◎李紹妹 崔永宏(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650000)

作為高考?jí)狠S題的圓錐曲線問(wèn)題具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性與區(qū)分度,備受教師與學(xué)生關(guān)注.筆者對(duì)2021年高考理科數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題進(jìn)行分析，希望給2022年考生提供參考.

一、試題統(tǒng)計(jì)

2021年高考理科數(shù)學(xué)共 8份試題,對(duì)圓錐曲線大題簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)如下:

試卷類(lèi)型模型主要問(wèn)題題型歸類(lèi)特征條件研究對(duì)象新高考Ⅰ卷兩條直線與雙曲線相交兩直線斜率天津卷橢圓與直線相交滿足特征條件的直線定值定點(diǎn)類(lèi)直線x=12,直線AB,PQ;TA·TB=TP·TQ距離公式;向量公式;參數(shù)方程;斜率;極點(diǎn)極線;二次曲線系M:直線與橢圓唯一公共點(diǎn);N:直線與y軸正半軸交點(diǎn);P:過(guò)N與BF垂直直線與x軸交點(diǎn);MP∥BF向量公式;二次函數(shù)零點(diǎn)新高考Ⅱ卷一條直線與圓相切,與橢圓相交證明橢圓焦點(diǎn)在過(guò)直線與拋物線交點(diǎn)的直線上;距離為定值全國(guó)甲卷·理/文多條直線與圓相切,與拋物線相交討論過(guò)直線與拋物線交點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系上海卷一條直線與橢圓相交證明符合特征條件的直線唯一證明類(lèi)點(diǎn)M,N在C上;直線MN與圓相切點(diǎn)到直線距離公式;距離公式點(diǎn)A1,A2,A3在C上;直線A1A2,A1A3均與圓相切直線兩點(diǎn)式;同解變形理論;直線x=my+nF1A→·F2A→=13;kBF2=kAF1向量公式;斜率全國(guó)乙卷·理拋物線阿基米德三角形三角形面積最大值全國(guó)乙卷·文拋物線與直線相交斜率最值浙江卷三條直線與拋物線相交直線截距范圍北京卷橢圓與直線相交斜率范圍最值范圍類(lèi)切點(diǎn)A,B;切線PA,PB直線斜截式;距離公式;同解變形理論點(diǎn)P在C上,PQ→=9QF→斜率;圖像交點(diǎn)?函數(shù)零點(diǎn)NR2=NP·PQ距離公式;向量公式P(0,3),B,C為直線與橢圓交點(diǎn);M,N為AB,AC與y=-3交點(diǎn);PM+PN≤15二次函數(shù)零點(diǎn);距離公式

上述圓錐曲線大題可以進(jìn)一步歸為三大類(lèi)：

1.計(jì)算類(lèi)問(wèn)題：全國(guó)甲卷、天津卷、上海卷.

2.定值定點(diǎn)問(wèn)題：新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷.

3.最值范圍問(wèn)題：全國(guó)乙卷、浙江卷、北京卷.

二、計(jì)算類(lèi)問(wèn)題切入點(diǎn)1 直線方程之巧妙代換

直線方程有五種表示形式，待定系數(shù)法不是唯一選擇，我們通過(guò)直線的幾何意義可快速找到其代數(shù)方程.

例1全國(guó)甲卷理科第2問(wèn) 拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線l：x=1交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0),且⊙M與l相切.設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

切入點(diǎn)2 設(shè)定點(diǎn)之設(shè)而不求

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),以點(diǎn)的坐標(biāo)為未知量,轉(zhuǎn)化條件,建立等式,替換掉點(diǎn)的坐標(biāo)得到結(jié)果.

例2全國(guó)甲卷理科第2問(wèn)

三、定值定點(diǎn)問(wèn)題切入點(diǎn)1 設(shè)而不求

切入點(diǎn)2 參數(shù)方程

當(dāng)以直線形式表示題目已知條件比較困難時(shí),我們不妨將直線方程寫(xiě)成參數(shù)方程形式.

例4新高考Ⅰ卷第2問(wèn)

切入點(diǎn)3 二次曲線系

圓錐曲線系在解決曲線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)可大大簡(jiǎn)化計(jì)算,有令人意想不到的效果.

例5新高考Ⅰ卷第2問(wèn)

由圓冪定理逆定理知：|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即A,B,P,Q四點(diǎn)共圓.因此,過(guò)A,B,P,Q的二次曲線系中xy項(xiàng)系數(shù)為0,得k1+k2=0.

四、最值范圍問(wèn)題

我們可將已知條件轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)、基本不等式,需要特別注意的是自變量范圍問(wèn)題.

切入點(diǎn)1 直線方程之設(shè)而不求

例6全國(guó)乙卷理科第2問(wèn) 已知拋物線C：x2=2py(p>0)焦點(diǎn)為F,且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離最小值為4.若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

切入點(diǎn)2 阿基米德三角形

例7全國(guó)乙卷理科第2問(wèn)

切入點(diǎn)3 設(shè)定點(diǎn)設(shè)而不求

例8浙江卷第2問(wèn) 已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),|MF|=2.設(shè)過(guò)點(diǎn)F直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若斜率為2的直線l與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點(diǎn)P,Q,R,N,且滿足|RN|2=|PN|·|QN|,求直線l在x軸上截距的取值范圍.

注：本題可將直線方程設(shè)為y=2(x-m),直接求得m的范圍.

五、建 議

基于2021年圓錐曲線解答題特點(diǎn),本文提出以下幾點(diǎn)建議.

(1)加強(qiáng)學(xué)生解析幾何思想的培養(yǎng).解析幾何思想基本思路是圓錐曲線的破題之道,模式相對(duì)固定,應(yīng)多多練習(xí).學(xué)生對(duì)幾何圖形分析得越徹底，思路越清晰，解答過(guò)程越簡(jiǎn)潔.

(2)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).圓錐曲線解答的核心過(guò)程是數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，運(yùn)算能力至關(guān)重要.

(3)加強(qiáng)學(xué)生代數(shù)技巧、換元思想、不等式方法的培養(yǎng).識(shí)記常見(jiàn)結(jié)論,看到題目“本質(zhì)”.

(4)加強(qiáng)學(xué)生時(shí)間管理意識(shí)的訓(xùn)練.平時(shí)訓(xùn)練要規(guī)劃好時(shí)間,不急不緩,注重細(xì)節(jié).

(5)加強(qiáng)學(xué)生心理素質(zhì)的訓(xùn)練，練就平和的心態(tài),樹(shù)立克難攻堅(jiān)的信心，“穩(wěn)”字當(dāng)頭.