◎馮軍剛 朱彥通(西安石油大學(xué)機械學(xué)院,陜西 西安 70065;卡內(nèi)基梅隆大學(xué),賓夕法尼亞州 匹茲堡 5)

1 引 言

在后文參考文獻(xiàn)[1]中，已經(jīng)出現(xiàn)了“pn階準(zhǔn)素數(shù)模型”的雛形，只是沒有系統(tǒng)地建立過該模型，且因其中的誤差項，對誤差界值論證過粗、估計過大、嚴(yán)重失真，致使該式失去了定量計算的意義，從而使該式一直被束之高閣.該式實際上就是計算不大于x的pn階準(zhǔn)素數(shù)數(shù)目πn(x)的上、下限的.其原型是：

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在該式中：π(y)表示不大于y的素數(shù)的個數(shù)，本文設(shè)其為n，并將第n個素數(shù)記為pn，那么，π(y)便可用n取代；1+Φ(x;y)表示的是[0,x]上，篩去含有不大于y的素數(shù)因子的合數(shù)，所存留下來的正整數(shù)(本文稱之為 “pn階準(zhǔn)素數(shù)”)的個數(shù).于是，式(1)便被表示為：

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2 pn階準(zhǔn)素數(shù)模型的特性簡述

圖1 [0,30]上的素數(shù)篩網(wǎng)示意圖和素數(shù)元素分布圖

圖2 p3階準(zhǔn)素數(shù)第一個周期上的三層篩網(wǎng)示意圖和準(zhǔn)素數(shù)的分布圖

圖3 (1)階梯線π3(x)—A ；(2)直線(3)折線

π(x)=πn(x)+(n-1)；

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3 以素數(shù)“前密后疏”為鏡鑒，證明誤差δn(x)不大于n

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4 pn階準(zhǔn)素數(shù)模型的應(yīng)用舉例

4.1 定量計算素數(shù)數(shù)目π(x)的上、下限及其底線，證明素數(shù)數(shù)目的無窮性

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4.2 雙篩計算“特定素數(shù)對”數(shù)目λ(x)及其底線，具結(jié)相關(guān)課題之證明

對于“單合數(shù)對”而言，這恰好將其減去了1次.但對于“雙合數(shù)對”而言，它卻被減去了2次，多減了1次.雙篩計算的結(jié)果，一般只能是“雙素數(shù)對”數(shù)目的不足近似值,只有x較小、“特定準(zhǔn)素數(shù)對”中不存在“雙合數(shù)對”時，才能更貼近真值.

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4.2.1 計算“和等于偶數(shù)x的特定素數(shù)對”：“1+1”的數(shù)目λ1(x)的底線，證明任意偶數(shù)一定存在“素分割對”

(12)

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根據(jù)文獻(xiàn)[1]第379頁定理5的結(jié)論，當(dāng)x→∞時，則有：

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式(12)(15)證明：對于任意偶數(shù)x，其素分割對“1+1”的數(shù)目的底線是x的遞增函數(shù)；x足夠大以后的任意偶數(shù)，都一定有素分割對“1+1”存在.

4.2.2計算差等于2的特定素數(shù)對——孿生素數(shù)在[0,x]上的數(shù)目λ2(x)的底線，證明孿生素數(shù)的無窮性

奇數(shù)序列雖是篩選“1+1”的“雙篩始序列”，但并非篩選“孿生素數(shù)對”的“雙篩始序列”.因為每個奇數(shù)與其前后緊鄰的兩個奇數(shù)，都構(gòu)成了“孿生奇數(shù)對”，它們顯然不是相互獨立的，篩掉中間這個奇數(shù)，就篩掉了兩對“孿生奇數(shù)對”，而“雙篩計算”卻只減掉了一對.用p2階篩網(wǎng)繼續(xù)單篩奇數(shù)序列，所得的p2階準(zhǔn)素數(shù)序列，才是篩選“孿生素數(shù)對”恰當(dāng)?shù)摹半p篩始序列”.因為p2階準(zhǔn)素數(shù)周期為6，每個周期內(nèi)只有兩個準(zhǔn)素數(shù)元素，分別緊挨著前后端點.如此每個p2階周期端點兩側(cè)的兩個準(zhǔn)素數(shù)(如5和7)，皆構(gòu)成了一對獨立的、差為2的“孿生準(zhǔn)素數(shù)對”.所以，用λ2(x)表示差為2的“孿生素數(shù)對”的數(shù)目，在式(11)中，代入雙篩起始序號k=3，得：

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