蘇 俊 宋 峰

(1.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062；2.江蘇省海安高級中學(xué) 226600；3.南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院 300071)

問題1解析：

建立直角坐標系，坐標原點位于立方體中心，三個坐標軸平行于立方體邊線。設(shè)粒子坐標為（x，y，z），其中x ＜＜a，y ＜＜a，z ＜＜a。

為了分析粒子的受力情況，我們將邊長為a的立方體分成一個長方體和三個小塊，長方體的邊長為(a-2x)×(a-2y)×(a-2z)，三個小塊的厚度分別為2x、2y、2z的方塊。如圖1所示。

圖1

當(dāng)粒子位于長方體中心處不受力，我們來分析帶電量為q的粒子與厚度為h、長度為a的均勻帶電小塊之間的作用力。小塊的電荷密度為ρ，粒子到小塊中心的垂直距離為a/2。根據(jù)對稱性和高斯定理，粒子電通量為：

式中ε0為真空介電常數(shù)。

帶電粒子所受的作用力為：

其中電荷面密度為σ=ρh。

三個小塊對粒子的作用力分別為

則回復(fù)力為：

其中為位置矢量。

由牛頓第二定律，粒子的運動方程為：

m為粒子的質(zhì)量，則回復(fù)系數(shù)：

解析：本題要求出帶電粒子的振動周期，通過高斯定理求出靜電力，而回復(fù)力來源于靜電力，給出回復(fù)力與位移的線性關(guān)系，得到線性系數(shù)即回復(fù)系數(shù)k，則可以得到周期T。

問題2解析：

方法一：

我們考慮線圈上的一小段dl，其受到的安培

力為：

因此，在兩段線圈上張力均為常數(shù)，又由于對稱性，這兩個常數(shù)相等，所以整根繩子上張力大小均為常數(shù)T。

對于離線圈頂部懸掛點距離為l(線元到懸掛點沿繩的長度)的線元，設(shè)其切向矢量為，則可以將(9)式寫為：

由上式可得：

即線圈上每一點的切向向量n→都和磁場B→的夾角相同。在水平面上隨著l以勻速旋轉(zhuǎn)，因此我們可以認為線圈的兩個部分(最高點到最低點)都纏繞著一個圓柱體，并且與磁場保持著一個固定的角度α。為了找到此圓柱體的半徑，我們將上述表達式投影到水平面：

在線圈的最低點懸掛著重物，在此點三力平衡：兩個張力（來自線圈的兩部分）以及重物對線圈的拉力（源自于重力，豎直方向）。因此這三個力應(yīng)該位于同一個豎直平面，線圈的兩部分纏繞的圓柱半徑相同。線圈形狀如圖2，線圈上每一點切線方向與豎直方向(即磁場方向)夾角均為α。線圈分為兩段，每一段都是繞著圓柱的螺旋線。

圖2

可以算出線圈的半周長：

式中，H為最低點到最高點高度差，R是圓柱體的半徑。

因此：

可得到線圈中的張力為：

于是，我們得到懸掛物的重量為：

方法二：

穩(wěn)定的平衡對應(yīng)于勢能的最低點。該題總的勢能是重力勢能和電流在磁場中能量之和。我們用S表示線圈在水平面的投影面積，則有：

Ep取決于兩個變量：H和S。注意到在不改變H的情況下可以改變線圈在水平面的投影面積。所以，在H不變的情況下增加S從而減小勢能。勢能的最小值對應(yīng)于S的最大化（在水平平面的周長不變的情況下），即線圈在水平面的投影是一個圓。

而當(dāng)投影確定之后，H會在線圈與豎直軸成一個固定夾角時達到最大值。因此線圈的形狀是柱面上的螺旋線。

則：

勢能的極小值條件是：

討論：本題可以從受力的角度進行進行，物理過程比較清晰，但是矢量計算比較繁瑣。另外也可以能量的角度分析，方法簡潔，但是物理過程沒有受力分析直觀。讀者可以從兩個角度來理解該問題。

問題3解析：

方法一：

對于兩個球體、輕質(zhì)桿所構(gòu)成的系統(tǒng)，有3個外力，洛倫茲力、重力與懸掛裝置對系統(tǒng)的拉力，下面證明懸掛裝置對系統(tǒng)的拉力大小恰好為兩個小球的重力大小。注意到桿的質(zhì)量為0，即桿的加速度為0。分析桿的受力，其受兩個小球?qū)U的作用力和懸掛裝置對桿的拉力。兩個小球受到的重力相同，為，洛倫茲力的大小相同，方向相反以及桿對小球的作用力兩個小球的向心力等大反向，從而有：

系統(tǒng)所受的合外力為0，從而給出兩個球體質(zhì)心的運動方程為：

式中為質(zhì)心(桿的中點)的運動速度，和分別是兩個小球的運動速度。在運動開始時，質(zhì)心速度vC=0，在之后的運動中vC也是0。以質(zhì)心為轉(zhuǎn)動中心的方程為：

題中要求是沿著z軸的，那么，式子中的z是小球的z軸坐標。考慮轉(zhuǎn)動方程的z軸分量：

由初始條件z=0 和Lz=0，可以解出C=0。

當(dāng)小球的角動量在z軸上投影到達最大值時，小球速度的z分量為vz=z˙=0，此時系統(tǒng)的角動量L=Lz=mur，其中r是小球到z軸的距離，u是小球的速度。另外，小球是在一個以桿的中心為球心的球面上運動，滿足r2+z2=R2。洛倫茲力和桿對小球的作用力不做功，這表明該系統(tǒng)的動能不變，結(jié)合質(zhì)心速度0 的條件，可以得知u=v。我們可以得到小球角動量的z分量代入（31）式，得到一個關(guān)于zmax的一元四次方程：

考慮3 個正交的單位矢量，第1 個沿著小球的速度方向，第2個沿著小球到桿的中心方向，第3個則垂直于前兩個單位矢量。在先前的分析中可知v=const，所以a1=0。沿著第2個單位的加速度是小球的向心加速度a2=v2/R。牛頓第二定律在第3個單位矢量的方向為最終得到：

選取磁矢勢的解需要一些技巧，觀察上述方程組，可以發(fā)現(xiàn)，Az=0，且Ax、Ay與z無關(guān)，可以滿足（36）式前兩個方程，整理成表達式為：

可以看出Ay=Bx，Ax=0 或Ax=-By，Ay=0等都是方程的解，為了方便后續(xù)求解，取如下形式：

其中括號內(nèi)為單位矢量，定義為。從磁矢勢表達式，可以看出該磁矢勢是一個環(huán)繞著z軸的環(huán)形矢量場，具有圓柱對稱性，則柱坐標系下對應(yīng)的廣義動量的分量應(yīng)該是守恒的。柱坐標系的三個自由變量為(r，θ，z)，需要注意的是守恒的廣義動量分量是由環(huán)繞著z軸的場產(chǎn)生的，對應(yīng)的廣義動量是由θ產(chǎn)生的角動量：

上式v⊥是垂直于z軸的速度分量，當(dāng)小球在z軸的角動量投影達到最大時vz=˙=0，有v⊥=v，得到一個關(guān)于的方程：

討論：本題可以從粒子的角動量角度求解，這也是大家使用的常規(guī)方法。另外也可以通過廣義動量求解該問題，對物理知識要求較高，有興趣的同學(xué)可以查閱電磁學(xué)相關(guān)知識作進一步學(xué)習(xí)。