于0。

圖8 積分初值θ0作用下的積分比例導(dǎo)引脫靶量

圖9 積分初值q0作用下的積分比例導(dǎo)引脫靶量

5.3 速度追蹤和比例導(dǎo)引在初始方向誤差作用下的脫靶量對(duì)比分析

速度追蹤的制導(dǎo)框圖如圖10所示，仿真結(jié)果如圖11、圖12所示。

圖10 速度追蹤制導(dǎo)模型

圖11 動(dòng)力學(xué)階數(shù)對(duì)初始方向誤差作用下的速度追蹤制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量影響(從1階到5階)

圖12 速度追蹤和比例導(dǎo)引脫靶量對(duì)比

速度追蹤和比例導(dǎo)引的仿真結(jié)果表明，在實(shí)際制導(dǎo)系統(tǒng)中，速度追蹤隨的增大有較大的脫靶距離，這表明在同一導(dǎo)彈特征控制點(diǎn)，速度矢量駕駛儀比過(guò)載駕駛儀慢，因此在實(shí)際制導(dǎo)系統(tǒng)中，速度追蹤可能有較大的脫靶量。

6 結(jié)論

在最優(yōu)比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上，基于彈目視線角和彈道傾角，推導(dǎo)了比例導(dǎo)引、積分比例導(dǎo)引和速度追蹤的角度型表達(dá)式。針對(duì)積分比例導(dǎo)引和速度追蹤的高階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，建立了具有初始指向誤差的制導(dǎo)模型。通過(guò)脫靶量的仿真對(duì)比分析，說(shuō)明了比例導(dǎo)引、積分比例導(dǎo)引和速度追蹤的制導(dǎo)性能差異。從制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)角度分析，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引與過(guò)載駕駛儀相匹配；而積分比例導(dǎo)引、速度追蹤與速度矢量駕駛儀相匹配。對(duì)同樣的制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)和導(dǎo)航系數(shù)，初始方向誤差引起的積分比例導(dǎo)引和比例導(dǎo)引脫靶量基本一致。在初始方向誤差作用下，要達(dá)到相同的脫靶量，速度追蹤要求的末導(dǎo)時(shí)間大于比例導(dǎo)引。此外，雖然角度型制導(dǎo)律更適用于攻擊固定或慢速移動(dòng)目標(biāo)，但工程上對(duì)視線角量測(cè)精度要求較高，彈載測(cè)量硬件的量測(cè)精度對(duì)角度型制導(dǎo)律影響較大。

比例導(dǎo)引法的優(yōu)點(diǎn)是可以通過(guò)恰當(dāng)?shù)膮?shù)組合實(shí)現(xiàn)全向攻擊且彈道較平直，缺點(diǎn)是命中時(shí)的需用法向過(guò)載受命中點(diǎn)的導(dǎo)彈速度和攻擊方向影響較大。早期戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈受硬件水平限制，視線角速度難以直接測(cè)量，因而多采用積分比例導(dǎo)引。速度追蹤技術(shù)上易實(shí)現(xiàn)，但是繞后攻擊導(dǎo)致彈道彎曲，對(duì)導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性提出較高要求。在選擇導(dǎo)引方法時(shí)，需綜合考慮導(dǎo)彈的飛行性能、作戰(zhàn)空域、技術(shù)實(shí)施、戰(zhàn)術(shù)使用、制導(dǎo)設(shè)備與精度等方面的需求。