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        基于d維單個(gè)量子態(tài)的半量子密鑰分發(fā)方案

        2022-07-07 08:02:26胡文文周日貴
        電子學(xué)報(bào) 2022年5期
        關(guān)鍵詞:效率測(cè)量信息

        胡文文,周日貴

        (1.上海海事大學(xué)信息工程學(xué)院,上海 201306;2.上海海事大學(xué)智能信息處理與量子智能計(jì)算研究中心,上海 201306)

        1 引言

        由于高性能量子計(jì)算機(jī)的研發(fā)和問(wèn)世,基于計(jì)算復(fù)雜性為基礎(chǔ)的經(jīng)典密碼體制不再具有可靠性,其安全性能被高效的量子算法攻破[1,2].基于Heisenberg 測(cè)不準(zhǔn)原理[3]和量子不可克隆定理[4]的基礎(chǔ),量子密碼學(xué)可以確保量子通信過(guò)程的絕對(duì)安全性.例如,著名的首個(gè)量子密鑰分發(fā)(Quantum Key Distribution,QKD)方案,即BB84協(xié)議[5],以及基于量子力學(xué)的量子秘密共享方案[6]和量子投票表決方案[7].傳統(tǒng)的QKD 方案[5,8,9]要求通信雙發(fā)都具有完全的量子能力,例如量子態(tài)的制備、存儲(chǔ)、測(cè)量等復(fù)雜操作.然而,由于量子資源的昂貴性,在構(gòu)建巨大的量子通信網(wǎng)絡(luò)時(shí)要求所有通信方都具備完全的量子能力是不切實(shí)際的.

        為克服上述困難,Boyer等[10]在2007年首次提出半量子密鑰分發(fā)(Semi-Quantum Key Distribution,SQKD)方案,其中發(fā)送方Alice具備完全的量子能力(稱為量子方),她可以制備任意單粒子的Z基量子態(tài)或X基量子態(tài),以及執(zhí)行單量子比特的Z(X)基測(cè)量操作.當(dāng)接收到Alice 發(fā)送的量子比特時(shí),接收方Bob 可以執(zhí)行兩種操作:(1)不對(duì)Alice 發(fā)送的量子比特實(shí)施任何操作并且將量子比特直接反射回發(fā)給Alice,稱為CTRL 操作;(2)基于Z基測(cè)量Alice 發(fā)送的量子比特并且制備和其測(cè)量結(jié)果相同的量子態(tài)回發(fā)給Alice,稱為SIFT 操作.可以看出,由于Bob 的量子能力是受限的,極大地降低了量子通信的代價(jià),從而使得SQKD 方案比QKD 方案在量子通信中更加實(shí)用.隨后2009 年,Boyer 等[11]提出一種新的基于隨機(jī)化的SQKD方案.基于Boyer 等的開創(chuàng)性工作,一系列采用不用量子技術(shù)的SQKD 方案被提出來(lái)[12~26].例如2009 年,Zou等提出5種采用少于4個(gè)量子態(tài)的SQKD方案[12];Zhang等[13]提出在一個(gè)量子方的輔助下,多個(gè)經(jīng)典方之間的SQKD 網(wǎng)絡(luò)方案.2011 年,Wang 等[14]提出基于兩粒子糾纏Bell 態(tài)的SQKD 方案.2014 年,Krawec 表明對(duì)于只使用單個(gè)量子比特的SQKD 方案[15],Eve 雙向信道的糾纏-測(cè)量攻擊等價(jià)于一種受限的反向信道的糾纏-測(cè)量攻擊;Yu 等[16]提出使用Bell 態(tài)而不需要使用經(jīng)典認(rèn)證信道的SQKD 方案.2015 年,Zou 等[17]提出經(jīng)典方Bob不需要量子測(cè)量能力的SQKD方案;Krawec[18]提出基于網(wǎng)絡(luò)中第三方量子服務(wù)器的兩個(gè)經(jīng)典方之間的SQKD方案.2018 年,Liu 等[22]提出基于網(wǎng)絡(luò)中第三方量子服務(wù)器并且兩個(gè)經(jīng)典方不需要量子測(cè)量能力的SQKD 方案.2019 年,Wang 等[24]提出使用單量子比特非對(duì)稱的SQKD 方案.最近,Ye等[25]提出利用單光子量子比特的極化偏振自由度和空間自由度同時(shí)編碼信息的SQKD方案.

        上述的SQKD 方案大多數(shù)是基于單量子比特資源實(shí)現(xiàn)的,并且所有的方案都是基于2維量子系統(tǒng)(qubit)設(shè)計(jì)的.與基于d維量子系統(tǒng)(qudit)設(shè)計(jì)的QKD 方案相比[27~30],其量子信道可以容納的信道噪音和單粒子可以傳輸?shù)拿荑€信息均有所不足.針對(duì)上述問(wèn)題,本文結(jié)合非對(duì)稱方式的SQKD 方案可以顯著提升方案效率和d維量子系統(tǒng)下的QKD 方案具有更優(yōu)性能,提出了基于d維量子系統(tǒng)下單個(gè)量子態(tài)的非對(duì)稱的SQKD 方案.該方案可以有效提升SQKD 方案的效率,單個(gè)量子態(tài)所傳輸?shù)男畔⑷萘?,以及量子信道中所能容納的噪音.

        2 提出的半量子密鑰分發(fā)方案

        在d維量子系統(tǒng)下,Z基和X基定義[31]如下:

        提出的SQKD方案的具體步驟如下:

        步驟1Alice 制備N個(gè)單粒子量子態(tài),其中N=(λ+κ+τ)(1+δ).相關(guān)參數(shù)的含義為:(1)δ>0 是一個(gè)固定的參數(shù)[10,11];(2)λ表示CTRL dits 的數(shù)目;(3)(κ+τ)表示SIFT dits 的數(shù)目,其中κ表示INFO dits 的長(zhǎng)度,τ表示TEST-Z dits的數(shù)目.

        為方便起見,在文中SIFT dits 表示Bob 執(zhí)行SIFT操作時(shí)對(duì)應(yīng)的qudits 的測(cè)量結(jié)果,CTRL dits 表示執(zhí)行CTRL操作時(shí)對(duì)應(yīng)的qudits的測(cè)量結(jié)果.

        步驟3Alice使用N個(gè)qudits的存儲(chǔ)器存儲(chǔ)Bob發(fā)送回來(lái)的qudits.

        步驟4當(dāng)Bob 確認(rèn)Alice 收到他發(fā)送的最后一個(gè)qudit后,Bob公開他的比特序列b.

        步驟5Alice 基于X基測(cè)量CTRL qudits.基于她的測(cè)量結(jié)果,Alice 檢查CTRL dits 的誤差.當(dāng)CTRL qudits的測(cè)量結(jié)果不是量子態(tài)時(shí),Alice認(rèn)為出現(xiàn)誤差.如果CTRL dits 的誤差超過(guò)信道噪音決定的閾值PC,Alice和Bob終止協(xié)議.

        步驟6Alice 采用Z基測(cè)量所有余下的qudits 并記錄相應(yīng)的測(cè)量結(jié)果.Alice從中隨機(jī)地選擇τ(1+δ)個(gè)測(cè)量結(jié)果作為TEST-Z dits.Alice 和Bob 檢測(cè)TEST-Z dits 中誤差.如果誤差大于信道噪音決定的閾值PTZ,Alice和Bob終止協(xié)議.

        步驟7Alice 和Bob 選擇余下的SIFT dits(近似κ(1+δ)個(gè)dits)作為信息序列(INFO dits).

        步驟8Alice 和Bob 采用誤差校正和隱私放大技術(shù)[32,33]從信息序列中提取出mdits 序列作為最終密鑰序列.

        值得注意的是,在本文方案中經(jīng)典方Bob采用類似于文獻(xiàn)[24,34]中的非對(duì)稱方法執(zhí)行CTRL和SIFT操作,并且假設(shè)當(dāng)N足夠大時(shí),參數(shù)κ?(λ+τ).此時(shí),Alice發(fā)送的大部分qudits 用于生成信息序列(INFO dits),只有一小部分qudits用于檢測(cè)方案的安全性,因此本方案效率可以達(dá)到近似100%.

        3 安全性分析

        3.1 截獲-重發(fā)和測(cè)量-重發(fā)攻擊

        在提出的SQKD 方案中,由于在前向量子信道中,Alice 發(fā)送給Bob 的qudits 都是相同的量子態(tài),并且不包含任何有關(guān)于密鑰的信息.于是,當(dāng)Eve 足夠聰明時(shí),Eve 采取的截獲-重發(fā)和測(cè)量-重發(fā)攻擊是不會(huì)攻擊前向量子信道.因此,在本文中假設(shè)Eve采取的截獲-重發(fā)和測(cè)量-重發(fā)攻擊只針對(duì)反向量子信道,即Bob 給Alice發(fā)送的量子態(tài).

        3.1.1 截獲-重發(fā)攻擊

        Eve 的截獲-重發(fā)攻擊可以描述為:Eve 攔截Bob 回發(fā)給Alice 的所有qudits,同時(shí)發(fā)送他自己制備的虛假qudits(假設(shè)隨機(jī)制備于單粒子量子態(tài)j∈{0,1,…,d-1})給Bob.于是,當(dāng)Bob 公布他的序列b后,Eve 使用正確的測(cè)量基測(cè)量可以得到SIFT dits 的信息.然而,由于Eve 事先并不知道Bob 的序列b的任何信息,并且他隨機(jī)制備的量子態(tài)和Bob 回發(fā)給Alice 的量子態(tài)必然存在不一致的情況,Eve 的攻擊必然會(huì)在CTRL dits和TEST-Z dits中引入誤差.具體分析如下:

        基于上述分析可以看出,對(duì)于每個(gè)用于檢測(cè)安全性的CRTL dit 和TEST-Z dit,Eve 的攻擊都會(huì)以的概率引入誤差.因此,本文提出的方案可以抵抗Eve 的截獲-重發(fā)攻擊.

        3.1.2 測(cè)量-重發(fā)攻擊

        Eve 的測(cè)量-重發(fā)攻擊可以描述為:Eve 攔截Bob 回發(fā)給Alice 的所有qudits 并且隨機(jī)地選擇Z基或X基測(cè)量,然后依據(jù)他的測(cè)量結(jié)果制備相應(yīng)的量子態(tài)發(fā)送給Alice.然而,由于Eve 事先并不知道Bob 的序列b的任何信息,他隨機(jī)選擇的測(cè)量基是獨(dú)立于Bob 的CTRL 操作和SIFT操作,Eve的攻擊必然會(huì)在CTRL dits和TESTZ dits中引入誤差.具體分析如下:

        基于上述分析可以看出,對(duì)于每個(gè)用于檢測(cè)安全性的CRTL dit 和TEST-Z dit,Eve 的攻擊都會(huì)以的概率引入誤差.因此,本文提出的方案可以抵抗Eve 的測(cè)量-重發(fā)攻擊.

        3.2 糾纏-測(cè)量攻擊

        Boyer 等[10,11]證明了他們提出的SQKD 方案是完全魯棒性的,可以抵抗Eve 的糾纏-測(cè)量攻擊.SQKD 方案的完全魯棒性是指竊聽者想要獲取密鑰的有關(guān)信息,他一定會(huì)在量子信道中引入誤差,從而能夠被通信雙方檢測(cè)到.同樣,本文證明提出的方案是完全魯棒性的,從而可以抵抗竊聽者Eve的糾纏-測(cè)量攻擊.

        因?yàn)镾QKD 方案采取雙向量子信道的傳輸方式,所以Eve 的糾纏附加粒子攻擊方式可以描述為(UF,UR)形式.本文提出的SQKD 方案過(guò)程和Eve 的糾纏-測(cè)量攻擊策略具體如圖1 所示,其中UF攻擊作用于前向量子信道,UR攻擊作用于反向量子信道.在Eve的攻擊方案中,假設(shè)他的輔助粒子的初始態(tài)為類似地,本文用表示Bob 的初始量子態(tài),用表示Alice 的初始量子態(tài).

        圖1 本文方案中Eve的糾纏-測(cè)量攻擊策略

        如圖1所示,Eve的反向信道攻擊UR可以依賴于他的前向信道攻擊UF,即前向攻擊和反向攻擊共享同一個(gè)輔助粒子,這可以通過(guò)文獻(xiàn)[9]中定義的受控移位門RC實(shí)現(xiàn),其算符表示如下:

        (2)如果bi=1,則Alice 和Bob 的聯(lián)合量子態(tài)可以表示為如下形式:

        其中,ci是一個(gè)復(fù)數(shù)并且滿足|ci|=1,并且Alice 和Bob復(fù)合量子態(tài)的密度矩陣形式表示如下:

        證明因?yàn)锳lice 只有在接收到Bob 發(fā)送的qudit后才發(fā)送下一個(gè)qudit,因此,所有她接收到的qudits 的密度矩陣可以描述為張量積形式,即ρA=

        (1)當(dāng)bi=0 時(shí),即第i個(gè)qudit 是CTRL qudit.于是,如果,則Alice 會(huì)以不為零的概率檢測(cè)到誤差.

        因此,基于引理1 可以知道,如果Eve 的攻擊(UF,UR)沒(méi)有在CTRL dits 和SIFT dits 中引入誤差,則Alice和Bob復(fù)合的量子態(tài)滿足如下形式:

        證明因?yàn)锳lice 只有在接收到Bob 發(fā)送的qudit后才發(fā)送下一個(gè)qudit,所以Eve 的攻擊每次只能作用在單個(gè)qudit 上.為了方便分析,假設(shè)用表示Eve作用于第i個(gè)qudit上的攻擊,并且只有在Alice接收到Bob發(fā)送的最后一個(gè)qudit之后,Bob才會(huì)公開他的比特序列b.因此,Eve 的攻擊(UF,UR)是獨(dú)立于比特序列b的.

        定理1本文提出的SQKD 方案是完全魯棒性的,即如果Eve 的攻擊(UF,UR)在CTRL dits 和SIFT dits 中沒(méi)有引入任何誤差,Eve無(wú)法獲取密鑰的任何信息.

        證明通過(guò)引理2 證明了本文提出的SQKD 方案是完全魯棒性的.

        3.3 特洛伊木馬攻擊

        由于本文提出的SQKD 方案采用雙向量子信道實(shí)現(xiàn),如果在本文方案中Alice 和Bob 之間經(jīng)量子信道傳輸?shù)膓udits 是基于單光子制備的,則為了避免Eve 的特洛伊木馬攻擊:經(jīng)典方Bob 需要使用相應(yīng)的波長(zhǎng)濾波器[35]以抵抗不可見光子的特洛伊木馬攻擊,以及光子分?jǐn)?shù)器抵抗延遲光子的特洛伊木馬攻擊[36].

        4 性能分析與比較

        表1 給出了本文方案和兩個(gè)類似的SQKD 方案[10,24]之間的分析和比較,包括量子系統(tǒng)的空間維度、Alice 制備的量子態(tài)類型、Bob 執(zhí)行的操作類型、Alice 是否需要量子存儲(chǔ)器和方案效率五個(gè)方面.類似于文獻(xiàn)[24]中SQKD 方案定義的效率,本文提出的SQKD 方案的效率定義為在反向量子信道傳輸過(guò)程中(即Bob 給Alice 回發(fā)qudits 的過(guò)程),用于生成信息粒子(INFO dits)的qudits 數(shù)目與Bob 回發(fā)給Alice 的所有qudits 數(shù)目的比值,即qudit 效率.基于此,本文提出的SQKD 方案的效率計(jì)算如下:

        其中,κ(1+δ)表示生成的INFO dits 的數(shù)目(即信息粒子數(shù)目),λ(1+δ)和τ(1+δ)分別表示生成的CTRL dits和TEST-Z dits 的數(shù)目,即用于量子信道安全性檢測(cè)的粒子數(shù)目為(λ+τ)(1+δ).

        如表1 所示,文獻(xiàn)[10,24]中的SQKD 方案都是使用2 維量子系統(tǒng),單個(gè)qubit 攜帶的信息容量為1 比特.本文提出的SQKD方案使用d維量子系統(tǒng),單個(gè)qudit可以攜帶的信息容量為log2d比特.因此,當(dāng)d的數(shù)值越大時(shí),本文方案可以分發(fā)的密鑰信息容量更大.例如,當(dāng)d=8 時(shí),盡管本文方案和文獻(xiàn)[24]中方案的效率相等,但在量子方Alice發(fā)送相同粒子數(shù)的條件下,本文方案分發(fā)的密鑰信息容量是文獻(xiàn)[24]的3 倍.此外,相比于文獻(xiàn)[10],本文方案只需要使用單個(gè)量子態(tài)而不需要使用4 種不同的量子態(tài),因此本文方案減少了量子方Alice制備的量子態(tài)類型.

        表1 三種半量子密鑰分發(fā)方案的比較

        表2 給出了本文方案和兩個(gè)高維量子系統(tǒng)下QKD方案[29,30]的分析和比較,包括量子系統(tǒng)的空間維度、量子信道、Alice 制備的量子態(tài)類型、Bob 的測(cè)量能力和方案效率五個(gè)方面.如表2 所示,本文方案和另外兩種方案之間的區(qū)別在于文獻(xiàn)[29,30]中的QKD 方案都是使用單向量子信道,即Bob 不需要通過(guò)量子信道向Alice發(fā)送量子態(tài),而本文提出的方案使用雙向量子信道,即Bob 在接收到Alice 發(fā)送的量子態(tài)之后需要通過(guò)反向信道給Alice 發(fā)送相應(yīng)的量子態(tài).正是因?yàn)槿绱?,本文方案降低了Bob的量子測(cè)量能力,他只需要執(zhí)行基于單個(gè)基底Z基的量子測(cè)量,而無(wú)需執(zhí)行多個(gè)基底下量子態(tài)的測(cè)量操作.此外,相比于另外兩種方案,本文方案明顯減少了Alice制備的量子態(tài)類型.盡管文獻(xiàn)[30]的QKD方案效率也可以達(dá)到近似100%,但是在該方案中Alice和Bob 需要使用少數(shù)額外的誘騙量子態(tài)序列來(lái)檢測(cè)信道的安全性,以及執(zhí)行復(fù)雜的量子操作:受控移位RC操作、量子傅里葉變換操作和量子逆傅里葉變換操作.相比之下,本文方案中信道的安全性檢測(cè)更加簡(jiǎn)單,通信雙方也無(wú)需執(zhí)行其它復(fù)雜的量子操作.綜上所述,相比于另外兩種高維量子系統(tǒng)下的QKD 方案,雖然本文提出的SQKD 方案需要通過(guò)雙向量子信道實(shí)現(xiàn),但是本文方案極大地減少了通信方Alice 制備的量子態(tài)類型,降低了通信方Bob對(duì)量子態(tài)的測(cè)量能力,以及無(wú)需執(zhí)行其它復(fù)雜的量子操作.

        表2 三種高維量子系統(tǒng)下量子密鑰分發(fā)方案的比較

        在表2 中文獻(xiàn)[29]中的基底Mi,i=0,1,2 中包含的4個(gè)量子態(tài)表示如下:

        值得注意的是在量子密鑰分發(fā)過(guò)程中,需要使用量子資源檢測(cè)量子信道的安全性,以此來(lái)保證信道中信息傳輸?shù)目煽啃?因此,表1 中給出的SQKD 方案[10,24]的qubit 效率和表2 中給出的QKD 方案[29,30]的qudit 效率及本文SQKD 方案的qudit 效率都不能達(dá)到100%.當(dāng)量子信道中傳輸?shù)牧孔恿W訑?shù)目非常大,但用于檢測(cè)量子信道安全性的粒子數(shù)目只占很小的一部分時(shí),SQKD 方案的qubit 效率[10,24]和QKD 方案的qudit效率[29,30]及本文SQKD 方案的qudit 效率都可以提升到近似100%.

        此外,在本文提出的SQKD 方案中,由于通信的經(jīng)典方Bob 采取非對(duì)稱方式執(zhí)行CTRL 和SIFT 操作,并且當(dāng)信道中傳輸?shù)膓udit 數(shù)目N足夠大時(shí)假設(shè)參數(shù)κ?(λ+τ).于是,在生成的信息粒子數(shù)目和檢測(cè)粒子數(shù)目都較少的情況下,可以假設(shè)κ>λ+τ.此時(shí),本文SQKD方案的qudit效率η0計(jì)算如下:

        從上述分析可以看出,在信息粒子數(shù)目和檢測(cè)粒子數(shù)目都較少的情況下,由于本文方案采取非對(duì)稱的通信方式,所以提出的SQKD 方案的qudit 效率超過(guò)了50%.例如,假設(shè)Alice 給Bob 發(fā)送的qudit 數(shù)目N=1000時(shí),Bob 從中隨機(jī)選取10%的qudit 執(zhí)行CTRL 操作,即λ(1+δ)=100,余下90%的qudit 執(zhí)行SIFT 操作,即(κ+τ)(1+δ)=900,并且從SIFT qudit 中隨機(jī)地選擇10%的qudit 作為TEST-Z qudit,即τ(1+δ)=90.此時(shí),本文方案的qudit效率η0=81%.

        5 結(jié)束語(yǔ)

        依據(jù)d維量子系統(tǒng)下單個(gè)量子態(tài)的疊加特性,本文提出了非對(duì)稱的半量子密鑰分發(fā)方案,突破了現(xiàn)有2維量子系統(tǒng)下的半量子密鑰分發(fā)方案.在本文方案中,基于經(jīng)典方Bob 執(zhí)行非對(duì)稱的CTRL 和SIFT 操作,方案效率可以達(dá)到近似100%.安全性分析表明該方案可以抵抗常見的截獲-重發(fā)、測(cè)量-重發(fā)、糾纏-測(cè)量和特洛伊木馬攻擊.性能分析表明,隨著維度d的增大,該方案可以傳輸?shù)拿荑€信息容量會(huì)更大.方案的不足之處在于,由于半量子密鑰分發(fā)方案使用雙向量子信道,以及在d維量子系統(tǒng)下糾纏-測(cè)量攻擊的復(fù)雜性,本文未能從信息理論層面上證明該方案的絕對(duì)安全性,以及計(jì)算通信過(guò)程中量子信道所能容納的噪音上限.

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