王海青 吳有昌

(1.惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 516007；2.廣東省教育科學(xué)研究院 510035)

1 研究的背景與理論依據(jù)

正如康德的觀點：“知識在本質(zhì)上是一個整體，正確使用人的理性可以指導(dǎo)主體將支離破碎的、不完整的知識統(tǒng)整上升到更高原則的整體知識．”[1]隨著基礎(chǔ)教育課程改革的推進，強調(diào)知識的整體性和單元整體作用的教學(xué)觀愈加受到重視．“單元設(shè)計不僅僅是對知識點與技能訓(xùn)練的課時安排及單元重難點知識的分析”[2]，教師應(yīng)該學(xué)會有機地、模塊化地處理教學(xué)內(nèi)容進行“單元設(shè)計”，它是“撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點”[3]．以單元為主體進行整體教學(xué)設(shè)計，可以解決由“課時主義”造成的教學(xué)內(nèi)容碎片化、知識技能訓(xùn)練過度化等問題，“整體化有序設(shè)計單元教學(xué)”[4]還可以改變重細節(jié)輕整體的教學(xué)思維．整體教學(xué)理論強調(diào)遵循“整體→部分→整體”[5-8]的步驟開展單元教學(xué)，重視單元整體的功能與作用，突出單元與具體課時之間的融會貫通．它要求對任何一門學(xué)科的教學(xué),應(yīng)使學(xué)生不僅要理解各部分的內(nèi)容,而且要理解各部分內(nèi)容間的關(guān)系；不僅要掌握該學(xué)科知識間的內(nèi)在聯(lián)系，而且要掌握該學(xué)科與相鄰學(xué)科的外在聯(lián)系．

近年來，關(guān)于單元教學(xué)設(shè)計或整體教學(xué)設(shè)計的研究與實踐日趨增多[2-4，9]．由于基礎(chǔ)教育教材編寫遵循“螺旋式上升”原則以及知識結(jié)構(gòu)的整體性特征，以單元為主體強調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容相互聯(lián)系的整體教學(xué)設(shè)計是提升課堂教學(xué)質(zhì)量的有效選擇．基礎(chǔ)教育各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)也特別強調(diào)教材與教學(xué)內(nèi)容的整體實現(xiàn)，如《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》[10]與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》[11]在“實施建議”中指出“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性”，注重教材的整體結(jié)構(gòu)與內(nèi)容間的有機銜接；教學(xué)活動要整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重課程目標(biāo)的整體實現(xiàn)．同時數(shù)學(xué)教學(xué)也具有自身的學(xué)科特性．美國數(shù)學(xué)家Halmos曾直言：問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一的方法就是做數(shù)學(xué)．基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)“從學(xué)生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境”[10]，“教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題……教學(xué)情境包括：現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境”[11]．這也凸顯了問題與情境對數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性，教師需通過問題與情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程、揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)并學(xué)會思考．

科學(xué)研究始于問題，問題是促進學(xué)科發(fā)展的原始動力．?dāng)?shù)學(xué)也不例外，美國數(shù)學(xué)史家M. Kline就曾指出“每一個數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的”[12]．因此，合乎情理和邏輯的數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)圍繞問題展開，以問題驅(qū)動教學(xué)讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中揭示數(shù)學(xué)思想、生成“形式化”的數(shù)學(xué)概念與原理，并“教學(xué)生學(xué)會思考”[13]．《問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)·理論與實踐卷》[14]則系統(tǒng)地探討了問題驅(qū)動教學(xué)理論以及相應(yīng)的教學(xué)案例分析．那么，怎樣的問題才是適當(dāng)?shù)模砍醯葦?shù)學(xué)中的概念或原理的形成大都源于現(xiàn)實生活問題或是數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，只要是“具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的”[15]問題都是好問題．這也就要求教師需依據(jù)對歷史和數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的整體理解挖掘知識產(chǎn)生的背景與價值，再結(jié)合學(xué)生的實際創(chuàng)設(shè)真實有效的問題及相應(yīng)的情境．

可見，就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，適當(dāng)?shù)膯栴}與情境是實現(xiàn)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計的重要支點，以數(shù)學(xué)單元為主體的整體教學(xué)設(shè)計需重視問題驅(qū)動課堂的教學(xué)方式，整體教學(xué)觀與問題驅(qū)動理論是指導(dǎo)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計的重要理論依據(jù)．教師需根據(jù)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展脈絡(luò)與學(xué)科架構(gòu)，發(fā)現(xiàn)知識產(chǎn)生的本原性問題、挖掘教學(xué)內(nèi)容的價值與揭示學(xué)習(xí)內(nèi)容相互之間的聯(lián)系，然后依據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實創(chuàng)設(shè)合適的問題與情境以問題驅(qū)動教學(xué)，教給學(xué)生豐富的充滿聯(lián)系的整體知識結(jié)構(gòu)，并促進學(xué)習(xí)的遷移．以單元為單位圍繞核心數(shù)學(xué)問題展開整體教學(xué)設(shè)計，有助于實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容在學(xué)科內(nèi)部的融合與學(xué)科間的整合，有助于實現(xiàn)抽象知識與具體現(xiàn)實的有效連接，有助于實現(xiàn)既面向全體又考慮差異的彈性教學(xué)．

2 中學(xué)數(shù)學(xué)單元的知識結(jié)構(gòu)

準(zhǔn)確剖析中學(xué)數(shù)學(xué)單元的整體結(jié)構(gòu)，涉及到對數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)、教學(xué)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)三個概念的辨析，三者之間既有密切聯(lián)系又有嚴(yán)格區(qū)別．?dāng)?shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)就是教材內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是經(jīng)過學(xué)生主觀改造后頭腦里獲得的知識結(jié)構(gòu)．[16]而教學(xué)結(jié)構(gòu)是教師基于對教材邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實形成的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計與組織形式，它是實現(xiàn)由知識結(jié)構(gòu)向認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的橋梁．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是幫助學(xué)生形成可利用的、可辨別的和穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[17]以促進學(xué)習(xí)的遷移．即要求教師在教學(xué)中應(yīng)使知識間盡可能多地建立相互聯(lián)系，且新知識的學(xué)習(xí)應(yīng)在原有的基礎(chǔ)上建立意義聯(lián)系，使之有機嵌入已有的知識體系并得以保持．顯然，良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成有賴于教師對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整體認(rèn)知以組織合理的教學(xué)結(jié)構(gòu)．

為便于討論，下面以“平面向量”單元為例，剖析單元知識結(jié)構(gòu)及其對具體教學(xué)的指導(dǎo)作用．

2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)單元知識結(jié)構(gòu)的四個層次

中學(xué)數(shù)學(xué)單元的知識結(jié)構(gòu)可從宏觀到微觀四個層次進行剖析，即：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系、中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系、單元內(nèi)部各個課時之間的聯(lián)系．

2.1.1 數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系

數(shù)學(xué)的概念、原理或規(guī)則大都是為解決某個實際問題而慢慢形成，有些則演變?yōu)橐粋€數(shù)學(xué)分支．它們的起源與物理、天文、軍事和經(jīng)濟生活等密切相關(guān)，所以數(shù)學(xué)與其它學(xué)科及數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的聯(lián)系形成了一個宏觀的整體結(jié)構(gòu)．M. Kline認(rèn)為“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”，它記載著數(shù)學(xué)思想的形成過程．因此，數(shù)學(xué)史有助于認(rèn)識這一宏觀的知識結(jié)構(gòu)，由此深入理解相關(guān)內(nèi)容產(chǎn)生的背景及應(yīng)用價值，明確教學(xué)內(nèi)容的重要性．

向量是一個可以表示力、速度或加速度的大小和方向的有向線段的概念．向量的概念及平行四邊形運算法則，早在亞里士多德時期就已經(jīng)知道．1830年左右德國數(shù)學(xué)家Gauss指出復(fù)數(shù)能用來表示平面上的向量，于是復(fù)數(shù)就提供了表示向量及其運算的一個代數(shù)形式．復(fù)數(shù)的加法與減法就表示向量的加法與減法，定量的代數(shù)形式運算代替了平行四邊形法則或三角形法則的定性幾何描述，大大簡化了向量的計算．復(fù)數(shù)的加法和乘法運算可以表示平面上物體的平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮運動，這給物理研究帶來極大的便利，也是復(fù)數(shù)最終被廣泛接受的直接原因．代數(shù)上為了處理空間中的物體運動需要一個復(fù)數(shù)的三維類似物，愛爾蘭的數(shù)學(xué)與物理學(xué)家Hamilton于1843年在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)明了四元數(shù)，并試圖將之系統(tǒng)化應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)科．

四元數(shù)因為脫離了空間直角坐標(biāo)系而受到物理學(xué)家的忽視，也未像復(fù)數(shù)那樣應(yīng)用廣泛．人們評價四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是“愛爾蘭的悲劇”[18-19]，但它的發(fā)明間接推動了向量代數(shù)和向量分析的建立．四元數(shù)啟發(fā)物理學(xué)家Gibbs和Heaviside提出了三維向量的概念并定義了數(shù)量積和向量積兩類乘法，它們都有直接的物理背景，可以表示空間中物體的運動情況．比如，向量的數(shù)量積運算的物理意義[20]為：如圖1，設(shè)v1是一個方向和大小由O到P1的線段表示的力，則這個力推動O點的物體在OP方向上的作用(OP代表向量v)是OP1在OP上的投影OP1·cos∠P1OP．當(dāng)OP是單位長度時，OP1的投影正好是乘積v·v1的值．

圖1 向量數(shù)量積的物理意義

數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了向量與數(shù)學(xué)及物理學(xué)科間的脈絡(luò)關(guān)系，相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)如圖2．

圖2 向量與數(shù)學(xué)及物理學(xué)科的聯(lián)系

2.1.2 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系

事實上，初等數(shù)學(xué)的許多知識是高等數(shù)學(xué)的特殊情形，而高等數(shù)學(xué)則是初等數(shù)學(xué)的進一步延伸和一般化，它們之間在數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)成了有機整體．德國數(shù)學(xué)家F. Klein認(rèn)為，只有觀點高了，事物才顯得明了而簡單．[21]許多初等數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能被清晰地揭示．高觀點的數(shù)學(xué)思想對初等數(shù)學(xué)教學(xué)具有高屋建瓴的指導(dǎo)作用，教師能從更高的視角審視初等數(shù)學(xué)知識的整體架構(gòu)，有助于整體設(shè)計教學(xué)和對問題的變式與引申．

結(jié)合圖2和中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容可描繪出以“向量”為紐帶的高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的關(guān)系脈絡(luò)，如圖3．可見，線性代數(shù)與空間解析幾何的許多結(jié)論特殊化后就是平面與空間向量的性質(zhì)定理，體現(xiàn)了“一般與特殊”的數(shù)學(xué)思想．為便于后面的說明，這里給出“n維向量”的部分知識結(jié)構(gòu)圖，如圖4．

圖3 向量與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

圖4 n維向量的部分知識結(jié)構(gòu)圖

2.1.3 中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間的聯(lián)系有助于建立中學(xué)數(shù)學(xué)各單元間的聯(lián)系．中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)學(xué)科的許多重要分支，這些分支在初等數(shù)學(xué)的框架下構(gòu)成相互聯(lián)系的整體結(jié)構(gòu)．如代數(shù)、幾何與三角之間通過坐標(biāo)系建立起密切聯(lián)系，向量也成為溝通幾何、代數(shù)與三角函數(shù)的橋梁．其中蘊含著數(shù)與形、類比、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想．“平面向量”與中學(xué)數(shù)學(xué)其它單元的聯(lián)系如圖5．

圖5 平面向量與中學(xué)數(shù)學(xué)其它單元之間的聯(lián)系

2.1.4 單元內(nèi)部各個課時之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)教材每個單元內(nèi)部各個課時的內(nèi)容相互聯(lián)系構(gòu)成一個整體，是教師和學(xué)生最為熟悉的一個知識結(jié)構(gòu)．這里整體表現(xiàn)為一個單元，部分則是具體的課時內(nèi)容．備課時教師通常以單元為整體思考知識產(chǎn)生的背景、知識點間的關(guān)系、分析教學(xué)目標(biāo)和重難點，在此基礎(chǔ)上分配課時內(nèi)容并選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法進行教學(xué)設(shè)計．“平面向量”單元知識結(jié)構(gòu)如圖6．

圖6 平面向量單元知識結(jié)構(gòu)圖

2.2 四個層次知識結(jié)構(gòu)的相互關(guān)系與功能

整體由部分構(gòu)成，部分依附于整體．要深刻理解部分，需對整體有完善的認(rèn)知；要掌握整體，則需了解部分與部分之間的有機聯(lián)系．各個課時內(nèi)容是最細微的部分，每個單元是最小的整體．單元作為部分構(gòu)成中學(xué)數(shù)學(xué)的整體知識結(jié)構(gòu)，中學(xué)數(shù)學(xué)作為部分與高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)成有機整體，而數(shù)學(xué)學(xué)科分支與其它學(xué)科間的互動聯(lián)系形成一個更寬廣的整體．

對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的剖析有利于理清知識的本原及相互間的聯(lián)系．就功能而言，四個層次的知識結(jié)構(gòu)都是為了服務(wù)最細微的部分——具體課時的教學(xué)．前兩個層次即數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系能揭示數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的本質(zhì)問題與其重要價值，解決了“為什么教”的困惑，也部分回答了“如何教”，能從宏觀上指導(dǎo)教師的教學(xué)．中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系、單元內(nèi)部各個課時之間的聯(lián)系這兩個層次則是要通過教學(xué)呈現(xiàn)給學(xué)生并使之掌握的知識結(jié)構(gòu)．從表現(xiàn)形式看，后兩個層次的知識結(jié)構(gòu)能在教材中體現(xiàn)出來，可稱之為外顯的結(jié)構(gòu)．前兩個層次的知識結(jié)構(gòu)則可稱為內(nèi)隱的結(jié)構(gòu)，它無法通過教材直接獲得，需要教師對數(shù)學(xué)學(xué)科有整體的理解和認(rèn)識，是教師個人數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的有力體現(xiàn)．教師對內(nèi)隱結(jié)構(gòu)的把握直接影響著對外顯結(jié)構(gòu)和具體知識的理解，進而影響教學(xué)設(shè)計．

3 基于問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計模式

根據(jù)對數(shù)學(xué)學(xué)科特點的把握和中學(xué)數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)的分析，教師只有圍繞數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實四個方面整體理解單元內(nèi)容，才能真正實現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)單元的整體教學(xué)設(shè)計，做到以問題驅(qū)動教學(xué)．強調(diào)問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)更多地關(guān)注教師對教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)剖析，而不僅僅是停留在教學(xué)法層面的教學(xué)組織．它或多或少可以改變在基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中產(chǎn)生的“有時候過多地強調(diào)了教學(xué)法，對教學(xué)內(nèi)容有關(guān)注不夠的地方”[22]的現(xiàn)象．結(jié)合整體教學(xué)法遵循的教學(xué)步驟，可以構(gòu)建出具有學(xué)科特點的問題驅(qū)動中學(xué)數(shù)學(xué)單元的整體教學(xué)設(shè)計模式，基本框架如圖7[23]．

圖7 基于問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計模式

要落實基于問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計模式，教師須從數(shù)學(xué)史與教材內(nèi)容兩方面剖析教學(xué)內(nèi)容，以整體把握數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程與內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成與思想方法的提煉過程．進而從教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實兩個方面組織單元內(nèi)容和實施具體課時教學(xué)，主要按以下三個步驟組織和呈現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計．

第一步，單元起始課的教學(xué)設(shè)計．在具體講授新課之前通過開篇課對單元作整體性的介紹，讓學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有大致了解．這恰是美國數(shù)學(xué)教育家Ausubel所提倡的“先行組織者”教學(xué)策略，其核心是指在學(xué)生正式學(xué)習(xí)新知識前，介紹他們熟悉的、要比新知識本身具有更高的抽象、概括和綜合水平的，并且能使學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識相關(guān)聯(lián)的引導(dǎo)性材料，為新舊知識的連接做準(zhǔn)備．[17]因此，單元起始課主要介紹單元知識產(chǎn)生的背景、應(yīng)用與價值，它們與舊知的聯(lián)系等．目的是為新的學(xué)習(xí)內(nèi)容提供觀念上的固著點以促進學(xué)生的學(xué)習(xí)，也為后面具體教學(xué)的問題情境創(chuàng)設(shè)提供預(yù)設(shè)和鋪墊．起始課也能化解學(xué)生“為什么要學(xué)”的困惑，在情感上獲得意義學(xué)習(xí)的心向．

第二步，具體課時的教學(xué)設(shè)計．?dāng)?shù)學(xué)本身就是由許許多多的問題及其解決過程構(gòu)成，以“問題驅(qū)動教學(xué)”的方式有利于激發(fā)學(xué)生的探索精神并獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)史強調(diào)知識產(chǎn)生的背景、關(guān)注問題出現(xiàn)的序列及重視數(shù)學(xué)思想的形成過程，能為問題情境創(chuàng)設(shè)提供幫助．比如“向量的數(shù)量積”不同于學(xué)生之前所掌握的乘法意義，可以結(jié)合它的物理意義來引入新課，幫助學(xué)生直觀理解．此外，從高等數(shù)學(xué)的框架下解讀初等數(shù)學(xué)知識，有助于對具體教學(xué)內(nèi)容的深刻認(rèn)識和直觀理解，有效突破重點和化解難點．

比如，“平面向量基本定理”的內(nèi)容為：“如果e1,e2是平面內(nèi)不共線的兩個向量,那么對于這個平面內(nèi)的任一向量α,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2，使得α=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1,e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．”這種高度抽象和形式化的數(shù)學(xué)語言使學(xué)生難以從本質(zhì)上真正理解定理．結(jié)合圖4從n維向量的知識體系看，“平面內(nèi)不共線的兩個向量”表明e1,e2是二維向量空間的一個極大線性無關(guān)組，即為一組基．n維向量空間的任一向量都能由它的一組基線性表出，且表示法唯一．當(dāng)n=2時就表述為“平面向量基本定理”的內(nèi)容．

顯然，基相當(dāng)于一組“代表”，起到坐標(biāo)系的作用，其它的向量由這組“代表”線性刻畫實現(xiàn)定量研究．所以，“平面向量基本定理”將平面中看似繁雜無章的向量及其相互關(guān)系變得簡潔有序，化繁為簡實現(xiàn)定量計算；對無窮多平面向量的研究轉(zhuǎn)為對有限部分的討論，實現(xiàn)了無限向有限的轉(zhuǎn)化．[24]這恰是定理的重要價值．在了解定理重要性的基礎(chǔ)上利用平行四邊形法則或三角形法則能使學(xué)生直觀理解向量α的“任意性”、實數(shù)λ1,λ2的“存在性”與“唯一性”及e1,e2的“不唯一性”問題，利用“數(shù)形結(jié)合”化解教學(xué)難點．平面內(nèi)基底的選擇不唯一，為便于計算通常選取與平面直角坐標(biāo)系對應(yīng)的一組基．這自然為下一節(jié)內(nèi)容“平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”的教學(xué)埋下伏筆．由此可以給出“平面向量基本定理”的教學(xué)流程圖，如圖8．

圖8 “平面向量基本定理”課時教學(xué)流程

第三步，復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計．一個單元講授完畢，復(fù)習(xí)課教學(xué)的作用不可小覷．教師在引導(dǎo)學(xué)生回顧具體知識時應(yīng)特別強調(diào)相互間的聯(lián)系和相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，最終也形成一個與開篇課中相似的整體知識網(wǎng)絡(luò)圖．但此時的圖不再是一個大致的、模糊不清的框架，而是具體的、部分間相互聯(lián)系的、有血有肉的網(wǎng)絡(luò)圖．復(fù)習(xí)課中的拓展訓(xùn)練則是為了培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力和發(fā)散思維能力，同時也為學(xué)有余力的學(xué)生提供深入學(xué)習(xí)的方向，學(xué)會“數(shù)學(xué)地”思考．如若教師了解數(shù)學(xué)知識與其它學(xué)科、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)及其單元知識之間的聯(lián)系，自然能基于教材對問題進行恰當(dāng)?shù)淖兪揭?，對綜合題的編制與拿捏也成竹在胸、游刃有余．

4 整體把握數(shù)學(xué)單元知識結(jié)構(gòu)的困難與對策

我國傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有許多亮點．比如，著重于對具體教學(xué)內(nèi)容的剖析，關(guān)注課堂的教學(xué)模式及強調(diào)對課堂組織、提問、語言表達等的細致探察．但少有對數(shù)學(xué)教材內(nèi)容作整體考量．這會導(dǎo)致學(xué)生獲得的知識“碎片化”，造成“只見樹木不見森林”的缺陷，以致缺乏綜合運用知識處理問題的能力．教師的專業(yè)知識結(jié)構(gòu)也會偏重于學(xué)科教學(xué)知識，而忽視學(xué)科內(nèi)容知識的重要性．基于問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計強調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部及學(xué)科間的相互聯(lián)系，使數(shù)學(xué)知識形成緊密的整體結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生能“既見樹木又見森林”并運用知識解決實際問題．此外，問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)就是結(jié)合學(xué)生的實際對教學(xué)內(nèi)容再創(chuàng)造，創(chuàng)設(shè)真實有效的問題情境驅(qū)動教學(xué)，注重數(shù)學(xué)的本質(zhì)探求和知識的直觀解釋，有助于學(xué)生體驗“做數(shù)學(xué)”和“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”過程．

“單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維”[25]，教師需對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及其本質(zhì)有深刻的認(rèn)識，從整體視角剖析單元內(nèi)容研究單元目標(biāo)與任務(wù)，才能實現(xiàn)以問題驅(qū)動教學(xué)促成學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體認(rèn)知并實現(xiàn)學(xué)習(xí)的正遷移．但要基于數(shù)學(xué)單元整體設(shè)計并創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)摹皢栴}”驅(qū)動教學(xué)，對教師也提出了很高的要求，需從宏觀到微觀四個層次對單元知識結(jié)構(gòu)進行解構(gòu)．掌握內(nèi)隱的知識結(jié)構(gòu)能更好地揭示數(shù)學(xué)知識背后的問題起源及價值，以便更深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系、單元內(nèi)部各個課時之間的聯(lián)系這兩個外顯的知識結(jié)構(gòu)．而要整體理解和把握數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系這兩個內(nèi)隱的宏觀知識結(jié)構(gòu)，對中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說有一定的困難和挑戰(zhàn)．這需要教師具備較豐富的數(shù)學(xué)史知識，對數(shù)學(xué)學(xué)科的整體架構(gòu)包括高等數(shù)學(xué)知識與學(xué)科分支有一定的了解．在把握數(shù)學(xué)單元知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)具有將數(shù)學(xué)史中知識的原始形態(tài)和數(shù)學(xué)教材中知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)的能力，才能創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}與情境驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)．為突破對中學(xué)數(shù)學(xué)單元知識結(jié)構(gòu)四個層面的理解困難，更準(zhǔn)確地整體把握數(shù)學(xué)單元內(nèi)容及其教育形態(tài)進行有效的教學(xué)設(shè)計，教師可從以下四個方面加強思考．

第一，掌握一定程度的數(shù)學(xué)學(xué)科整體結(jié)構(gòu)以及一定量的數(shù)學(xué)史知識和高等數(shù)學(xué)知識．教師所需的與學(xué)生所要掌握的整體知識結(jié)構(gòu)不完全相同．正如F. Klein所言，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過懸?guī)r，渡過險灘．[18]數(shù)學(xué)教師既要掌握外顯的知識結(jié)構(gòu)，更要具備前兩個宏觀的內(nèi)隱知識結(jié)構(gòu)，才能從更高的視角直觀理解教學(xué)內(nèi)容和把握數(shù)學(xué)的思想方法．倘若教師也僅囿于對中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系與單元內(nèi)部各個課時之間的聯(lián)系這兩個層次知識結(jié)構(gòu)的思考，教學(xué)就很難揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)史知識和高等數(shù)學(xué)觀念有助于教師了解數(shù)學(xué)的整體架構(gòu)和揭示本質(zhì)，深刻理解教學(xué)內(nèi)容的地位、作用和價值．第二，整體把握中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)．教師要熟悉不同學(xué)段數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容分布，從課程標(biāo)準(zhǔn)的總體目標(biāo)確定具體課時目標(biāo)．并要思考如何通過短期的課時目標(biāo)實現(xiàn)長遠的課程目標(biāo)，以真正發(fā)展和養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．第三，恰當(dāng)把握學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實．新知在舊知的基礎(chǔ)上生成，并將成為后面新知的鋪墊．只有了解學(xué)生已有的生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能判斷創(chuàng)設(shè)的問題與情境是否有效以及“數(shù)學(xué)化”的過程是否恰當(dāng)，才能實現(xiàn)有效乃至高效教學(xué)．第四，恰當(dāng)使用教材．教材的編寫立足于中國全部地區(qū)全體學(xué)生的共同需要，考慮學(xué)生和教學(xué)環(huán)境的共性．而教師面對的是不同地區(qū)不同學(xué)生的情況，更要重視其特性．所以，對于教材的使用應(yīng)堅持“‘用好教材’，而不是‘按教材去教’”[26]的原則，結(jié)合學(xué)生實際“再創(chuàng)造”教材，對教學(xué)內(nèi)容問題化，以問題驅(qū)動教學(xué)．