陳方遒，景 云,2，郭思冶

(1.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院， 北京 100044；2.北京交通大學(xué) 智慧高鐵系統(tǒng)前沿科學(xué)中心， 北京 100044)

高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)是國家現(xiàn)代化高質(zhì)量綜合立體交通網(wǎng)的重要一環(huán)，能夠有效減少城市間的出行時(shí)間，帶動城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展。高鐵票價(jià)是影響出行需求的主要因素，采用浮動定價(jià)策略，可以有效協(xié)調(diào)席位資源配置，合理引導(dǎo)旅客需求，提高鐵路企業(yè)客票收益。京滬高鐵于2020年12月23日起實(shí)行浮動票價(jià)試點(diǎn)，將票價(jià)分為9個(gè)等級，預(yù)售期開始時(shí)公布價(jià)格，預(yù)售期內(nèi)保持價(jià)格不變。

目前京滬高鐵浮動定價(jià)主要考慮列車的旅行時(shí)間、發(fā)車日期是否為周五或者周日兩個(gè)因素，未考慮出發(fā)和到達(dá)時(shí)刻等。本文通過分析旅客出行選擇特征，改進(jìn)現(xiàn)有的分級浮動定價(jià)策略，依據(jù)客座率設(shè)計(jì)浮動定價(jià)方案，從而均衡客流時(shí)空分布，提高企業(yè)客票收益。

分析旅客出行選擇行為可以為動態(tài)定價(jià)提供依據(jù)。Talluri等[1]構(gòu)建Logit模型研究影響鐵路旅客出行選擇行為的因素，提出鐵路客票動態(tài)定價(jià)策略。單杏花[2]通過分析鐵路旅客選擇行為，提出靜態(tài)定價(jià)策略和動態(tài)定價(jià)策略相結(jié)合的鐵路客票收益管理體系。秦進(jìn)等[3]在分析旅客出行價(jià)格需求彈性的基礎(chǔ)上，構(gòu)建基于Logit模型的客流彈性函數(shù)，建立以期望客票總收入最大化為目標(biāo)的多列車多時(shí)段的動態(tài)定價(jià)與票額分配協(xié)同優(yōu)化模型，有效提高鐵路運(yùn)輸企業(yè)的客票總收益水平。

精確預(yù)知客流規(guī)律可以為鐵路部門實(shí)施動態(tài)定價(jià)策略提供關(guān)鍵參考。建立客流預(yù)測模型是短期客流預(yù)測領(lǐng)域最主要的應(yīng)用方法，Tsai 等[4-5]設(shè)計(jì)了兩種動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在短期客流預(yù)測結(jié)果均取得了低于20%的平均絕對百分誤差。王芳杰等[6]通過LightGBM模型預(yù)測公交的行程時(shí)間，結(jié)果表明該模型關(guān)鍵指標(biāo)均大幅度優(yōu)于參照組。楊文淇[7]建立基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的城軌新線開行下常規(guī)公交客流預(yù)測模，預(yù)測城軌新線開通后的客流量變化情況。單一客流預(yù)測模型性能有限，為進(jìn)一步提升預(yù)測能力，融合客流預(yù)測模型得到發(fā)展。Davis等[8]利用K-NN和Linear Time-series結(jié)合的融合模型對高速公路交通量進(jìn)行短時(shí)預(yù)測；Jing等[9]建立LGB-LSTM-DRS的局部最優(yōu)融合預(yù)測模型對城市軌道交通對外客運(yùn)樞紐進(jìn)行客流短時(shí)預(yù)測。

差別定價(jià)是一種重要的動態(tài)定價(jià)策略，可有效發(fā)揮價(jià)格杠桿作用。目前國內(nèi)針對高鐵差別定價(jià)問題的研究主要面向同一OD多趟列車展開。張秀敏等[10]通過對同一席位的不同旅客進(jìn)行市場細(xì)分，研究不同情況下的旅客列車席位最優(yōu)定價(jià)問題。卜偉等[11]針對同一線路同一距離的高鐵列車應(yīng)依據(jù)出行時(shí)刻、出行人群等維度在票價(jià)形成過程中發(fā)揮的作用效果，提出普遍實(shí)施差別定價(jià)，嘗試多維度折扣。李博[12]在列車運(yùn)行圖固定的條件下，構(gòu)建離散時(shí)間的動態(tài)規(guī)劃聯(lián)合定價(jià)模型和同一OD非平行車次間的差別定價(jià)模型，研究高鐵動態(tài)定價(jià)問題。

綜上所述，目前鐵路客票定價(jià)策略研究在旅客出行選擇行為方面，主要通過構(gòu)造敏感函數(shù)，研究用動態(tài)定價(jià)策略后旅客的選擇行為。在客流預(yù)測方面，對道路及城市軌道交通的研究較多，對較強(qiáng)隨機(jī)性、非線性及突變性下的高速鐵路客流研究不夠精細(xì)；在差別定價(jià)方面，主要依靠傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)公式、列車單一屬性等因素對列車進(jìn)行分級，較少研究多影響因素的差別定價(jià)策略。

本文提出可處理非時(shí)序特征的改進(jìn)的LSTM模型，對不同價(jià)格水平下即將開售車次的余票進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測；利用GBDT算法對乘客的特征變量進(jìn)行提取，解決了車次余票相同時(shí)定價(jià)分級問題，針對現(xiàn)行的定價(jià)策略提出改進(jìn)方案。

1 高鐵客票分級定價(jià)模型

高鐵客票定價(jià)分級就是通過提取高鐵服務(wù)特征，預(yù)測市場需求，確定實(shí)際發(fā)車日不同高鐵車次的票價(jià)等級。本模型通過預(yù)測發(fā)車日各次列車的上座率，確定票價(jià)等級，使得余票緊張的車次價(jià)格等級較高。

1.1 模型假設(shè)

(1)基礎(chǔ)票價(jià)等級為553元。

(2)為方便比較，設(shè)定列車運(yùn)行圖、票價(jià)等級與各等級數(shù)量與現(xiàn)行方案一致。

(3)僅考慮二等座的定價(jià)策略。

1.2 浮動定價(jià)規(guī)劃模型

鐵路企業(yè)客票總收入S為

(1)

式中：ek為第k列車的二等座上座人數(shù)，可通過發(fā)車日需求預(yù)測模型對余票數(shù)進(jìn)行推算；pk為第k列車的二等座的票價(jià)，元。

浮動定價(jià)模型為

(2)

s.t.

P=(P1,P2,P3,…,Pj)T

(3)

Ojk=(o1k,o2k,…,ojk)

(4)

o1k+…+ojk=1

(5)

(6)

(7)

式中：P為二等座票價(jià)劃分成j個(gè)定價(jià)等級的票價(jià)列向量；Ojk為定價(jià)等級j的第k列車編碼向量；ojk為定價(jià)等級j的第k列車獨(dú)熱碼“one-hot”編碼值，取值0或1；mj為定價(jià)等級j的車次數(shù)量；jbase為基礎(chǔ)票價(jià)對應(yīng)的定價(jià)等級。

求解該模型，可得到預(yù)計(jì)票務(wù)收入最大化時(shí)各列車的定價(jià)等級分配模式。

2 發(fā)車日需求預(yù)測

2.1 模型構(gòu)建

Xk=(x1,x2,…,xt,…,xn)為車次k在票價(jià)制定日前n天隨時(shí)間變化的時(shí)序性特征。利用LSTM層對Xk進(jìn)行處理，該層中任意t時(shí)刻單個(gè)LSTM單元的輸出值ht，取決于該時(shí)刻輸入門取值ct與輸出門取值ot。ht為

ht=ot×tanh(ct)

(7)

ct取決于遺忘門的取值ft。ft、ct和ot分別為

ft=σ(Wf[ht-1,xt]+bf)

(8)

(9)

ot=σ(Wo[ht-1,xt]+bo)

(10)

it=σ(Wi[ht-1,xt]+bi)

(11)

(12)

(13)

式中：Lk為LSTM層輸出；Wd1為第一個(gè)Dense層的權(quán)重矩陣；Wd2為第二個(gè)Dense層的權(quán)重矩陣；bd1為第一個(gè)Dense層的偏置項(xiàng)；bd2為第二個(gè)Dense層的偏置項(xiàng)。

為衡量模型預(yù)測準(zhǔn)確性，基于均方誤差RMSE，改進(jìn)的LSTM模型預(yù)測誤差E為

(14)

式中：yk為發(fā)車日實(shí)際余票數(shù)；K為總發(fā)車次數(shù)。

綜上，改進(jìn)的LSTM模型通過順序連接兩個(gè)Dense層，在第一個(gè)Dense層中輸入非時(shí)序特征，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)LSTM模型只能處理序列數(shù)據(jù)的不足。

2.2 模型求解

發(fā)車日需求預(yù)測模型涉及全連接單元與LSTM單元兩種單元?；诜聪騻鞑ニ惴ǎ妹總€(gè)單元的權(quán)重矩陣與偏差計(jì)算該單元輸出值的梯度，通過鏈?zhǔn)角髮?dǎo)，求得所有單元對最終模型輸出值的梯度。沿梯度方向迭代權(quán)重矩陣與偏差，使模型收斂。隨機(jī)梯度下降法步驟如下：

Step1設(shè)定最大迭代次數(shù)nepochs與學(xué)習(xí)率α。

Step2隨機(jī)抽取某一車次k的特征數(shù)據(jù)[Xk,Jk]。

Step3計(jì)算式(1)～式(7)中所有權(quán)重矩陣與偏置項(xiàng)的梯度方向。

Step4沿梯度方向?qū)κ?1)～式(7)中所有權(quán)重矩陣與偏置項(xiàng)進(jìn)行迭代更新,即Wnew=Wold+α×dW；bnew=bold+α×db。

Step5若達(dá)到最大迭代次數(shù)，算法終止；否則，返回Step2。

對式(13)直接求導(dǎo)可得其權(quán)重矩陣與偏差對應(yīng)的梯度值，但由于LSTM單元前向傳播具有兩個(gè)方向，且需考慮其門結(jié)構(gòu)特征，因此需使用以下方法對其權(quán)重矩陣與偏差求取對應(yīng)梯度值。

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：

(19)

Ft=dct×ct-1+ot×[1-tanh2(ct)]×ct-1×dht

(20)

Ct=dct×it+ot×[1-tanh2(ct)]×ot×dht

(21)

對于各權(quán)重矩陣，則有

(22)

(23)

(24)

(25)

對于各偏置項(xiàng)，有

(26)

(27)

(28)

(29)

綜上，迭代方向?yàn)樗蠰STM單元內(nèi)權(quán)重矩陣與偏置項(xiàng)的梯度方向。

3 發(fā)車日非時(shí)序特征提取

由于目前鐵路部門實(shí)施“一日一圖”開行模式，存在列車時(shí)序性特征Xk不完整或非時(shí)序特征Ik不統(tǒng)一的情況，僅使用發(fā)車日需求預(yù)測模型會出現(xiàn)無法完整預(yù)測所有列車需求的情況。此外，當(dāng)歷史余票全部為0或因其他因素導(dǎo)致模型輸出余票相同時(shí)，仍需要按余票以外的特征進(jìn)行進(jìn)一步的等級劃分，確定定價(jià)優(yōu)先級。

GBDT為一種集成模型，其集成對象為二分決策模型CART。運(yùn)用Gini指數(shù)衡量樣本不純度，令D為父節(jié)點(diǎn)樣本集合，則該節(jié)點(diǎn)的Gini指數(shù)G(D)為

(30)

Pc=|c|/|D|

式中：Pc為從父節(jié)點(diǎn)D進(jìn)入其子節(jié)點(diǎn)c的概率；|·|為計(jì)數(shù)函數(shù)，保證分裂不具偏向性。D1和D2為父節(jié)點(diǎn)D分裂后的兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)對應(yīng)集合，其Gini指數(shù)遞進(jìn)關(guān)系為

(31)

CART算法步驟如下：

Step1遍歷所有特征，尋找Gini指數(shù)最小的節(jié)點(diǎn)D*和對應(yīng)特征A*。

Step3驗(yàn)證是否滿足停止分裂條件，滿足則算法終止；否則，轉(zhuǎn)到Step1。

設(shè)GBDT內(nèi)由m個(gè)CART集成，令CART的輸出分別為T1(Ik),T2(Ik),…,Tm(Ik)，則GBDT的輸出gm為

(32)

去掉最后一個(gè)CART，GBDT的輸出gm-1(Ik)為

(33)

考慮GBDT可加性，其誤差可泰勒展開，忽略二次以上項(xiàng)式，誤差遞歸形式為

(34)

為保證誤差在添加Tm后下降，即需滿足

E[yk,gm(Ik)]-E[y,gm-1(Ik)]<0

(35)

(36)

將式(34)、式(35)代入式(36)，則對于Tm(Ik)有

(37)

式中：Tm(Ik)為負(fù)梯度方向。

GBDT算法步驟如下：

Step1初始化CART模型T1(Ik)。

Step3使用CART模型Tm(Ik)擬合 Step2中的負(fù)梯度方向。

Step5驗(yàn)證是否滿足終止迭代條件，滿足，到轉(zhuǎn)Step6；否則，轉(zhuǎn)到Step2。

Step6提取T1(Ik),T2(Ik),…,Tm(Ik)在Step1中尋找到的A*劃分Ik的特征空間。

綜上，本文利用GBDT模型的中間節(jié)點(diǎn)，發(fā)揮其高可釋性特點(diǎn)，劃分高鐵列車非時(shí)序特征空間。依據(jù)余票數(shù)據(jù)缺失或相同的車次的非時(shí)序特征，對余票數(shù)據(jù)缺失車次利用相似車次進(jìn)行數(shù)值估計(jì)，對余票數(shù)據(jù)相同車次確定優(yōu)先級。

4 票價(jià)等級分配流程

針對歷史數(shù)據(jù)缺失導(dǎo)致無法直接計(jì)算出ei和過多車次余票相同導(dǎo)致票價(jià)最優(yōu)解不唯一的情況，本文設(shè)計(jì)基于逐次逼近法的票價(jià)等級分配流程，步驟如下：

Step1利用發(fā)車日需求預(yù)測模型，預(yù)測各數(shù)據(jù)完整車次的余票估計(jì)值。

Step2依據(jù)Step1得到的估計(jì)值，利用發(fā)車日非時(shí)序特征提取模型，構(gòu)建決策樹。

Step3若當(dāng)日存在數(shù)據(jù)不完整車次，利用Step2中決策樹找到最終節(jié)點(diǎn)，利用該節(jié)點(diǎn)其他車次余票的平均值估計(jì)余票。

Step4基于余票數(shù)量從少到多排序，按照價(jià)格等級從高到低依次分配，該等級數(shù)量分配完畢后進(jìn)入下一等級，分配至基礎(chǔ)票價(jià)等級時(shí)停止分配。

Step5基于余票數(shù)量從多到少排序，按照價(jià)格等級從低到高依次分配，該等級數(shù)量分配完畢后進(jìn)入下一等級，分配至基礎(chǔ)票價(jià)等級時(shí)停止分配。

Step6余下所有車次分配基礎(chǔ)票價(jià)等級。

以上步驟中，若當(dāng)日存在余票數(shù)相同過多，高定價(jià)等級容量不足的情況，需計(jì)算各車次優(yōu)先級∑K(A)×10Ad。K(A)為Step2中提取的非時(shí)序特征A的判定函數(shù)，若存在特征A則取其值為1，反之為-1；Ad為特征A在決策樹中的層數(shù)，優(yōu)先級高的車次分配到更高的票價(jià)等級。

5 算例分析

基于目前京滬高鐵運(yùn)營情況，參照現(xiàn)行票價(jià)分級方式，明確票價(jià)等級劃分標(biāo)準(zhǔn)，將票價(jià)分為9個(gè)等級，見表1；參照京滬高鐵購票流程，選取1個(gè)時(shí)序特征與4個(gè)非時(shí)序特征作為模型輸入，見表2。

表1 京滬高鐵現(xiàn)行定價(jià)等級劃分標(biāo)準(zhǔn)

表2 模型特征選擇標(biāo)準(zhǔn)

基于表2中特征對現(xiàn)行票價(jià)進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果見圖1。圖1中，橫縱坐標(biāo)為特征變量，第i行第j列的方塊顏色深淺表示橫坐標(biāo)上第i個(gè)特征與縱坐標(biāo)上第j個(gè)特征的相關(guān)程度，顏色對應(yīng)的值如右側(cè)色條所示，為相關(guān)系數(shù)，記為

圖1 特征-票價(jià)相關(guān)性熱力圖

(32)

式中:X與Y為需要計(jì)算的兩個(gè)特征變量;cov(X,Y)為X與Y的協(xié)方差;var(X)與var(Y)分別為X與Y的方差。

由圖1可知，票價(jià)與旅行時(shí)間和停站數(shù)量相關(guān)，現(xiàn)行的票價(jià)制定策略僅考慮了列車速度相關(guān)的因素，缺少對余票、出發(fā)時(shí)間和到達(dá)時(shí)間的考慮。

基于2019年11月京滬高鐵余票數(shù)據(jù)，提取表2中的特征進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，按時(shí)間先后順序排序，將前70%數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后30%數(shù)據(jù)作為測試集，預(yù)測發(fā)車日需求。

為保證模型復(fù)雜度一致，設(shè)定所使用的模型均僅由輸入層、循環(huán)層和輸出層組成，循環(huán)層單元數(shù)均設(shè)置為32，學(xué)習(xí)率α均為0.001，模型對比結(jié)果見圖2。

圖2 模型對比結(jié)果

從訓(xùn)練集效果來看，高鐵旅客需求預(yù)測對非時(shí)序特征變量較為敏感，考慮非時(shí)序特征的改進(jìn)的LSTM模型比3種常用的深度學(xué)習(xí)模型誤差更小、魯棒性更強(qiáng)。

從測試集效果來看，RNN模型的均方誤差隨迭代次數(shù)始終上下波動，穩(wěn)健性較差；普通的LSTM與GRU穩(wěn)健性相似，強(qiáng)于RNN但弱于改進(jìn)的LSTM；改進(jìn)的LSTM的均方誤差在迭代中穩(wěn)定下降，其穩(wěn)健性顯著高于其他模型。80輪迭代后4種模型的最終誤差見表3。

表3 4種模型最終誤差

由表3可知，改進(jìn)的LSTM在訓(xùn)練集中相較于其他三類模型提升幅度約為30%，在測試集中提升幅度約為10%，表明改進(jìn)的LSTM具有更強(qiáng)的適應(yīng)能力，且無過擬合現(xiàn)象。

利用GBDT模型提取到的列車特征見圖3，將第4節(jié)中計(jì)算所得的車次優(yōu)先級標(biāo)定在弧上。對由于數(shù)據(jù)缺失無法預(yù)測余票情況的車次，按同節(jié)點(diǎn)中余票情況的平均值四舍五入取整估計(jì)。

圖3 模型提取特征二分樹

以11月25日的定價(jià)體系為例，基于浮動定價(jià)模型，求得結(jié)果見表4。由發(fā)車日需求預(yù)測結(jié)果可得，當(dāng)日預(yù)計(jì)有8次列車余票均為0。因G123為數(shù)據(jù)缺失車次，無法對余票直接進(jìn)行預(yù)測，通過節(jié)點(diǎn)平均，估計(jì)當(dāng)日余票也為0。因此預(yù)計(jì)當(dāng)日共9次列車余票為0，超過了最高定價(jià)等級的數(shù)量設(shè)定，需確定優(yōu)先級?；趫D3所提取的特征進(jìn)行排序，得到的預(yù)計(jì)余票及其定價(jià)等級排序情況見表4。

表4 11月25日定價(jià)等級分配結(jié)果

基于表2特征對表4所得新票價(jià)體系進(jìn)行相關(guān)性分析，其中余票使用真實(shí)數(shù)據(jù)而非預(yù)計(jì)余票，去除與旅行時(shí)間高度重合的停站數(shù)量特征，按圖1方式進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果見圖4。

圖4 特征-新票價(jià)相關(guān)性熱力圖

可見，新票價(jià)體系可有效反應(yīng)余票緊張程度，并充分考慮了列車出發(fā)與到達(dá)時(shí)間。從收益管理角度來看，與原票價(jià)體系相比，新票價(jià)體系下鐵路部門收入提升了24 390元，能夠更好滿足運(yùn)輸市場需求。

6 結(jié)論

本文針對列車余票與非時(shí)序特征相關(guān)性大的特點(diǎn)，基于改進(jìn)的LSTM模型，對發(fā)車日當(dāng)天余票情況實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)預(yù)測；針對鐵路熱門車次多但該等級車次數(shù)量有限的特點(diǎn)，基于GBDT模型提取列車特征，分配車次優(yōu)先級，同時(shí)解決部分車次數(shù)據(jù)缺失問題；構(gòu)建以鐵路企業(yè)收益最大為目標(biāo)的定價(jià)模型，并采用逐次逼近算法求解，提出基于現(xiàn)行浮動定價(jià)策略提出改進(jìn)方案。

算例結(jié)果表明，改進(jìn)LSTM模型與三種常用深度學(xué)習(xí)時(shí)間序列預(yù)測模型相比，需求預(yù)測的標(biāo)準(zhǔn)化均方誤差更低；定價(jià)模型有效為各列車分配了合理的定價(jià)等級，且與現(xiàn)行浮動定價(jià)策略相比，所提出改進(jìn)的浮動定價(jià)策略可提高鐵路部門單日收益24 390元。為便于比較，本文在票價(jià)分級方式上采用現(xiàn)行票價(jià)分級方案。在后續(xù)研究中，將進(jìn)一步完善考慮多特征融合下的高鐵票價(jià)分級方法，構(gòu)建能夠動態(tài)適應(yīng)客運(yùn)市場變化、協(xié)調(diào)席位資源配置關(guān)系、引導(dǎo)客流需求的浮動定價(jià)理論體系。