邱 嵐

(江西科技學(xué)院信息工程學(xué)院，江西 南昌 330098 )

0 引言

在陣列信號(hào)處理中，已有許多學(xué)者對(duì)基于目標(biāo)信號(hào)的被動(dòng)檢測(cè)和方位估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，并取得了一定的研究成果。近年來(lái)，基于特征結(jié)構(gòu)的子空間類方法因具有較高的方位分辨能力和估計(jì)精度得到了快速發(fā)展，并在聲納、雷達(dá)和通訊等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。

在子空間類方法中，基于旋轉(zhuǎn)不變性的參數(shù)估計(jì)技術(shù)(estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESPRIT)，其可充分利用信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變特性進(jìn)行方位估計(jì)，不需要進(jìn)行空間譜搜索即可得到目標(biāo)方位估計(jì)值，進(jìn)而降低了計(jì)算復(fù)雜度和存儲(chǔ)需求，已被視為一種高效方位估計(jì)技術(shù)應(yīng)用于聲納、雷達(dá)和通訊等領(lǐng)域[3-4]。

為了提升ESPRIT技術(shù)在目標(biāo)方位估計(jì)中的寬容性，文獻(xiàn)[5-14]分別在非高斯性目標(biāo)信號(hào)、相干目標(biāo)信號(hào)、陣列隨機(jī)性、多目標(biāo)方位估計(jì)方面提出相應(yīng)改善方法。如文獻(xiàn)[5]提出了一種基于累積量的ESPRIT型盲波束形成算法，用累積量矩陣取代自相關(guān)矩陣完成信號(hào)空間的重建，實(shí)現(xiàn)了對(duì)非高斯信號(hào)源方位估計(jì)。文獻(xiàn)[6-8]分別提出了虛擬陣列平移法和酉變換方法解相干信號(hào)的ESPRIT算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干信號(hào)源高精度方位估計(jì)。文獻(xiàn)[9-12]分別提出了基于擴(kuò)展ESPRIT的隨機(jī)陣列高效目標(biāo)方位估計(jì)算法和最優(yōu)子陣劃分ESPRIT的任意線陣高精度DOA估計(jì)算法，分別通過(guò)陣列內(nèi)插技術(shù)和子陣陣元優(yōu)化選取技術(shù)，提高了ESPRIT技術(shù)對(duì)任意陣列的波達(dá)方向估計(jì)性能。文獻(xiàn)[13-14]提出了波束-多普勒酉 ESPRIT多目標(biāo)方位估計(jì)，采用中心共軛對(duì)稱傅里葉變換矩陣將數(shù)據(jù)變換至波束-多普勒域提高了多目標(biāo)方位估計(jì)精度。

以上方法雖然能在不同情況下提升ESPRIT技術(shù)在目標(biāo)方位估計(jì)中的性能，但均是基于頻域角度出發(fā)實(shí)現(xiàn)，時(shí)頻變換所需采樣點(diǎn)數(shù)和協(xié)方差矩陣估計(jì)所需快拍數(shù)需要折中處理，在低信噪比、小快拍數(shù)的情況下，協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差變大甚至可能失效。本文對(duì)此問(wèn)題，提出基于時(shí)域旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的目標(biāo)方位估計(jì)方法(本文稱之為TD-ESPRIT方法)。

1 ESPRIT方法

圖1為M元等間距陣列(d為相鄰陣元間距)。

圖1 陣列接收信號(hào)Fig.1 Schematic diagram of array received signal

對(duì)于K個(gè)目標(biāo)信號(hào)源S=[S1(f)，S2(f)，…，SK(f)]T，[·]T為矩陣轉(zhuǎn)置，則陣列接收數(shù)據(jù)號(hào)可表示為：

(1)

式(1)中，A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θK)]，a(θk)=

根據(jù)圖1所示子陣劃分方法，兩個(gè)子陣列接收數(shù)據(jù)X1和X2可表示為：

(2)

(3)

由上述數(shù)學(xué)模型可知，目標(biāo)方位角信息已包含在φ中，只要得到φ值，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)方位估計(jì)。

ESPRIT方法是在噪聲(包括干擾)與信號(hào)不相關(guān)的假設(shè)下，首先對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣Rx=E[XXH]做特征分解得到信號(hào)子空間Us和噪聲子空間Uv，然后利用信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變特性獲得目標(biāo)方位估計(jì)值，E[·]為期望函數(shù)。

由于目標(biāo)信號(hào)特征向量所張成的信號(hào)子空間與導(dǎo)向向量張成的信號(hào)子空間是等價(jià)的，即span{Us}=span{A}，因此存在唯一的非奇異矩陣T，使得

Us=AT，

(4)

即

(5)

式(5)中，Us1為Us前M-1行數(shù)據(jù)，Us2為Us后M-1行數(shù)據(jù)。

對(duì)式(5)進(jìn)行處理，可得

Us2=A2T=Us1Τ-1φT=Us1Ψ，

(6)

式(6)中，Ψ=Τ-1φT，則對(duì)角陣φ的元素即為Ψ的特征值。

在理想情況下，式(6)存在唯一解，采用最小二乘求解方法，可得

Ψ=(Us1HUs1)-1Us1HUs2。

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行特征分解，可得到其特征值，即為對(duì)角矩陣φ的元素。

φ=TΨΤ-1。

(8)

(9)

根據(jù)上述所述過(guò)程， ESPRIT方法實(shí)現(xiàn)流程如圖(2)所示。

圖2 ESPRIT方法實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.2 Implementation flow chart of ESPRIT

(10)

式(10)中，I為總幀數(shù)(也為協(xié)方差矩陣估計(jì)所需快拍次數(shù))，一般取大于陣列所含陣元數(shù)的2倍。

從ESPRIT方法實(shí)現(xiàn)過(guò)程可知，實(shí)現(xiàn)ESPRIT方法需要滿足：1)Rx中不應(yīng)含有信號(hào)與噪聲相關(guān)成分的貢獻(xiàn)；2) 數(shù)學(xué)上要求Rx滿秩。

然而，在一次處理數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)總數(shù)T0一定時(shí)，如式(11)所示，在頻域進(jìn)行協(xié)方差矩陣估計(jì)時(shí)，存在時(shí)頻變換所需采樣點(diǎn)數(shù)和協(xié)方差矩陣估計(jì)所需快拍數(shù)需要折中處理問(wèn)題，即精確的頻域數(shù)據(jù)需要多個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)頻變換才能得到，而準(zhǔn)確的協(xié)方差矩陣估計(jì)需要一定快拍次數(shù)I。在低信噪比、小快拍數(shù)的情況下，如果信號(hào)頻域數(shù)據(jù)精度不夠或協(xié)方差矩陣估計(jì)所需快拍數(shù)不夠，則可能引起協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差變大甚至可能失效。

T0=I×ΔT/2，

(11)

式(11)中，ΔT為一次時(shí)頻變換所用采樣點(diǎn)數(shù)(采樣點(diǎn)數(shù)按0.5倍交疊使用)。

2 TD-ESPRIT方法

2.1 理論分析

如果能夠直接采用時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行ESPRIT技術(shù)應(yīng)用，則可將一次時(shí)頻變換所需采樣點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為協(xié)方差矩陣估計(jì)快拍數(shù)，相比在頻域?qū)崿F(xiàn)，可避免時(shí)頻變換所需采樣點(diǎn)數(shù)和協(xié)方差矩陣估計(jì)所需快拍數(shù)需要折中處理問(wèn)題，進(jìn)而做到一次快拍即可獲得具有信號(hào)與噪聲不相關(guān)和滿秩條件的協(xié)方差矩陣，進(jìn)而提升ESPRIT方法在目標(biāo)方位估計(jì)中的寬容性。TD-ESPRIT方法基本思路為：通過(guò)兩次快速傅里葉變換將各陣元時(shí)域?qū)崝?shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為時(shí)域解析數(shù)據(jù)，在時(shí)域?qū)㈥嚵薪邮諗?shù)據(jù)按相移形式表示，然后利用特征分解思想求取信號(hào)子空間，并利用旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)獲得目標(biāo)方位估計(jì)值。該思想實(shí)際為用時(shí)域解析數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)ESPRIT方法的過(guò)程，圖3給出了實(shí)現(xiàn)上述思想的示意圖。

根據(jù)圖1所示，第m號(hào)陣元接收的實(shí)數(shù)信號(hào)可表示為：

(12)

式(12)中，τm(θk)=(m-1)dcos (θk)/c，1≤m≤M為第k個(gè)目標(biāo)信號(hào)到達(dá)第m號(hào)陣元相對(duì)于第1陣元的時(shí)間延遲，只與目標(biāo)信號(hào)相對(duì)陣列所處的方位θk有關(guān)。

圖3 TD-ESPRIT 方法實(shí)現(xiàn)過(guò)程Fig.3 Implementation process of TD-ESPRIT

由快速傅里葉變換的性質(zhì)可知，可將式(12)所示表達(dá)寫為頻域離散化形式，即

(13)

由式(13)所示的頻域形式可知，對(duì)于窄帶數(shù)據(jù)，陣列接收數(shù)據(jù)相移等價(jià)于陣列接收數(shù)時(shí)延，如果能夠在時(shí)域?qū)㈥嚵袝r(shí)延形式表示為相移形式，即可采用ESPRIT技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)方位估計(jì)。

對(duì)式(13)做如下處理：

(14)

式(14)中，fL，fH分別為處理數(shù)據(jù)所需頻帶上下限。

(15)

(16)

(17)

按ESPRIT方法對(duì)信號(hào)子空間采用最小二乘求解方法，可得

(18)

對(duì)式(17)進(jìn)行特征分解，可得到其特征值，即為對(duì)角矩陣φ的元素。

2.2 實(shí)現(xiàn)流程

根據(jù)上面分析可知，基于TD-ESPRIT方法的目標(biāo)方位估計(jì)方法可分為如下步驟實(shí)現(xiàn)：

1) 對(duì)M元陣列采集的時(shí)域離散數(shù)據(jù)xm(n)進(jìn)行時(shí)域復(fù)解析變換處理；

2) 按窄帶處理方式，在處理頻帶上，對(duì)陣元時(shí)域復(fù)解析數(shù)據(jù)進(jìn)行窄帶濾波分解；

4) 按式(17)對(duì)信號(hào)子空間進(jìn)行處理，進(jìn)而獲得TD-ESPRIT方法對(duì)目標(biāo)方位估計(jì)值；

5) 改變處理頻帶，重復(fù)步驟2)-步驟4)，可獲得TD-ESPRIT方法在不同處理頻帶上目標(biāo)方位估計(jì)值；

6) 按直方圖形式對(duì)各處理頻帶所得目標(biāo)方位估計(jì)值進(jìn)行累加處理，可得最終目標(biāo)方位估計(jì)值。

3 數(shù)據(jù)處理分析

3.1 數(shù)值仿真分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證TD-ESPRIT方法的可行性，進(jìn)行如下數(shù)值仿真分析。

1) 單目標(biāo)情況

仿真條件：接收陣為8陣元的等間隔水平直線陣，相鄰陣元間距為0.25 m，目標(biāo)信號(hào)為2 900～3 100 Hz窄帶高斯白噪聲，背景噪聲為同樣帶寬的加性高斯白噪聲，信號(hào)與背景噪聲信噪比為SNR，模擬信號(hào)輸入方向?yàn)?00°。系統(tǒng)采樣率為20 kHz，一次處理長(zhǎng)度為1 s，TD-ESPRIT方法由一次快拍實(shí)現(xiàn)，ESPRIT方法所分頻率單元數(shù)為L(zhǎng)=200，每一頻率單元由20次快拍(每一次快拍包含2 000個(gè)采樣樣本)實(shí)現(xiàn)。

圖4為SNR=-18～4 dB情況下，由200次獨(dú)立統(tǒng)計(jì)所得常規(guī)波束形成方法(文中簡(jiǎn)稱為CBF方法)、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法的檢測(cè)目標(biāo)成功概率。圖5為SNR=-18～4 dB情況下，由CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法所得目標(biāo)方位估計(jì)均方根誤差(root Mean squared error，RMSE)，其具體公式為：

(19)

圖4 3種方法檢測(cè)目標(biāo)成功率Fig.4 Target detection success rate of three methods

圖5 3種方法所得方位估計(jì)均方根誤差Fig.5 Root mean square error of azimuth estimationof three methods

圖6 SNR=-16 dB，3種方法合成空間譜Fig.6 SNR=-16dB，Synthetic spatial spectrum of three methods

由圖4仿真結(jié)果可知，在檢測(cè)概率大于80%時(shí)，CBF方法對(duì)應(yīng)最低輸入信噪比SNR=-18 dB，TD-ESPRIT方法對(duì)應(yīng)最低輸入信噪比SNR=-16 dB，ESPRIT方法對(duì)應(yīng)最低輸入信噪比SNR=-11 dB，所以，對(duì)于檢測(cè)概率大于80%的同一檢測(cè)概率情況，雖然TD-ESPRIT方法相比CBF方法對(duì)最低輸入信噪比要求高了2 dB，但相比ESPRIT方法，TD-ESPRIT方法對(duì)最低輸入信噪比要求降低了5 dB；圖6結(jié)果也進(jìn)一步表明，在SNR=-16 dB時(shí)，ESPRIT方法已無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)有效檢測(cè)，而CBF方法和TD-ESPRIT方法還可有效對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)有效檢測(cè)，且相比CBF方法，TD-ESPRIT方法合成的空間譜只在目標(biāo)方位處存在譜線，便于提取。另外，由圖5可知，在RMSE <0.5°時(shí)，即在輸入信噪比SNR≥-14 dB時(shí)， 相比CBF方法和ESPRIT方法，TD-ESPRIT方法對(duì)目標(biāo)方位估計(jì)精度較高。該結(jié)果進(jìn)一步表明了在對(duì)檢測(cè)概率和目標(biāo)方位估計(jì)精度有較高要求時(shí)，TD-ESPRIT方法具有一定優(yōu)勢(shì)。

2) 雙目標(biāo)情況

對(duì)雙目標(biāo)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真中線陣條件、系統(tǒng)采樣率、數(shù)據(jù)處理情況與單目標(biāo)情況一致，雙目標(biāo)信號(hào)為等強(qiáng)度信號(hào)，信號(hào)均為2 900～3 100 Hz窄帶高斯白噪聲，相對(duì)線陣方位角分別為96°和100°。圖7為SNR=-6 dB情況下，分別由CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖。

圖7 CBF方法所得方位歷程圖Fig.7 Azimuth history of CBF

圖8 ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.8 Azimuth history of ESPRIT

圖9 TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.9 Azimuth history of TD-ESPRIT

由圖7—圖9結(jié)果可知，對(duì)于相鄰兩個(gè)目標(biāo)信號(hào)，在線陣孔徑有限和數(shù)據(jù)信噪比較低情況下，TD-ESPRIT方法未損失對(duì)兩目標(biāo)有效分辨，而CBF方法和ESPRIT方法已無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)兩目標(biāo)有效分辨，該結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了TD-ESPRIT方法的可行性。

另外，由式(18)處理過(guò)程可知，目標(biāo)方位值是通過(guò)求解對(duì)角矩陣φ的元素所得，只要目標(biāo)數(shù)目不大于對(duì)角矩陣φ的元素?cái)?shù)(即陣元數(shù)減1)，該方法同樣有效。受篇幅限制，在此不再進(jìn)行更多目標(biāo)數(shù)目情況的仿真分析說(shuō)明。

3) 計(jì)算復(fù)雜度

在該數(shù)值仿真數(shù)據(jù)處理中，TD-ESPRIT方法與ESPRIT方法計(jì)算量比較是在Intel(R) Core(TM) i7-7500U CPU@2.70 GHz 2.90 GHz的計(jì)算機(jī)上利用Matlab2014a的CPU TIME測(cè)出的。完成1次方位估計(jì)ESPRIT方法所需時(shí)間為0.323 s，TD-ESPRIT方法所需時(shí)間為0.035 s。該實(shí)驗(yàn)采樣率較高，由于TD-ESPRIT方法只對(duì)一次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，其計(jì)算量小于ESPRIT方法。

3.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理分析

為進(jìn)一步考核TD-ESPRIT方法性能，下面分別利用CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法對(duì)某次試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理并作對(duì)比。試驗(yàn)中，接收陣為等間距均勻分布的8陣元水平直線陣，陣元間距為0.25 m；處理數(shù)據(jù)帶寬為2 900～3 100 Hz，處理數(shù)據(jù)時(shí)間長(zhǎng)度為60 s；該時(shí)間段內(nèi)存在有2個(gè)相對(duì)運(yùn)行目標(biāo)。數(shù)據(jù)采樣率為20 kHz，ESPRIT方法的樣本協(xié)方差矩陣在每一時(shí)刻采用20 000個(gè)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，其具體估計(jì)方法：首先將數(shù)據(jù)分塊，每塊數(shù)據(jù)為2 000點(diǎn)，記為一次快拍樣本長(zhǎng)度，數(shù)據(jù)塊之間重疊1 000點(diǎn)，快拍數(shù)為20，做FFT后選取2 900～3 100 Hz頻段，對(duì)每個(gè)頻點(diǎn)分別作協(xié)方差估計(jì)。而TD-ESPRIT方法按2.2節(jié)所示流程采用1次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，由于2 900～3 100 Hz頻段為窄帶，數(shù)據(jù)處理中只進(jìn)行了一次濾波處理。圖10—圖12分別為CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法所得時(shí)間歷程圖。

圖10 CBF方法所得方位歷程圖Fig.10 Azimuth history of CBF

圖11 ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.11 Azimuth history of ESPRIT

圖12 TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.12 Azimuth history of TD-ESPRIT

由圖10—圖12可知，TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖顯示目標(biāo)航跡聚焦清晰，目標(biāo)方位明晰可辨，該結(jié)果進(jìn)一步證明了TD-ESPRIT方法在理論上和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理上的正確性。

4 結(jié)論

本文提出基于時(shí)域旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的目標(biāo)方位估計(jì)方法(TD-ESPRIT)。該方法利用兩次傅里葉變換對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)解析變換處理，獲取時(shí)域解析數(shù)據(jù)，并按窄帶劃分方式對(duì)其濾波處理；在不需要對(duì)解析數(shù)據(jù)做時(shí)延遲補(bǔ)償情況下，通過(guò)多個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)累積方式解決協(xié)方差矩陣估計(jì)所需快拍數(shù)問(wèn)題，得到協(xié)方差矩陣估計(jì)值；通過(guò)旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)該頻帶目標(biāo)方位估計(jì)。數(shù)值仿真及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明，相比頻域旋轉(zhuǎn)不變方法，本文方法保持對(duì)目標(biāo)方位估計(jì)精度前提下，在最低輸入信噪比要求上降低了5 dB，進(jìn)一步拓寬頻域旋轉(zhuǎn)不變方法在工程領(lǐng)域的實(shí)現(xiàn)方式。