陳志遠 雷建平 張梓喬

(武漢理工大學交通與物流工程學院 武漢 430063)

0 引 言

有限元模型修正本質(zhì)上是一個以模型計算值與實測響應值之間的誤差構(gòu)造目標函數(shù)，進行優(yōu)化計算，找到目標函數(shù)最優(yōu)解的過程．遺傳算法作為一種經(jīng)典的進化算法，經(jīng)過多年發(fā)展，在模型修正領域得到了廣泛應用．張瑞云等[1]總結(jié)遺傳算法的基本原理，并運用于結(jié)構(gòu)模型修正．朱宏平等[2]對基于遺傳算法的模型修正方法進行改進，并運用在橋梁傳感器布置方案中，證明了該方法的應用價值．秦仙蓉等[3]針對岸橋結(jié)構(gòu)的有限元模型修正問題，基于Kriging替代模型及遺傳算法對岸橋結(jié)構(gòu)進行修正．結(jié)果表明該方法能有效修正岸橋結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和標準差．陳義成[4]為提高發(fā)動機模型精度，建立整機穩(wěn)態(tài)模型后，針對遺傳算法、微分進化算法和粒子群算法三種優(yōu)化算法進行了機理分析并測試比較了各個算法的修正性能，最終提出一種基于自適應變慣性權重方法的改進粒子群算法，結(jié)果表明：該方法在滿足求解精度要求的同時提高了收斂性能和求解速度．康俊濤等[5]為更好控制鋼桁架拱橋施工過程中標高控制可靠度，采用基于遺傳算法優(yōu)化的SVM模型為代理模型進行計算,并結(jié)合蒙特卡洛法求解施工期間標高控制可靠度，取得了良好的計算結(jié)果．

文中基于雙鏈量子遺傳算法，發(fā)現(xiàn)該算法中轉(zhuǎn)角步長函數(shù)的不足，采用反正弦函數(shù)構(gòu)造新的轉(zhuǎn)角步長函數(shù)，并對改進后的算法進行可行性驗證．改進后的雙鏈量子遺傳算法的搜索精度及魯棒性均有提高，具有工程實際價值．

1 模型修正理論和優(yōu)化算法

有限元模型修正是結(jié)構(gòu)動力學中反問題的一種，參數(shù)型有限元模型的修正本質(zhì)是求解多參數(shù)目標函數(shù)的最值，目標函數(shù)的構(gòu)造是否合理直接影響著模型的修正效果．通常情況，目標函數(shù)都是基于理論值與實測值的相對誤差來確定的，其表達式為

(1)

式中：xa為實測響應；xb為理論響應．若相對誤差|Ew|小于允許誤差εw，表明理論模型與實際結(jié)構(gòu)相關性較好．

構(gòu)造出目標函數(shù)后，有限元模型修正問題轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)的實際參數(shù)，使得目標函數(shù)|Ew|達到最小值．常用的優(yōu)化算法有粒子群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡法、遺傳算法等．

1.1 遺傳算法(GA)

遺傳算法將目標函數(shù)的解用染色體表示，多組解即多個染色體構(gòu)成一個種群，通過種群內(nèi)部的遺傳、交叉和變異，逐代更新染色體，當目標函數(shù)值滿足精度要求或達到預設的最大代數(shù)時，結(jié)束進化，最終求得多目標函數(shù)的最優(yōu)解．遺傳算法流程見圖1．

圖1 遺傳算法流程

在遺傳算法中，n維可行解的數(shù)學形式為x=[x1,x2,…,xn]T，x為一個染色體，x中所有取值稱為等位基因．根據(jù)目標函數(shù)的不同，x可以是一組整數(shù)或是某一范圍內(nèi)的實數(shù)，甚至可以是一些純粹的記號．根據(jù)個體的表現(xiàn)型(函數(shù)值)，可由一定的規(guī)則計算出個體的適應度，適應度的計算規(guī)則與目標最優(yōu)解相關，越是接近目標函數(shù)的最優(yōu)點，適應度越大，反之越?。?/p>

1.2 量子遺傳算法(QGA)

量子計算中，量子比特起到儲存信息的作用，其本身具有|0〉、|1〉兩個基本狀態(tài)，每個量子位都是由這兩個基態(tài)任意線性組成的疊加態(tài)，疊加態(tài)|ψ〉的形式為

(2)

式中：ci為概率幅(possibility amplitude);|ci|2的意義為量子態(tài)|φ〉坍縮到其基態(tài)|φi〉的概率．由歸一化特性[6]，其表達形式為

(3)

量子態(tài)|ψ〉對應著Hilbert空間中的一個向量，基態(tài)|0〉、|1〉對應著向量空間中的一對標準正交基，其形式如下：因此，具有n個基因的染色體可用矩陣表示為

(4)

式中：|αi|2+|βi|2=1,i=1,2,…,n．

通常采用量子疊加性來產(chǎn)生初始種群，初始種群采用如下方式進行編碼：

(5)

量子態(tài)無法進行個體適應度計算，需要先對量子個體進行測量，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成經(jīng)典信息，最終完成量子個體適應度的計算．

由量子比特Q(i)坍縮到一組確定解，確定解形式為

(6)

量子門控制量子態(tài)的旋轉(zhuǎn)對應著遺傳算法中的種群進化．量子態(tài)在量子門作用后發(fā)生酉變換，因此量子態(tài)的概率幅在發(fā)生變化后依舊滿足歸一化條件．量子旋轉(zhuǎn)表達式為

(7)

式中：|ψ〉為更新后的量子態(tài);αi和βi為更新后量子態(tài)的概率幅．

量子旋轉(zhuǎn)后，各個基態(tài)的概率幅發(fā)生了變化，種群會朝著適應度更高的方向發(fā)展，最終收斂至最優(yōu)種群從而求得最優(yōu)解．通常情況，量子旋轉(zhuǎn)的方向與角度是根據(jù)查表確定的．

1.3 雙鏈量子遺傳算法及改進(DCQGA)

DCQGA與QGA的實現(xiàn)步驟基本類似，本節(jié)僅介紹二者的不同點．

在編碼方式上，雙鏈量子遺傳算法中，染色體采用量子比特的兩個概率幅直接進行編碼：

(8)

式中：tij=2π×rand，rand為0～1之間的隨機數(shù)；i=1,2,…,m；j=1,2,…,n；m為種群規(guī)模；n為量子位數(shù)．

在DCQGA中同樣使用量子旋轉(zhuǎn)門更新染色體，不同的是在種群旋轉(zhuǎn)更新的過程中，轉(zhuǎn)角Δθ是算法收斂的關鍵，其符號決定著種群進化的方向，其大小決定著種群更新的速度．在QGA中，轉(zhuǎn)角的參數(shù)通過查表來確定，過程繁瑣復雜且不能有效的利用反饋信息．為改善上述缺點，DCQGA基于梯度步長搜索理論構(gòu)造轉(zhuǎn)角步長函數(shù)，充分利用了目標函數(shù)變化率的反饋信息，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)角的動態(tài)更新，轉(zhuǎn)角步長函數(shù)為

(9)

相比而言，DCQGA提出了一種基于目標函數(shù)變化率的動態(tài)更新方法，較QGA更為合理，但該函數(shù)所得的實際轉(zhuǎn)角區(qū)間與較為合理的轉(zhuǎn)角區(qū)間[0.005π,0.1π]相差較大，而轉(zhuǎn)角過低影響算法的收斂速度，過高容易引起早熟收斂．

針對上述問題，本文嘗試采用一種新的基于目標函數(shù)搜索點處變化趨勢的轉(zhuǎn)角步長函數(shù)，以提高算法的收斂精度．改進的轉(zhuǎn)角步長函數(shù)為

(10)

改進后的函數(shù)滿足轉(zhuǎn)角區(qū)間[0.005π,0.1π]，更有利于種群的更新．

2 算法性能測試

為比較GA、QGA、DCQGA、改進DCQGA四者在性能上的差異，選取二維Ackley’s函數(shù)進行測試，比較四種算法的收斂精度、收斂次數(shù)及收斂用時．二維Ackley’s函數(shù)形式為

(11)

算法初始參數(shù)設置：基因位長度20，個體數(shù)量50，GA算法交叉概率0.7，變異概率0.05，最大迭代數(shù)100．每種算法各運行20次，計算結(jié)果對比見表1．

表1 算法結(jié)果對比表

由表1可知：改進轉(zhuǎn)角步長函數(shù)后的雙鏈量子遺傳算法S_DCQGA是一種搜索精度高、魯棒性強的優(yōu)化算法，具有一定的實用價值．

3 數(shù)值算例驗證

以計算跨徑為4 m的懸臂工字鋼梁為例，假定鋼材因外界環(huán)境作用發(fā)生銹蝕，結(jié)構(gòu)實際靜動力響應與初始有限元模型計算結(jié)果相比，出現(xiàn)較大偏差．

假定鋼板兩側(cè)銹蝕厚度相等，銹蝕后頂板、腹板、底板有效厚度分別減少了6.5，1.8和2.7 mm．選取頂板、腹板、底板的有效厚度和質(zhì)量密度作為待修正參數(shù)，通過響應面法對該模型進行修正，因篇幅原因這里不再贅述．本例初始響應面函數(shù)采用二次多項式與動態(tài)權重法確定目標函數(shù)形式：

f=α1(1+Y1′/21.81)2+α2(1+Y2/22.18)2+

α3(1+Y3/28.23)2+β1(1-f1/8.059)2+

β2(1-f2/22.212)2+β3(1+f3/50.048)2

(12)

式中：f為目標函數(shù)值；αi、βi為動態(tài)權重系數(shù)．

確定目標函數(shù)形式后，采用改進雙鏈量子遺傳算法(S_DCQGA)對目標函數(shù)進行迭代求解，得到修正后的參數(shù)值，將修正后的各參數(shù)值代回有限元模型進行計算，最終得到修正后有限元模型．

修正前后參數(shù)值及相對誤差見表2，靜動力響應數(shù)據(jù)比較表見表3．

表2 參數(shù)修正前后比較表

表3 參數(shù)修正前后響應比較表

由表2～3可知：幾何參數(shù)修正后整體較參數(shù)終值小，質(zhì)量密度修正后較參數(shù)終值大，分析認為這是由于初始有限元模型中未考慮預應力鋼束的剛度、橋面鋪裝的剛度影響，各參數(shù)修正后誤差最大為2.09%；靜力響應修正后整體較終值響應大，動力響應修正后整體較終值響應小，修正效果較為明顯．

為直觀反應模型修正結(jié)果，靜動力響應值修正前后誤差見圖2．各響應修正前后誤差均有大幅度縮小，最低誤差降至1.31%，表明基于改進雙鏈量子遺傳算法的有限元模型修正技術具有良好的實際意義和實用價值．

圖2 靜動響應修正前后誤差比較圖

4 結(jié) 束 語

文中基于量子遺傳算法及響應面法的有限元模型修正，并改進量子遺傳算法，實現(xiàn)了對懸臂式工字鋼梁的模型修正，修正后各響應誤差有明顯降低、修正后參數(shù)接近參數(shù)終值，修正效果良好，并驗證了采用改進DCQGA算法對參數(shù)迭代求解的可行性．

有限元模型修正的效率及準確性很大程度上取決于算法的性能，量子計算的應用目前還僅僅處于借鑒其思想的仿真階段，遠沒有挖掘出其真正的潛力．后續(xù)研究將進一步開發(fā)量子計算的能力并與其它優(yōu)化算法相結(jié)合，構(gòu)造出性能更加優(yōu)越的算法．