呂艷坤 盧 杰 魏 森

（1.東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2.鄭州實(shí)驗(yàn)外國語中學(xué)，河南 鄭州 450052；3.東北師范大學(xué)附屬中學(xué)，吉林 長春 130024）

一題多解是物理教學(xué)中常用的教學(xué)手段，旨在通過對(duì)于方法合理性的判斷、對(duì)于方法便捷性的對(duì)比、對(duì)于方法適用性的反思來拓寬解題思路，進(jìn)而提高學(xué)生的科學(xué)思維能力.［1］本文以第38屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第13題為例，探尋指向?qū)W生科學(xué)思維發(fā)展的習(xí)題教學(xué)策略.

1 原題再現(xiàn)

6個(gè)小朋友在操場上玩追逐游戲.開始時(shí)，6個(gè)小朋友兩兩間的距離相等，構(gòu)成一正六邊形.然后每個(gè)小朋友均以不變的速率v追趕前面的小朋友（即小朋友A追B、B追C、C追D、D追E、E追F、F追A），在此過程中，每個(gè)小朋友的運(yùn)動(dòng)方向總是指向其前方的小朋友.已知某一時(shí)刻t0=0，相鄰兩個(gè)小朋友的距離為l，如圖1所示.試問：

圖1

（1）從t0時(shí)刻開始，又經(jīng)過多長時(shí)間后面的小朋友可追到前面的小朋友？

（2）從t0時(shí)刻開始，直至追上前面的小朋友，每個(gè)小朋友又跑了多少路程？

（3）在t0時(shí)刻，每個(gè)小朋友的加速度大小是多少？

2 試題分析

本題為物理競賽中典型的曲線追及問題，與之類似的還有獵犬追狐貍（狐貍沿直線，獵犬沿曲線）和獵犬追狼（狼沿圓周，獵犬沿曲線）.其共同點(diǎn)是追及者速度大小不變，速度方向始終指向被追擊者且時(shí)刻發(fā)生在變化，需要從時(shí)間和二維空間同時(shí)來考慮相遇.

2.1 標(biāo)準(zhǔn)答案解析

由對(duì)稱性知，每個(gè)小朋友運(yùn)動(dòng)情況是一樣的，以小朋友A為例.

（1）在從小朋友A到小朋友的B連線方向上，小朋友A相對(duì)于B的速度分量為

小朋友A追上B的時(shí)間為

（2）從t0時(shí)刻開始，直至追上前面的小朋友，每個(gè)小朋友所跑的路程為

s=vt=2l.

如圖2所示，設(shè)經(jīng)d t時(shí)間小朋友A運(yùn)動(dòng)到A′點(diǎn)，小朋友B運(yùn)動(dòng)到B′點(diǎn)，小朋友A的速度方向變?yōu)閺腁′點(diǎn)指向B′點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為dθ.由余弦定理得

圖2

由正弦定理得

式中dθ為△A′BB′中兩邊lA′B與lA′B′之間的夾角.

小朋友A運(yùn)動(dòng)的角速度為

小朋友A運(yùn)動(dòng)的法向加速度為

則小朋友A的加速度大小為

2.2 標(biāo)準(zhǔn)答案評(píng)析

圖3

第（2）問，求運(yùn)動(dòng)路程.可由s=vt求得，一旦第（1）問追及時(shí)間確定，路程也隨即求得，因此本文不再贅述.

第（3）問，求加速度大小.標(biāo)準(zhǔn)答案采用的是自然坐標(biāo)系下分別求小朋友的切向加速度和法向加速度.在法向加速度計(jì)算過程中首先采用微元思想構(gòu)建一個(gè)三角形，在三角形中利用余弦定理和正弦定理求得小朋友在初始時(shí)刻的角速度，進(jìn)而得到法向加速度和實(shí)際（合）加速度.微元思想是基于宏觀事物的普遍性（共性）不僅存在于事物發(fā)展的全過程中，而且也包含在微元的特殊性（個(gè)性）這一基本屬性的基礎(chǔ)上，而產(chǎn)生的一種創(chuàng)造性思維方式，往往能起到化曲為直、化難為易、化繁為簡的功效.［2］自然坐標(biāo)系的運(yùn)用，看似直觀，但是實(shí)際計(jì)算過程較為繁瑣，還需要用到正弦定理和余弦定理等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生跨學(xué)科能力要求較高.

縱觀整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案解析過程，雖然涉及的方法多樣，但是存在一定不足：（1）解題方法跳躍較大，缺乏整體的連貫性；（2）方法與方法之間缺乏整合，遷移性有限，易引發(fā)學(xué)生的思維混亂；（3）總體計(jì)算量過大，未體現(xiàn)出物理學(xué)科的清晰、簡潔之美.

3 多解賞析

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維，彰顯物理邏輯的科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)與連貫，本文采用微積分和極坐標(biāo)方法，分別從微觀和宏觀兩個(gè)角度進(jìn)行多解賞析.

3.1 微積分方法

設(shè)在很短一段時(shí)間d t之后，6個(gè)小朋友分別到達(dá)新的位置，如圖4所示，過D′做CD所在線段的垂線D′P，則在△C′D′P 中滿足勾股定理

圖4

展開后可得

如圖4所示，過C點(diǎn)作B′C′邊的垂線CG，由于頂角很小，則△B′CG近似為等腰三角形.速度偏轉(zhuǎn)角和位移偏轉(zhuǎn)角相等，速度矢量三角形是一個(gè)頂角很小的等腰三角形，則△B′CG和速度矢量三角形相似，易得

變形可得

評(píng)析：自牛頓和萊布尼茲提出微積分以來，微積分就與物理學(xué)的發(fā)展密不可分.但是考慮到高中生認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，高中物理有意避開了使用微積分，物理競賽對(duì)微積分也不作要求.近年來由于競賽難度的加大，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求進(jìn)一步提高，微積分作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)已成為物理競賽學(xué)習(xí)的必備知識(shí).從微積分入手解決競賽問題，有助于學(xué)生從微觀層面認(rèn)識(shí)事物變化的本質(zhì)，從時(shí)間與空間融合的雙重視角分析事物變化的規(guī)律.

3.2 極坐標(biāo)方法

如圖5所示，以中心O為原點(diǎn)建立平面極坐標(biāo)系，以小朋友E為研究對(duì)象，由題意得

圖5

對(duì)時(shí)間積分可得極徑r關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式為

根據(jù)極坐標(biāo)加速度公式

初始時(shí)刻，r=l，由a=arer+aθeθ且er⊥eθ可得

評(píng)析：笛卡爾坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系和平面極坐標(biāo)系是解決平面物理問題最常見的3種坐標(biāo)系.對(duì)于此類型追擊非常規(guī)的直線或圓錐曲線運(yùn)動(dòng)問題，笛卡爾坐標(biāo)系會(huì)使計(jì)算過程變得極為繁瑣，不宜采用；自然坐標(biāo)系在標(biāo)準(zhǔn)答案里已有使用，故不再贅述.平面極坐標(biāo)系雖然是復(fù)賽和決賽考試內(nèi)容，但是在涉及平面曲線運(yùn)動(dòng)過程（尤其是有心運(yùn)動(dòng)）時(shí)，選取平面內(nèi)一點(diǎn)為參照原點(diǎn)，在規(guī)定極軸后以極徑和極角來描述物體的空間位置，將復(fù)雜的物理運(yùn)動(dòng)過程轉(zhuǎn)化為簡潔的數(shù)學(xué)公式，在對(duì)物體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析時(shí)極為方便.［3］3種坐標(biāo)系的對(duì)比分析，有助于學(xué)生深化對(duì)于坐標(biāo)系的適用范圍和優(yōu)劣勢的理解，對(duì)于其后續(xù)學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)性支撐.