蘇 俊 宋 峰
(1.華東師范大學教師教育學院 200062;2.江蘇省海安高級中學 226600;3.南開大學物理科學學院 300071)
建立直角坐標系,坐標原點位于立方體中心,三個坐標軸平行于立方體邊線。設粒子坐標為(x,y,z),其中x <<a,y <<a,z <<a。
為了分析粒子的受力情況,我們將邊長為a的立方體分成一個長方體和三個小塊,長方體的邊長為(a-2x)×(a-2y)×(a-2z),三個小塊的厚度分別為2x、2y、2z的方塊。如圖1所示。
圖1
當粒子位于長方體中心處不受力,我們來分析帶電量為q的粒子與厚度為h、長度為a的均勻帶電小塊之間的作用力。小塊的電荷密度為ρ,粒子到小塊中心的垂直距離為a/2。根據(jù)對稱性和高斯定理,粒子電通量為:
式中ε0為真空介電常數(shù)。
帶電粒子所受的作用力為:
其中電荷面密度為σ=ρh。
三個小塊對粒子的作用力分別為
則回復力為:
其中為位置矢量。
由牛頓第二定律,粒子的運動方程為:
m為粒子的質量,則回復系數(shù):
解析:本題要求出帶電粒子的振動周期,通過高斯定理求出靜電力,而回復力來源于靜電力,給出回復力與位移的線性關系,得到線性系數(shù)即回復系數(shù)k,則可以得到周期T。
方法一:
我們考慮線圈上的一小段dl,其受到的安培
力為:
因此,在兩段線圈上張力均為常數(shù),又由于對稱性,這兩個常數(shù)相等,所以整根繩子上張力大小均為常數(shù)T。
對于離線圈頂部懸掛點距離為l(線元到懸掛點沿繩的長度)的線元,設其切向矢量為,則可以將(9)式寫為:
由上式可得:
即線圈上每一點的切向向量n→都和磁場B→的夾角相同。在水平面上隨著l以勻速旋轉,因此我們可以認為線圈的兩個部分(最高點到最低點)都纏繞著一個圓柱體,并且與磁場保持著一個固定的角度α。為了找到此圓柱體的半徑,我們將上述表達式投影到水平面:
在線圈的最低點懸掛著重物,在此點三力平衡:兩個張力(來自線圈的兩部分)以及重物對線圈的拉力(源自于重力,豎直方向)。因此這三個力應該位于同一個豎直平面,線圈的兩部分纏繞的圓柱半徑相同。線圈形狀如圖2,線圈上每一點切線方向與豎直方向(即磁場方向)夾角均為α。線圈分為兩段,每一段都是繞著圓柱的螺旋線。
圖2
可以算出線圈的半周長:
式中,H為最低點到最高點高度差,R是圓柱體的半徑。
因此:
可得到線圈中的張力為:
于是,我們得到懸掛物的重量為:
方法二:
穩(wěn)定的平衡對應于勢能的最低點。該題總的勢能是重力勢能和電流在磁場中能量之和。我們用S表示線圈在水平面的投影面積,則有:
Ep取決于兩個變量:H和S。注意到在不改變H的情況下可以改變線圈在水平面的投影面積。所以,在H不變的情況下增加S從而減小勢能。勢能的最小值對應于S的最大化(在水平平面的周長不變的情況下),即線圈在水平面的投影是一個圓。
而當投影確定之后,H會在線圈與豎直軸成一個固定夾角時達到最大值。因此線圈的形狀是柱面上的螺旋線。
則:
勢能的極小值條件是:
討論:本題可以從受力的角度進行進行,物理過程比較清晰,但是矢量計算比較繁瑣。另外也可以能量的角度分析,方法簡潔,但是物理過程沒有受力分析直觀。讀者可以從兩個角度來理解該問題。
方法一:
對于兩個球體、輕質桿所構成的系統(tǒng),有3個外力,洛倫茲力、重力與懸掛裝置對系統(tǒng)的拉力,下面證明懸掛裝置對系統(tǒng)的拉力大小恰好為兩個小球的重力大小。注意到桿的質量為0,即桿的加速度為0。分析桿的受力,其受兩個小球對桿的作用力和懸掛裝置對桿的拉力。兩個小球受到的重力相同,為,洛倫茲力的大小相同,方向相反以及桿對小球的作用力兩個小球的向心力等大反向,從而有:
系統(tǒng)所受的合外力為0,從而給出兩個球體質心的運動方程為:
式中為質心(桿的中點)的運動速度,和分別是兩個小球的運動速度。在運動開始時,質心速度vC=0,在之后的運動中vC也是0。以質心為轉動中心的方程為:
題中要求是沿著z軸的,那么,式子中的z是小球的z軸坐標??紤]轉動方程的z軸分量:
由初始條件z=0 和Lz=0,可以解出C=0。
當小球的角動量在z軸上投影到達最大值時,小球速度的z分量為vz=z˙=0,此時系統(tǒng)的角動量L=Lz=mur,其中r是小球到z軸的距離,u是小球的速度。另外,小球是在一個以桿的中心為球心的球面上運動,滿足r2+z2=R2。洛倫茲力和桿對小球的作用力不做功,這表明該系統(tǒng)的動能不變,結合質心速度0 的條件,可以得知u=v。我們可以得到小球角動量的z分量代入(31)式,得到一個關于zmax的一元四次方程:
考慮3 個正交的單位矢量,第1 個沿著小球的速度方向,第2個沿著小球到桿的中心方向,第3個則垂直于前兩個單位矢量。在先前的分析中可知v=const,所以a1=0。沿著第2個單位的加速度是小球的向心加速度a2=v2/R。牛頓第二定律在第3個單位矢量的方向為最終得到:
選取磁矢勢的解需要一些技巧,觀察上述方程組,可以發(fā)現(xiàn),Az=0,且Ax、Ay與z無關,可以滿足(36)式前兩個方程,整理成表達式為:
可以看出Ay=Bx,Ax=0 或Ax=-By,Ay=0等都是方程的解,為了方便后續(xù)求解,取如下形式:
其中括號內為單位矢量,定義為。從磁矢勢表達式,可以看出該磁矢勢是一個環(huán)繞著z軸的環(huán)形矢量場,具有圓柱對稱性,則柱坐標系下對應的廣義動量的分量應該是守恒的。柱坐標系的三個自由變量為(r,θ,z),需要注意的是守恒的廣義動量分量是由環(huán)繞著z軸的場產生的,對應的廣義動量是由θ產生的角動量:
上式v⊥是垂直于z軸的速度分量,當小球在z軸的角動量投影達到最大時vz=˙=0,有v⊥=v,得到一個關于的方程:
討論:本題可以從粒子的角動量角度求解,這也是大家使用的常規(guī)方法。另外也可以通過廣義動量求解該問題,對物理知識要求較高,有興趣的同學可以查閱電磁學相關知識作進一步學習。