巨云濤，楊明友，吳文傳

（1. 中國農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，北京市 100083；2. 清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京市 100086）

0 引言

潮流方程的非線性給配電網(wǎng)的優(yōu)化調(diào)控帶來了挑戰(zhàn)，如非線性交流最優(yōu)潮流的收斂性和全局最優(yōu)無法保證［1-3］，隨著配電系統(tǒng)規(guī)模變大，計(jì)算效率也會(huì)變低［4-5］。采用線性潮流模型代替原有非線性潮流方程，可降低配電網(wǎng)優(yōu)化模型的求解難度，保障算法的收斂性，提高計(jì)算效率［6-7］。而潮流模型線性化精度決定了線性化最優(yōu)潮流的適用性。

直流潮流模型是目前輸電網(wǎng)中應(yīng)用最多的線性模型［8］，但由于配電網(wǎng)電阻/電抗比高，直流潮流模型應(yīng)用于配電網(wǎng)分析時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大誤差［9-10］。此外，目前提出的線性潮流模型多為假設(shè)三相完全對(duì)稱的單相線性潮流模型［11-16］，這些線性化方法并不適用于三相不平衡特征明顯的配電網(wǎng)［17-18］。因此，國內(nèi)外學(xué)者提出了適用于三相不平衡配電網(wǎng)的線性潮流模型。文獻(xiàn)［19-20］提出基于泰勒一階展開的三相線性潮流模型；文獻(xiàn)［21-22］提出適用于三相不平衡配電系統(tǒng)優(yōu)化問題的Lin3DistFlow 線性潮流模型。這些三相潮流線性化方法在系統(tǒng)輕載時(shí)的計(jì)算精度在可接受范圍內(nèi)，但是在重載時(shí)線性化誤差往往很大，這也是目前很多線性化方法需要解決的關(guān)鍵問題。

為了提高線性化潮流模型精度，可采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)類方法，該類方法通過對(duì)潮流數(shù)據(jù)的回歸分析得到自變量和狀態(tài)變量之間的線性關(guān)系［23-24］。雖然數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)線性化方法在大多數(shù)測(cè)試算例中的精度高于物理模型驅(qū)動(dòng)的線性化方法，但是該方法無法保留線路連接關(guān)系信息，不易在優(yōu)化潮流中描述支路約束。

針對(duì)以上問題，學(xué)者提出了數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)的線性化方法［25-27］。文獻(xiàn)［25］提出基于數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)的支路潮流模型，其精度較文獻(xiàn)［11-16］中模型的精度有很大提升，但其為單相線性潮流模型，不適用于三相不平衡特征明顯的配電網(wǎng)。文獻(xiàn)［26］采用最小二乘法獲得誤差修正項(xiàng)來提高線性化精度，但其無法考慮分布式電源（distributed generator，DG）以及三角形恒功率負(fù)荷模型。文獻(xiàn)［27］基于經(jīng)典電流注入法，通過最小二乘法擬合節(jié)點(diǎn)等效注入電流與負(fù)荷的線性關(guān)系，最終得到數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)的三相線性潮流模型，與文獻(xiàn)［19-20，22］中的線性化方法相比，其精度有了明顯提升，但在系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)為重載時(shí)的精度仍然較低。

綜上所述，本文結(jié)合數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)和物理模型驅(qū)動(dòng)2 種線性化方法，提出了一種適用于配電網(wǎng)三相優(yōu)化潮流的數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)線性化方法。主要貢獻(xiàn)如下：

1）綜合了物理模型驅(qū)動(dòng)方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法的優(yōu)點(diǎn)，既通過物理模型驅(qū)動(dòng)方法保留了線路的連接關(guān)系，又可以充分利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化擬合能力獲得線性化誤差模型。通過偏最小二乘（partial least squares，PLS）回歸將誤差轉(zhuǎn)換為高維狀態(tài)空間的線性映射，以系統(tǒng)中所有的三相負(fù)荷為狀態(tài)變量來描述線性化誤差，并將線性化誤差模型加入線性潮流模型，保證重載時(shí)所提方法的精度仍然足夠高。

2）所提線性化方法具有更好的適用性，考慮了各種連接方式的三相變壓器和負(fù)荷模型以及相間耦合的DG 三相模型。

3）在使用PLS 回歸時(shí)，只需使用較少的訓(xùn)練樣本便可獲得誤差與負(fù)荷的線性關(guān)系，且能保證最終的線性化精度在可接受范圍內(nèi)。

1 基于物理特性得到的線性潮流模型

1.1 線性化原理

為了得到物理模型驅(qū)動(dòng)的線性潮流方程，根據(jù)實(shí)際配電網(wǎng)情況給出線性近似的基本原理：

1）系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，各節(jié)點(diǎn)電壓均在基準(zhǔn)值附近，所以電壓幅值約為1.0 p.u.；

2）在極坐標(biāo)形式的潮流方程中存在節(jié)點(diǎn)相角的正弦和余弦非線性項(xiàng)，參考文獻(xiàn)［19］中的網(wǎng)絡(luò)模型，可將其近似處理，如式（1）和式（2）所示。

式中：θi和θj分別為節(jié)點(diǎn)i和j的電壓相角；θij=θiθj為相角差；θij，0為初始相角差且θi-θj-θij，0≈0。

配電網(wǎng)三相線性潮流模型包括線路模型、變壓器模型、負(fù)荷模型和DG 模型，這里詳細(xì)介紹后3 種模型，線路模型詳見附錄A。

1.2 三相變壓器的線性化模型

三相變壓器模型包含星形/星形、星形/三角形、三角形/星形和三角形/三角形4 種連接方式［28］。雖然變壓器的連接方式不同，但無論何種型號(hào)的三相變壓器均可以由節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣表示，變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣求解過程詳見附錄B。如附錄B 圖B2 所示，三相變壓器共有6 個(gè)節(jié)點(diǎn)和6 條支路。為防止零漂問題，需要在變壓器未接地側(cè)接入接地大阻抗Rmax，本文設(shè)其值為1×109Ω。變壓器6 個(gè)節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)注入功率可表示為：

式中：Ui和Uj分別為節(jié)點(diǎn)i和j的電壓幅值；Pi和Qi分別為三相變壓器節(jié)點(diǎn)i的注入有功功率和無功功率；Gij和Bij分別為變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣（6×6 的復(fù)數(shù)矩陣）第i行、第j列元素的實(shí)部與虛部；ki表示變壓器端子i是否接地，ki=0 表示接地，ki=1 表示不接地。

式（3）中 存 在 非 線 性 項(xiàng)UiUjcosθij和UiUjsinθij，根據(jù)1.1 節(jié)給定的線性近似原理可得：

所以變壓器節(jié)點(diǎn)注入功率的線性表達(dá)式為：

1.3 三角形恒功率負(fù)荷線性化模型

電動(dòng)機(jī)是中低壓配電網(wǎng)中常見的三角形恒功率負(fù)荷。為了在優(yōu)化潮流中考慮三角形恒功率負(fù)荷，本文根據(jù)圖1 所示模型給出了其線性潮流方程。

圖1 三角形恒功率負(fù)荷模型Fig.1 Model of triangular constant power load

三角形恒功率負(fù)荷的負(fù)荷電流為：

由此可以得到三角形恒功率負(fù)荷節(jié)點(diǎn)等效注入功率的線性方程為：

式中：系數(shù)α=(1/2)-j 3 /6，β=(1/2)+j 3 /6。

1.4 DG 線性化模型

本文采用文獻(xiàn)［28］描述的DG 模型，DG 滿足結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)稱的特點(diǎn)，采用序分量描述更方便。具體建模詳見附錄B，下面給出DG 的線性潮流約束。

1.4.1 零序分量

由于DG 采用三角形變壓器隔離零序電流，所以零序電流為零，則DG 的零序電流方程如式（14）和式（15）所示。設(shè)共有s個(gè)節(jié)點(diǎn)與DG 相連，則DG節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是一個(gè)3×3(s+1)的復(fù)數(shù)矩陣。公式推導(dǎo)詳見附錄C 第C1 章。

式中：ρ取a、b、c，表示a、b、c 相；和分別為DG節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣第i行、第j列元素的實(shí)部與虛部；=-θj為DG 所連 母 線i的a 相 相 角與θj的相角差。

1.4.2 負(fù)序分量

如果DG 不增加負(fù)序電流控制，負(fù)序電壓和電流的關(guān)系呈負(fù)荷阻抗特性，可表示為阻抗方程。DG負(fù)序電流約束及線性化公式的推導(dǎo)詳見附錄C 第C2 章，最終得到的DG 負(fù)序電流約束線性表達(dá)式為：

觀察兩組患者的治療效果，觀察兩組患者的護(hù)理滿意度及生活質(zhì)量。生活質(zhì)量采用SF-36量表評(píng)分，得分越高，生活質(zhì)量越高。

1.4.3 三相總加功率

配電網(wǎng)中DG 在優(yōu)化潮流中的三相總加有功和無功功率都可控，總加功率方程如式（22）、式（23）所示，詳細(xì)的公式推導(dǎo)見附錄C 第C3 章。

1.5 線性化模型

基于配電網(wǎng)物理特性得到的線性潮流方程可表示為：

式中：y為已知量，即最優(yōu)潮流問題中的變量；x為狀態(tài)變量；Pabc和Qabc分別為三相有功和無功功率向量；和分別為平衡節(jié)點(diǎn)的三相電壓幅值和相角向量；Pdg和Qdg分別為DG 總加有功和無功功率向量；Uabc和θabc分別為三相電壓幅值和相角列向量；A和B分別為線性潮流方程的系數(shù)矩陣和常系數(shù)矩陣。

1.6 線性化方法適用性的討論

在常用的線性化模型中，文獻(xiàn)［13］通過復(fù)平面內(nèi)的電壓線性近似得到可以處理ZIP 負(fù)荷的線性潮流模型；文獻(xiàn)［14］利用電壓幅值的對(duì)數(shù)變換，通過對(duì)支路潮流的近似分析得到包含分接頭和移相器的線性潮流模型；文獻(xiàn)［19］中提出的極坐標(biāo)系下的線性潮流模型可以處理星形和三角形連接的ZIP 負(fù)荷以及三相DG 等模型；文獻(xiàn)［29］通過泰勒一階展開得到可以處理各種類型DG 的線性潮流模型。但以上線性模型中均存在功率乘電壓項(xiàng)，不適用于功率為變量的優(yōu)化潮流建模。文獻(xiàn)［30］采用基于庫普曼算法的升維思想，通過提升維度來提高線性化模型的精度，但如果節(jié)點(diǎn)功率為待求變量，則潮流約束為非線性函數(shù)，故無法適用于優(yōu)化潮流問題。

在已知的適用于優(yōu)化潮流的線性化方法中，文獻(xiàn)［20］提出的線性化模型雖然可以處理三角形連接的恒功率負(fù)荷模型，但未考慮DG 模型，適用性不足；文獻(xiàn)［22］中的Lin3DistFlow 線性潮流模型無法處理DG 和三相變壓器模型；文獻(xiàn)［26］提出的線性化方法未考慮到DG 模型；文獻(xiàn)［27］中的線性化方法無法處理三角形連接的恒功率負(fù)荷和DG 模型。

相比于其他線性化方法，本文基于配電網(wǎng)物理特性得到的線性化模型完全適用于優(yōu)化潮流問題，且對(duì)三相不平衡系統(tǒng)有更好的適用性，可以處理各種連接方式的變壓器和負(fù)荷以及DG 三相模型。

2 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)

當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)為重載時(shí)，電壓幅值遠(yuǎn)離參考電壓（1.0 p.u.），此時(shí)基于配電網(wǎng)物理特性得到的線性潮流方程在用于優(yōu)化潮流時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。因此，本文通過在線性潮流模型中加入線性化誤差來修正線性潮流方程，從而提高計(jì)算精度。而潮流方程的誤差同樣具有高度的非線性特征，本文通過PLS 回歸的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法獲得線性化誤差Δy的模型。

式中：C和D分別為通過PLS 回歸得到的系數(shù)矩陣和常系數(shù)矩陣；ΔPabc和ΔQabc分別為三相有功和無功功率的線性化誤差向量；ΔPdg和ΔQdg分別為DG有功和無功功率的線性化誤差向量；y′為系統(tǒng)中的三相負(fù)荷列向量；和分別為非零三相有功和無功功率列向量。

2.1 數(shù)據(jù)的獲取

本文設(shè)定訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)可以通過2 種方法獲得。

1）交流潮流模型

當(dāng)系統(tǒng)線路參數(shù)已知時(shí)，可以基于交流潮流模型生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測(cè)試數(shù)據(jù)集。設(shè)系統(tǒng)的初始有功和無功負(fù)荷向量為和，共需要生成m組樣本數(shù)據(jù)，則系統(tǒng)三相負(fù)荷可按照如下方式隨機(jī)生成：

2）從量測(cè)數(shù)據(jù)獲得

隨著高級(jí)量測(cè)體系（AMI）的部署和微同步相量測(cè)量單元（MicroPMU）等量測(cè)設(shè)施的應(yīng)用，可以從歷史測(cè)量數(shù)據(jù)中獲得足夠的數(shù)據(jù)用于PLS 回歸。

2.2 自變量集和因變量集的生成

設(shè)共有m組樣本數(shù)據(jù)，其中包含節(jié)點(diǎn)負(fù)荷、三相電壓幅值和相角，上標(biāo)“^”表示已知量。第m組節(jié)點(diǎn)負(fù)荷構(gòu)成自變量集R，即R=[]。將樣本數(shù)據(jù)代入線性潮流方程求解 可 得 到 因 變 量 集Z=[]，其 中為求得的第m組誤差修正項(xiàng)。

2.3 回歸系數(shù)的求解

在PLS 回歸中，為輸入變量和預(yù)測(cè)變量提取彼此之間協(xié)方差最大的正交列向量對(duì)集。這些向量進(jìn)一步用于獲得輸入變量和預(yù)測(cè)變量之間的線性關(guān)系。

在得到自變量集和因變量集后，將數(shù)據(jù)集標(biāo)準(zhǔn)化后可得：

式中：R*和Z*分別為標(biāo)準(zhǔn)化后的自變量集和因變量集；和SR分別為自變量集R的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；和SZ分別為因變量集Z的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

式中：β為通過PLS 回歸求得的回歸系數(shù)矩陣。

最終的數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)的線性潮流方程為：

2.4 誤差的線性化模型精度

誤差的線性化模型精度決定了數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)線性化模型的精度。文獻(xiàn)［30-31］證明可通過提升維度來提高線性化模型的精度。本文所采用的線性化誤差模型中，狀態(tài)變量為系統(tǒng)中的非零負(fù)荷列向量，每個(gè)誤差均由所有非零負(fù)荷線性表達(dá)，即采用更多維信息描述誤差，可顯著提高線性化誤差模型的精度。隨著系統(tǒng)規(guī)模擴(kuò)大、系統(tǒng)中的負(fù)荷增多、線性化誤差模型的維數(shù)增大，線性化誤差模型的精度也會(huì)增大。為了說明誤差線性化模型的維度對(duì)整體線性化模型精度的影響，設(shè)計(jì)了一個(gè)三相不平衡的3 節(jié)點(diǎn)輻射狀系統(tǒng)，該系統(tǒng)參數(shù)見附錄D 第D1 章。系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見附錄D 圖D1。圖中，節(jié)點(diǎn)1 為平衡節(jié)點(diǎn)，電壓幅值恒為1 p.u.，節(jié)點(diǎn)2 處bc 兩相和節(jié)點(diǎn)3 接有負(fù)荷。

設(shè)有30 組訓(xùn)練樣本，各節(jié)點(diǎn)誤差的線性表達(dá)式為：

圖2 的結(jié)果表明，隨著維度的提升，線性化模型的精度也逐漸提高。

圖2 線性化精度與維度的關(guān)系Fig.2 Relationship between linearization precision and dimension

3 算例分析

3.1 基準(zhǔn)模型

本文通過測(cè)試以下5 種線性化模型進(jìn)行精度比較。

M1：本文提出的數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)的線性潮流模型。

M2：本文第1 章中給出的基于配電網(wǎng)物理特性得到的三相線性潮流模型。

M3：文獻(xiàn)［20］中提出的適用于配電系統(tǒng)強(qiáng)化學(xué)習(xí)訓(xùn)練的線性潮流模型，該方法以電壓幅值的對(duì)數(shù)函數(shù)和相角作為狀態(tài)變量。

M4：文獻(xiàn)［27］中提出的基于經(jīng)典電流注入法的數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)三相線性潮流模型，以電壓實(shí)、虛部作為狀態(tài)變量。

M5：文獻(xiàn)［22］中提出的適用于三相不平衡系統(tǒng)的Lin3DistFlow 線性化潮流模型，以電壓幅值的平方和支路功率作為狀態(tài)變量。

3.2 評(píng)估框架

通過所有測(cè)試算例中的支路功率和節(jié)點(diǎn)電壓幅值的AAE 和MAE 比較線性化模型的精度。其中，AAE 的表達(dá)式為：

式中：N為所有測(cè)試算例中的變量數(shù)；yn為第n個(gè)變量的真實(shí)值；為用線性潮流模型計(jì)算得到的第n個(gè)變量的線性值。

3.3 精度對(duì)比

選用IEEE 13 節(jié)點(diǎn)、34 節(jié)點(diǎn)、37 節(jié)點(diǎn)和123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行算例測(cè)試，算例的訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本數(shù)分別設(shè)置為100、200、200 和600 組［19］，4 個(gè)算例均設(shè)置為重載。訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)中的負(fù)荷在初始負(fù)荷的90%～110%內(nèi)隨機(jī)變化。所有算例的測(cè)試數(shù)據(jù)均設(shè)為900 組。最終求得4 個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的電壓幅值、支路功率的AAE 和MAE 分別如表1 和表2 所示。

表1 AAE 對(duì)比Table 1 Comparison of AAEs

表2 MAE 對(duì)比Table 2 Comparison of MAEs

由表1 和表2 可知，所提三相潮流線性化方法的AAE 和MAE 至少比其他4 種線性化方法的結(jié)果低一個(gè)數(shù)量級(jí)。

3.4 模型在大規(guī)模系統(tǒng)中的效果驗(yàn)證

當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模更大時(shí)，分析所提線性潮流模型的適用性。選用改進(jìn)的IEEE 8 500 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，PLS 回歸訓(xùn)練數(shù)據(jù)生成方式與上述IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)相同。由于系統(tǒng)規(guī)模更大，為了保證計(jì)算結(jié)果的精度，采用3 000 組訓(xùn)練數(shù)據(jù)用于PLS 回歸擬合求誤差修正項(xiàng)。將系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)設(shè)置為輕載和重載2 種狀態(tài)，重載即對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的極端運(yùn)行條件，部分節(jié)點(diǎn)的電壓幅值降至0.75 p.u.附近，因?yàn)殡妷悍颠h(yuǎn)離參考電壓（1.0 p.u.），此時(shí)交流潮流模型具有高度非線性特征，所以物理模型驅(qū)動(dòng)的線性潮流方程具有較大誤差。誤差對(duì)比和分布分別如表3 和圖3 所示。

表3 IEEE 8 500 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)線性化誤差對(duì)比Table 3 Comparison of linearization errors in IEEE 8 500-bus system

圖3 IEEE 8 500 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)三相電壓幅值線性化誤差分布Fig.3 Linearization error distribution of three-phase voltage amplitude in IEEE 8 500-bus system

表3 和圖3 的結(jié)果表明，在輕載和重載2 種運(yùn)行狀態(tài)下，所提線性化方法電壓幅值的AAE 和MAE相較于線性化模型M2 和M4 的結(jié)果，至少低2 個(gè)數(shù)量級(jí)。在系統(tǒng)重載時(shí)，所提線性化方法的電壓幅值的MAE 僅為3.93×10-5，比線性化方法M2 和M4的結(jié)果低3 個(gè)數(shù)量級(jí)，這表明所提線性化方法適用于運(yùn)行狀態(tài)為重載時(shí)的大規(guī)模系統(tǒng)優(yōu)化潮流。

3.5 模型適用性分析

選用改進(jìn)的IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行模型適用性分析，其系統(tǒng)拓?fù)淙绺戒汥 圖D2 所示。節(jié)點(diǎn)13 處的負(fù)荷類型為三角形恒功率負(fù)荷；節(jié)點(diǎn)12 處加入DG；節(jié)點(diǎn)5 和節(jié)點(diǎn)6 之間加入一臺(tái)DYn11 變壓器，以變壓器兩側(cè)的相電壓為電壓基準(zhǔn)值，可得變壓器的標(biāo)幺值變比為 3 ∶1，其標(biāo)幺值變比求解過程詳見附錄D 第D2 章。由于M3 至M5 均無法考慮DG，本文僅與M2 進(jìn)行精度對(duì)比。2 種線性化方法的電壓幅值絕對(duì)誤差如圖4 所示。

圖4 改進(jìn)的IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)電壓幅值絕對(duì)誤差Fig.4 Absolute errors of voltage amplitude in improved IEEE 13-bus system

圖4 的結(jié)果表明，所提線性化方法的精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于線性化模型M2，所提方法的MAE 僅為2.91×10-5，AAE 比M2 的 結(jié) 果 低3 個(gè) 數(shù) 量 級(jí)。這 表 明 所提線性化模型適用于含變壓器、DG 和三角形恒功率負(fù)荷的系統(tǒng)，具有很強(qiáng)的適用性。

3.6 訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)線性化精度的影響

為了測(cè)試訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)中負(fù)荷隨機(jī)變化范圍對(duì)數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)線性化方案精度的影響，以IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，在以下3 種場(chǎng)景下生成三相隨機(jī)負(fù)荷。

場(chǎng)景1：負(fù)荷隨機(jī)變化范圍為初始負(fù)荷的90%～100%。

場(chǎng)景2：負(fù)荷隨機(jī)變化范圍為初始負(fù)荷的85%～115%。

場(chǎng)景3：負(fù)荷隨機(jī)變化范圍為初始負(fù)荷的80%～120%。

根據(jù)2.1 節(jié)中的方法獲得所需的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)，得到3 種場(chǎng)景下IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的誤差分布如圖5 所示。結(jié)果表明，隨著擬合數(shù)據(jù)中負(fù)荷變化范圍的擴(kuò)大，所提線性化方法的精度會(huì)降低，這是因?yàn)殡S著負(fù)荷變化范圍的增大，誤差修正項(xiàng)與各節(jié)點(diǎn)負(fù)荷之間的相關(guān)性降低。

圖5 IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)線性化誤差分布Fig.5 Linearization error distribution of IEEE 13-bus system

進(jìn)一步將負(fù)荷隨機(jī)變化范圍設(shè)置在初始負(fù)荷的70%～130%之間隨機(jī)變化，采用IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)測(cè)試，訓(xùn)練數(shù)據(jù)仍設(shè)置為100 組，最終得到本文所提線性化方法與線性化模型M4 的電壓幅值誤差對(duì)比如圖6 所示。結(jié)果表明，當(dāng)擬合數(shù)據(jù)中負(fù)荷變化范圍較大時(shí)，所提線性化方法的精度仍然高于M4，而M4 是除所提方法以外精度最高的一種線性化方法。

圖6 IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)電壓幅值絕對(duì)誤差Fig.6 Absolute error of voltage amplitude in IEEE 13-bus system

3.7 訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本數(shù)對(duì)線性化精度的影響

本文所提線性化方法在利用PLS 回歸獲取誤差的線性化模型時(shí)，只需要少量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本即可獲得精度較高的結(jié)果。選用IEEE 13 節(jié)點(diǎn)、IEEE 34 節(jié)點(diǎn)、IEEE 37 節(jié) 點(diǎn)、IEEE 123 節(jié) 點(diǎn) 和IEEE 8 500 節(jié)點(diǎn)算例進(jìn)行測(cè)試，負(fù)荷變化范圍設(shè)置與3.3 節(jié)相同，只用少量訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本擬合求誤差的線性化模型，設(shè)系統(tǒng)可接受的最大AAE 為5×10-4，最大MAE為1×10-3，最終得到各算例線性化精度和訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本數(shù)的關(guān)系如表4 所示。

表4 各算例PLS 回歸所需的最小樣本數(shù)Table 4 The minimum number of samples required for PLS regression in each case

表4 結(jié)果表明，本文的線性化方法可以用較少的訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本獲得精度足夠的線性化誤差模型。

4 結(jié)語

本文提出了一種適用于配電系統(tǒng)優(yōu)化問題的數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)型的線性化方法。使用PLS 回歸擬合得到誤差與節(jié)點(diǎn)負(fù)荷的線性關(guān)系，再將求得的線性化誤差模型加入基于配電網(wǎng)物理特性得到的線性潮流模型，最終得到數(shù)據(jù)物理融合驅(qū)動(dòng)的線性潮流模型。

算例結(jié)果表明，所提線性化方法精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他線性潮流模型，在系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)為重載時(shí)也能保持較高的求解精度，并且能夠應(yīng)用于含變壓器、三角形恒功率負(fù)荷和DG 的配電網(wǎng)優(yōu)化潮流問題。

后續(xù)還將對(duì)該線性化模型在交直流混聯(lián)系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度、中低壓配電網(wǎng)規(guī)劃等領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

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