李迎博，譚黎立，梁卓，王凱旋，潘彥鵬

（中國運載火箭技術(shù)研究院 戰(zhàn)術(shù)武器事業(yè)部，北京 100076）

0 引言

系統(tǒng)優(yōu)化是指尋求一個最優(yōu)方案，使所選取的對象指標(biāo)能夠最優(yōu)地滿足要求。對系統(tǒng)優(yōu)化一般分為2 步：首先建立問題的數(shù)學(xué)模型，選擇變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件；之后對模型進行分析研究，綜合考慮優(yōu)化對象特性、優(yōu)化效率等諸多因素，選取合適的算法。

目前對防空導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的優(yōu)化往往只針對某個特定指標(biāo)，如脫靶量、飛行時間等，但制導(dǎo)系統(tǒng)性能包含的要素眾多，單個指標(biāo)的最優(yōu)并不代表綜合性能最優(yōu)，甚至可能出現(xiàn)單個指標(biāo)更優(yōu)但系統(tǒng)綜合性能下降的情況。因此首先要建立制導(dǎo)系統(tǒng)綜合性能評估指標(biāo)體系，確定目標(biāo)函數(shù)；之后設(shè)計制導(dǎo)律，并選取制導(dǎo)律中的關(guān)鍵參數(shù)作為優(yōu)化變量；最后根據(jù)制導(dǎo)系統(tǒng)的特性選取優(yōu)化算法，完成系統(tǒng)優(yōu)化。

系統(tǒng)優(yōu)化算法按照優(yōu)化對象可分為如下幾類［1］：如果問題的最優(yōu)解是隨著時間的推移而變化的，則為動態(tài)優(yōu)化問題，反之則為靜態(tài)優(yōu)化問題；如果所選取的目標(biāo)或約束條件中的變量是非線性函數(shù)，則為非線性最優(yōu)化問題，反之為線性最優(yōu)化問題。制導(dǎo)系統(tǒng)優(yōu)化是一個靜態(tài)非線性優(yōu)化問題，針對此類問題，常用的方法包括單純形法、序列二次規(guī)劃法、遺傳算法［1-3］等。但其與一般數(shù)學(xué)優(yōu)化問題不同的是，制導(dǎo)系統(tǒng)存在眾多的過程約束量。為此，本文設(shè)計了一種單純形與增廣拉格朗日相結(jié)合的方法，將過程約束與無約束優(yōu)化算法融合，在完成系統(tǒng)優(yōu)化的同時，保證過程約束的滿足性。

綜合上述，本文以“愛國者”-3 防空導(dǎo)彈為研究目標(biāo)，建立了其制導(dǎo)系統(tǒng)性能評估體系，針對過程約束及目標(biāo)函數(shù)，使用一種單純形與增廣拉格朗日相結(jié)合的方法對制導(dǎo)系統(tǒng)進行優(yōu)化，仿真結(jié)果表明該方法可有效提高制導(dǎo)系統(tǒng)的綜合性能。

1 綜合性能指標(biāo)體系與目標(biāo)函數(shù)建立

影響防空導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)性能的因素有很多［4-7］，本文根據(jù)“愛國者”-3 防空導(dǎo)彈的特性，選取技術(shù)指標(biāo)滿足性、制導(dǎo)算法能力、過程約束3 類指標(biāo)進行性能分解。

（1）技術(shù)指標(biāo)

技術(shù)指標(biāo)直接關(guān)系到導(dǎo)彈的作戰(zhàn)性能，與制導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)的內(nèi)容見表1。

表1 技術(shù)指標(biāo)內(nèi)容Table 1 Contents of technical indicators

（2）制導(dǎo)律性能

防空導(dǎo)彈的制導(dǎo)律一般分為中制導(dǎo)、中末交班規(guī)律及末制導(dǎo)3 段，中制導(dǎo)負(fù)責(zé)將導(dǎo)彈導(dǎo)引至預(yù)測命中點，末制導(dǎo)直接導(dǎo)引導(dǎo)彈命中目標(biāo)，中末交班規(guī)律負(fù)責(zé)二者之間的指令過渡。制導(dǎo)律性能包含的內(nèi)容見表2。

表2 制導(dǎo)律性能內(nèi)容Table 2 Performance of guidance law

（3）過程約束

過程約束與飛行安全性、可靠性息息相關(guān)，本文選取飛行過載約束項。

制導(dǎo)系統(tǒng)性能評估指標(biāo)體系如圖1 所示。

圖1 制導(dǎo)系統(tǒng)綜合性能評估指標(biāo)體系Fig.1 Comprehensive performance evaluation index system of guidance system

得到制導(dǎo)系統(tǒng)綜合性能指標(biāo)體系后，需完成綜合性能評估，以建立目標(biāo)函數(shù)。綜合性能評估的方法由很多［8-9］，本文使用應(yīng)用比較廣泛的層次分析法［10-12］進行底層指標(biāo)權(quán)重計算，層次分析法計算流程見圖2。

圖2 層次分析法計算流程Fig.2 Calculation flow of analytic hierarchy process

首先建立指標(biāo)之間的判斷矩陣，并計算得到底層指標(biāo)對頂層指標(biāo)的相對權(quán)重向量為

假定底層指標(biāo)評價值為wi，則評價值向量為

由此可得到目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

2 制導(dǎo)律設(shè)計與優(yōu)化變量確定

前文中已經(jīng)提到，防空導(dǎo)彈制導(dǎo)律分為中制導(dǎo)、中末交班規(guī)律和末制導(dǎo)3 部分，具體制導(dǎo)律設(shè)計如下。

（1）中制導(dǎo)律

中制導(dǎo)導(dǎo)引的目標(biāo)為預(yù)測攔截點，本文提供一種基于零脫靶量的導(dǎo)引律，它的目的是使導(dǎo)彈與預(yù)測攔截點的相對距離趨于0。

假設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)在發(fā)慣系下的位置分別為xm，ym，zm，xt，yt，zt，設(shè)計算法為

式中：Δx=xt-xm，Δy=yt-ym，Δz=zt-zm；Δx?=x?t-x?m，Δy?=y?t-y?m，Δz?=z?t-z?m；NM1，NM2為 比 例 常數(shù)；ayc，azc為導(dǎo)彈加速度指令。

（2）末制導(dǎo)律

末制導(dǎo)律采用比例導(dǎo)引，設(shè)計算法為

式中：

NE1，NE2為 比 例 常 數(shù)；avc，ahc為 導(dǎo) 彈 加 速 度指令。

（3）中末交班規(guī)律

中末交班規(guī)律用于中末制導(dǎo)指令之間的過渡，設(shè)計算法為

式中：acm，acl分別為中段和末段制導(dǎo)指令；R0為中制導(dǎo)距離；Rd為中末交班距離。

由上文可以看出，三段制導(dǎo)律中，需要優(yōu)化確定 的 參 數(shù) 為4 個 比 例 常 數(shù)NM1，NM2，NE1，NE2及 中 末交班距離Rd，因此選取上述5 個參數(shù)組成優(yōu)化變量向量u= [NM1NM2NE1NE2Rd]。

3 優(yōu)化方法確定

前文提到，制導(dǎo)系統(tǒng)優(yōu)化是一個靜態(tài)非線性優(yōu)化問題，常用的算法包括單純形法、序列二次規(guī)劃法、遺傳算法。其中，單純形法邏輯簡單、收斂速度極快，因此應(yīng)用較為廣泛。

單純形法主要原理為在n（n為優(yōu)化變量個數(shù)）維空間形成由n+ 1 個頂點的多面體，然后比較各個頂點的函數(shù)值，經(jīng)過反射、擴大、縮小等邏輯操作，去掉其中的最壞點而代之以新點，即構(gòu)成一個新的單純形，用這樣的方法逼近極小點。該方法缺點是效率會隨著優(yōu)化變量個數(shù)增多而下降，但本文中選取的制導(dǎo)系統(tǒng)優(yōu)化變量個數(shù)為5 個，相對較少，因此本文采用單純形法作為優(yōu)化搜索算法。

單純形均為無約束搜索算法，而制導(dǎo)系統(tǒng)的優(yōu)化變量取值及過程量均存在約束，針對此問題，本文使用增廣拉格朗日法［3］將有約束問題轉(zhuǎn)換為無約束問題。增廣拉格朗日法同時綜合了拉格朗日乘子法和懲罰函數(shù)法，即在原目標(biāo)函數(shù)中引入拉格朗日乘子及懲罰項，從而將約束滿足情況與優(yōu)化目標(biāo)融合，最終得到符合約束的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)。

首先，給出算法幾個核心函數(shù)的計算公式：（1）目標(biāo)函數(shù)

式中：f為目標(biāo)函數(shù)；hi為約束項差值；m為約束項個數(shù)；λi，β(k)i為系數(shù)；k為迭代次數(shù)。

（2）中心點

式中：Xi為單純形頂點。

（3）反射點

式中：XfC為反射中心點；Xf1，Xf2為反射前后的點。

（4）擴大

式中：XkC為擴大中心點；Xk1，Xk2為擴大前后的點。

（5）縮小

式中：Xs1分別為起點；Xs2，Xs3為縮小前后的終點。

（6）系數(shù)更新

圖3 優(yōu)化算法計算流程Fig.3 Calculation flow of optimization algorithm

4 仿真驗證

本文以“愛國者”-3 防空導(dǎo)彈為研究對象，依據(jù)其公開的尺寸、質(zhì)量［13-15］及部分個人估算的參數(shù)，進行仿真驗證。具體內(nèi)容如下。

（1）“愛國者”-3 導(dǎo)彈仿真初始配置參數(shù)

仿真使用的初始配置參數(shù)見表3。

表3 “愛國者”-3 導(dǎo)彈仿真初始配置參數(shù)Table 3 Initial configuration parameters of Patriot-3 missile simulation

（2）約束確定

選取的約束包括：所選取的5 個優(yōu)化變量取值約束及仿真過程中最大動壓約束Pmax。

（3）目標(biāo)函數(shù)確定

目標(biāo)函數(shù)見表達(dá)式（1），其中pi已在前文得到，wi通過專家采用百分制打分得到。打分規(guī)則見表4。

表4 指標(biāo)打分規(guī)則Table 4 Index scoring rules

（4）初值確定

給所選取的優(yōu)化變量賦初值，結(jié)果如下：

（5）仿真算例設(shè)計

建立“愛國者”-3 防空導(dǎo)彈的六自由度仿真模型及目標(biāo)的三自由度機動模型。其中目標(biāo)模型設(shè)置10 條不同工況，結(jié)果如表5 所示。

由表5 可見，10 條工況的優(yōu)化后的綜合性能均得到明顯提高。以目標(biāo)1 為例，給出收斂過程中綜合性能值變化情況見表6。

表5 優(yōu)化前后綜合性能對比情況Table 5 Comparison of comprehensive performance before and after optimization

表6 綜合性能收斂情況Table 6 Convergence of comprehensive performance

以目標(biāo)1 為例，給出優(yōu)化前后的防空導(dǎo)彈彈道曲線如圖4 所示。

圖4 前后的彈道曲線Fig.4 Trajectory curve before and after optimization

綜合仿真結(jié)果可知，在同一制導(dǎo)律下，通過對制導(dǎo)律參數(shù)的優(yōu)化，改善了制導(dǎo)綜合性能底層參數(shù)指標(biāo)，在未顯著改變彈道形態(tài)的前提下，給綜合性能指標(biāo)帶來了較為明顯的改變；優(yōu)化過程中算法收斂迅速，收斂后的結(jié)果較優(yōu)化前改善明顯。證明了本文指標(biāo)體系及優(yōu)化算法的合理性。

5 結(jié)束語

本文以“愛國者”-3 防空導(dǎo)彈為研究目標(biāo)，首先建立了制導(dǎo)系統(tǒng)性能評估體系，針對過程約束及目標(biāo)函數(shù)，使用一種單純形與增廣拉格朗日相結(jié)合的方法對制導(dǎo)系統(tǒng)進行優(yōu)化，仿真結(jié)果表明該方法可有效提高制導(dǎo)系統(tǒng)的綜合性能。