◎辛蘭萍(山東省聊城市第一實驗學校，山東 聊城 252800)

數(shù)學核心素養(yǎng)倡導(dǎo)自主、合作、探究學習，注重學生的學習過程，要求學生參與特定的數(shù)學活動，并在具體的情境中，通過觀察、實驗、推理等活動發(fā)現(xiàn)對象的某些特征與其他對象的區(qū)別與聯(lián)系.美國著名的哲學家、教育家杜威認為：知識的獲得不是個體旁觀的過程，而是探究的過程，探究是主體在與某種不確定的情景相聯(lián)系時所產(chǎn)生的解決問題的行動.在行動中，知識不是存在于旁觀者的被動的理解中，而是表現(xiàn)為主體對不確定情景的積極反應(yīng).知識是個體主動探究的結(jié)果.”數(shù)學實驗課的實質(zhì)是：教師創(chuàng)設(shè)實驗問題情景，學生自己動手操作，把靜態(tài)的灌輸學習轉(zhuǎn)化為動態(tài)的數(shù)學探究，利用計算機等媒介，以數(shù)學理論為原理，以數(shù)學素材為對象，通過數(shù)值分析、圖形演示等來實例分析，開展探究性問題的教與學.下面本文以“雙曲線與直線的位置關(guān)系”為例開展數(shù)學實驗課.

一、課前準備

教師給每臺電腦安裝好GeoGebra，并對學生進行必要的技術(shù)培訓(xùn)，制作實驗報告單(如下表).

實驗名稱雙曲線與直線的位置關(guān)系實驗地點、人員指導(dǎo)教師日期實驗器材電腦(每個同學一臺)、希沃電子白板、希沃助手、Geo-Gebra等實驗原理:在數(shù)學實驗環(huán)境下,利用GeoGebra平臺創(chuàng)建過定點直線系,通過改變滑動條,觀察雙曲線與直線相離、相切、相交的位置關(guān)系,應(yīng)用運動變化的觀點,從特殊到一般,結(jié)合以數(shù)論形、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想總結(jié)出雙曲線與直線的位置關(guān)系實驗步驟:(1)學生打開GeoGebra和教師同步作圖;(2)繪制雙曲線x2a2-y2b2=1及直線y=kx+b的圖像;(3)通過創(chuàng)建滑動條k,改變直線的斜率,探索直線y=kx(過原點的直線系)與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時滿足的條件;(4)通過滑動條,改變直線的斜率,探究直線y=k(x-2a)[過雙曲線張口內(nèi)部定點(2a,0)的直線]與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時滿足的條件;(5)通過滑動條k,改變直線的斜率,探究直線y=kx-1[過定點(0,1)的直線系]與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時滿足的條件;(6)應(yīng)用運動變化的觀點,從特殊到一般,借助數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想總結(jié)出雙曲線與直線的位置關(guān)系

實驗數(shù)據(jù)處理表(一)斜率交點個數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系實驗數(shù)據(jù)處理表(二)斜率交點個數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系實驗數(shù)據(jù)處理表(三)斜率交點個數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系實驗心理體會:

二、教學過程

1.借助信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)實驗問題情景，教師播放雙曲線與直線的動態(tài)圖像并提出問題

問題1：根據(jù)動畫演示，觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線與直線有幾種位置關(guān)系？分別從什么角度來判斷？

圖1

學生1：通過觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線與直線有三種位置關(guān)系，分別是相離、相切、相交.

教師：這位同學從直觀上得到了三種位置關(guān)系，回答得非常正確.

問題2：還有其他的判定雙曲線與直線的位置關(guān)系的方法嗎？

學生2：將雙曲線與直線方程聯(lián)立得到方程組，消去一元，得另一元的二次方程，然后根據(jù)其判別式的符號判定相離、相切、相交.

教師：這位同學從代數(shù)(方程)的角度類比橢圓與直線的位置關(guān)系的判定方法，回答得非常棒，掌聲鼓勵.兩位同學分別從幾何圖形、代數(shù)方程的角度對問題進行了闡述.下面老師指導(dǎo)同學們通過作圖進行下面的實驗探究，并填寫相應(yīng)的實驗報告單.

2.實驗探究，小組合作交流，實驗成果展示

教師選一名同學將其電腦桌面投屏到希沃電子白板演示其操作，并進行總結(jié)發(fā)言.(自主探究、小組交流、成果展示)

圖2

圖3

當滑動條k=0.2和k=1.7的時候，我們分別得到上面兩種情況，將其推廣到一般情況，并填寫實驗報告單(一).

實驗數(shù)據(jù)處理表(一)斜率交點個數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系|k|≥ba無交點相離|k|

教師將上述直線的定點變化為雙曲線張口區(qū)域內(nèi)的點，以點(2a，0)為例進行下面的實驗探究.

2.2 探究直線y=k(x-2a)[過雙曲線張口內(nèi)部定點(2a，0)的直線系]與雙曲線相離、相切、相交時滿足的條件

根據(jù)第一個實驗操作步驟，同學們通過滑動條k的變化，很容易完成下面的實驗報告單.

教師：在指令欄輸入直線方程y=k(x-2a)，表示過定點(2a，0)的直線系，創(chuàng)建滑動條k，通過播放動畫演示，觀察兩者位置變化，并完成下列實驗報告單(二).(自主探究、小組交流、成果展示)

圖4

圖5

圖6

實驗數(shù)據(jù)處理表(二)斜率交點個數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系|k|=ba一個交點相交(直線與漸近線平行)|k|ba兩個相交(交點位于同一支上)

教師將上述直線的定點變化為雙曲線張口外的兩漸近線之間的點，以此為例進行下面的實驗探究.

2.3 探究直線y=kx-1[過定點(0，1)的直線系]與雙曲線相離、相切、相交時滿足的條件

教師：下面請大家將滑動條m調(diào)到m=1，通過滑動條改變k的數(shù)值，觀察雙曲線與直線的位置關(guān)系，將實驗結(jié)果填入實驗報告單.

教師選一名同學將其電腦桌面投屏到希沃電子白板，并演示其操作，同時進行總結(jié)發(fā)言.由上面的實驗操作，同學們很快觀察到雙曲線漸近線的作用，并能夠操作發(fā)現(xiàn)位置關(guān)系的變化規(guī)律.

圖7

圖9

圖10

當滑動條k=1、k=0.5、k=2.1時分別得到上面三種情況.學生通過動手操作，移動滑動條，不但發(fā)現(xiàn)了直線與雙曲線的漸近線平行時，兩者相交，交點只有一個，而且有同學發(fā)現(xiàn)了上面的第四種情況，直線與雙曲線相切的時候，先預(yù)設(shè)ko，小組合作交流，勇于發(fā)言，同學們提出聯(lián)立方程組可以求出相切時的直線斜率，課堂上同學們通過如下推導(dǎo)：

消元并整理得(1-k2)x2+2kx-5=0

學生由此得到過定點(0，1)的直線與雙曲線相切時的情況.還有同學觀察到當交點有兩個時的相交情況有兩種：兩交點分別在雙曲線的兩支上和兩交點都在雙曲線的同一支上.教師引導(dǎo)學生，點擊交點選項，作出直線與雙曲線的交點，通過啟動滑動條k的動畫演示，進一步明確了過定點(0，1)的直線系與雙曲線的位置關(guān)系，引導(dǎo)學生將此結(jié)論推廣到一般的過定點(0，m)的直線系y=kx+m與雙曲線的位置關(guān)系，并將結(jié)論填入實驗報告單(三).

3.教師引導(dǎo)學生進行課堂總結(jié)(實驗心理體會)

(1)雙曲線與直線的位置關(guān)系判斷方法：

①通過畫圖像觀察，特別注意三種特殊位置關(guān)系，與坐標軸平行、與漸近線平行、與雙曲線相切的情況，通過動態(tài)變化，判斷其位置關(guān)系.

②聯(lián)立方程組，特別注意消元整理后得到的一元二次方程的二次項系數(shù)含有參數(shù)，需要對二次項系數(shù)進行討論，然后根據(jù)判別式的情況來判斷交點情況.

(2)直線與曲線相交并不一定有兩個交點，交點只有一個并不一定是相切關(guān)系.

(3)體會到從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想.

(4)通過動手實驗操作，發(fā)現(xiàn)數(shù)學是很有趣的.

三、教學反思

1.立足核心素養(yǎng)，反思學生發(fā)展

教師要踐行生態(tài)課堂，尊重知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律，尊重學生的認知規(guī)律.在研究雙曲線與直線的位置關(guān)系時，學生從特殊位置到一般情況，腦中有圖形，再結(jié)合代數(shù)方程思想研究相切情況；應(yīng)用運動的觀點，將兩者雜而亂的位置關(guān)系整理得非常清晰，從而降低了難度，并且通過親自動手操作，勇于探究實驗，思考與動手操作的積極性非常高，這節(jié)課收獲頗多.圖像上的直觀感受，再加上代數(shù)方程方面的計算，使同學們對錯綜復(fù)雜的雙曲線與直線的位置關(guān)系有了進一步的認識和提高.本節(jié)數(shù)學實驗課充分調(diào)動了同學們學習數(shù)學的積極性，提高了學生運用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想方法的自覺性，并且進一步發(fā)展了學生思維的嚴密性和靈活性.

2.立足學生生成，反思教學設(shè)計

本節(jié)“雙曲線與直線的位置關(guān)系”數(shù)學實驗課的教學與探索，教師在實驗操作、探究問題、合作交流的過程中不但培養(yǎng)了學生動手操作、細致觀察的能力，而且培養(yǎng)了學生的表達能力和數(shù)學概括能力，以及質(zhì)疑問題和獨立解決問題的數(shù)學核心素養(yǎng).在學生獨立計算過程中，學生情緒飽滿，思維活躍，并不是被動地去接受新知，而是非常積極主動地去探索新知，筆者認為這是本節(jié)實驗課最成功的地方.

3.數(shù)形結(jié)合與深度學習

華羅庚先生說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”學生在數(shù)和形兩方面同時把握，不僅有直觀的想象，更有深刻的理解、深入的思維和深切的體驗.比如在探究中，教師通過GGB展示，讓學生能夠直觀想象，然后通過推理求證得出具體的數(shù)值，合情合理，有理有據(jù)，深入人心.

4.不足之處，反思理念改革

筆者認為本節(jié)課的教學過程還有不足的地方，主要在于學生在對GeoGebra軟件的操作上有些難度.我認為這并不是障礙，對于這種既方便又容易操作的數(shù)學軟件，本節(jié)課只是起到拋磚引玉的作用，隨著逐步的學習，學生應(yīng)該很容易熟練操作.本節(jié)課研究過定點直線系的定點屬于下面的前兩類點，后面的兩種情況由同學們課下探究.

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