高 雅，吳洪博

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西西安 710062）

1 引言

根據(jù)研究方法的不同，拓?fù)淅碚摰难芯糠譃閮纱髮W(xué)派：有點(diǎn)化學(xué)派和無點(diǎn)化學(xué)派［1～5］.王國俊教授在序結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上建立的模糊拓?fù)鋵W(xué)和拓?fù)浞肿痈窭碚撌菍烧呷诤系拇恚?～8］.文獻(xiàn)［9～12］結(jié)合一般拓?fù)鋵W(xué)的研究方法對Locale 理論的連通性質(zhì)等進(jìn)行了研究.1989年，Steven Vickers 將Locale 理論與一般拓?fù)淅碚摻Y(jié)合為一體，在文獻(xiàn)［13］中引進(jìn)的一種新型的拓?fù)鋵W(xué)研究對象：拓?fù)湎到y(tǒng)，并從格序理論方面對拓?fù)湎到y(tǒng)的性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行了討論.目前，我國學(xué)者主要從點(diǎn)集拓?fù)淅碚摲矫鎸ν負(fù)湎到y(tǒng)的性質(zhì)及相關(guān)問題進(jìn)行研究，并且取得了一些相關(guān)成果［14～24］.

從目前的研究結(jié)果看，拓?fù)湎到y(tǒng)中的閉集是通過拓?fù)湎到y(tǒng)空間化形式中的開集取補(bǔ)定義的［16～19］，因此其結(jié)果適用于空間式拓?fù)湎到y(tǒng)，但未必適用于一般的拓?fù)湎到y(tǒng).因此，本文引入了拓?fù)湎到y(tǒng)的對偶拓?fù)湎到y(tǒng)—閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)，并取得了一些相關(guān)的結(jié)果.

2 預(yù)備知識

定義1［1］設(shè)P是集合，“≤”是P上的二元關(guān)系.若(P，≤)滿足以下條件：

（1）?a∈P，a≤a.

（2）?a，b∈P，若a≤b，b≤a，則a=b.

（3）?a，b，c∈P，若a≤b，b≤c，則a≤c.

則稱(P，≤)是偏序集.

定義2［1］余FrameA是一個滿足以下條件的偏序集：

（1）?S?finA，S的上確界存在，即∨S存在；

（2）?S?A，S的下確界存在，即∧S存在；

（3）滿足第二無限分配律，即，?a∈A，?S?A，有a∨(∧S)=∧{a∨s：s∈S}.

注1［1］（1）本文中S?finA表示S是A中的有限子集；（2）由于余Frame是滿足第二無限分配律的完備格，將其中最大元記作1，最小元記作0.

定義3［1］設(shè)A，B是余Frame.若映射f：A→B滿足以下條件：

（1）?S?finA，f(∨S)=∨f(S);

（2）?S?A，f(∧S)=∧f(S).

則稱f：A→B是余Frame同態(tài).

3 由閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)及相關(guān)性質(zhì)

定義4設(shè)A是余Frame，X是集合，??X×A，將(x，a) ∈?記作x?a.若?x∈X

（1）?S?finA，x?∨S??a∈S，x?a；

（2）?S?A，x?∧S??a∈S，x?a.

則稱(X，A，?)為閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)，余FrameA中的元素稱為拓?fù)湎到y(tǒng)中的閉元.

在本文中，將閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)(X，A，?)記為D，將X記為PtD，將A記為ΩD.

引理1設(shè)D=(PtD，ΩD，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)，1，0分別是ΩD的最大元和最小元.?a，b∈ΩD，則：

（1）?x∈PtD，x?1；

（2）?x∈PtD，x| ≠0；

（3）若x?a，a≤b，則x?b.

證明根據(jù)定義4易證.略.

定義5設(shè)D=(PtD，ΩD，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng).定義映射ex：ΩD→2PtD如下：?a∈ΩD

?a∈ΩD，稱ex(a)為a的余范圍.

定理1設(shè)D=(PtD，ΩD，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng).令Ω(PtD)={ex(a)：a∈ΩD}，則集族Ω(PtD)對有限并運(yùn)算和任意交運(yùn)算封閉，并且

（1）ex(0)=?，ex(1)=PtD；

（2）?a，b∈ΩD，ex(a) ∪ex(b)=ex(a∨b)；

（3）?S?ΩD，∩{ex(s)：s∈S}=ex(∧S).

證明（1）由引理1可證.略.

（2）?x∈PtD，結(jié)合定義4，定義5，

x∈ex(a) ∪ex(b) ?(x∈ex(a)或x∈ex(b)) ?

(x?a或x?b) ?x?a∨b?x∈ex(a∨b).

因此，?a，b∈ΩD，ex(a) ∪ex(b)=ex(a∨b).

（3）?x∈PtD，結(jié)合定義4，定義5，

x∈∩{ex(s)：s∈S}?(?s∈S，x∈ex(s)) ?

(?s∈S，x?s) ?x?∧S?x∈ex(∧S).

因此，?S?ΩD，∩{ex(s)：s∈S}=ex(∧S).

由于ΩD是完備格，因此，a∨b∈ΩD，∧S∈ΩD.結(jié)合（1）～（3）可知：集族Ω(PtD)對有限并運(yùn)算和任意交運(yùn)算封閉.

引理2在閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D=(PtD，ΩD，?)中，映射ex：ΩD→2PtD是保序映射.

證明由引理1（3）易證.略.

4 閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)中的閉包元及性質(zhì)

定義6在閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D=(PtD，ΩD，?)中，定義

稱該映射為拓?fù)湎到y(tǒng)D的閉包映射，并稱為集合A在拓?fù)湎到y(tǒng)D=(PtD，ΩD，?)中的閉包元.

定理2在閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D=(PtD，ΩD，?)中，閉包元有如下的性質(zhì)：

因此，x|≠∧{a：a∈ΩD，A?ex(a)}.從而由定義4（2）可知：?a∈ΩD，使得A?ex(a)，且x|≠a.

因此有A?ex(a)，且x?ex(a).因此，x?A.

綜上可知：?A?PtD，A?ex().

（3）首先，由于A?A∪B，因此，{a：a∈ΩD，A?ex(a)}?{a：a∈ΩD，A∪B?ex(a)}.因此，

結(jié)合引理2和定理2（2）得：

（5）首先，?A?PtD，a∈ΩD.

利用上面這個結(jié)論可得：?A?PtD，

注2在閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D=(PtD，ΩD，?)中，關(guān)于閉包元有如下的結(jié)論：

5 Kuratovski閉包定理

定義7(Kuratovski 閉包算子)設(shè)X是非空集合，L是余Frame.雙映射Ex：L→2X，Cl：2X→L滿足條件：

（1）?a，b∈L，Ex(a∨b)=Ex(a) ∪Ex(b)；

（2）Cl(?)=0，Ex(0)=?；

（3）?A?X，A?Ex(Cl(A))；

（4）?A，B?X，Cl(A) ∨Cl(B)=Cl(A∪B)；

（5）?a∈L，Cl(Ex(a)) ≤a.

則稱(Ex，Cl)是(X，L)上的Kuratovski閉包算子.

引理3設(shè)X是非空集合，L是余Frame，(Ex，Cl)是(X，L)上的Kuratovski閉包算子.則

（1）?a，b∈L，若a≤b，則Ex(a) ?Ex(b)；

（2）?A，B∈2X，若A?B，則Cl(A) ≤Cl(B)；

（3）?A∈2X，Cl(Ex(Cl(A)))=Cl(A)；

（4）?a∈L，Ex(Cl(Ex(a)))=Ex(a).

證明（1）結(jié)合定義7（1）可證.略.

（2）結(jié)合定義7（4）可證.略.

（3）結(jié)合定義7（3）可得：Cl(Ex(Cl(A))) ≥Cl(A)；再由定義7（5）得：Cl(Ex(Cl(A))) ≤Cl(A).

綜合兩不等式得：Cl(Ex(Cl(A)))=Cl(A).

（4）由定義7（3）得：Ex(a) ?Ex(Cl(Ex(a)))；

其次，結(jié)合定義7（5）得：Ex(a) ?Ex(Cl(Ex(a))).

所以，Ex(Cl(Ex(a)))=Ex(a).

引理4設(shè)X是非空集合，L是余Frame，(Ex，Cl)是(X，L) 上的Kuratovski 閉包算子.則集族F={A∈2X|Ex(Cl(A))=A}是集合X上相對于某拓?fù)涞拈]集族.

證明（1）由定義7（2）得：Ex(Cl(?))=Ex(0)=?，因此，?∈F；再由定義7（3）得：X?Ex(Cl(X))，

所以，X=Ex(Cl(X))，根據(jù)F定義得：X∈F；

（2）設(shè)A，B∈F.則A=Ex(Cl(A))，B=Ex(Cl(B)).

結(jié)合定義7（1）、（4）得：

根據(jù)F定義得：A∪B∈F；

（3）設(shè){Aj|j∈J}?F，則

由（1）～（3）知：集族F={A∈2X|Ex(Cl(A))=A}是集合X上相對于某拓?fù)涞拈]集族.

引理5設(shè)X是非空集合，L是余Frame，(Ex，Cl)是(X，L) 上 的Kuratovski 閉包算子.則Ex：L→2X是 余Frame同態(tài).

證明（1）?a，b∈L，根據(jù)定義7（1）可得：

Ex(a∨b)=Ex(a) ∪Ex(b)；

（2）?{aj|j∈J}?L.

由于?j∈J，aj≥∧{aj|j∈J}.結(jié)合引理3（1）得：?j∈J，Ex(aj) ?Ex(∧{aj|j∈J}).則

又由于?j∈J，∩{Ex(aj)|j∈J}?Ex(aj).由引理3（2）得：?j∈J，

再由定義7（5）得：?j∈J，Cl(Ex(aj)) ≤aj.

將兩者結(jié)合得：?j∈J，Cl(∩{Ex(aj)|j∈J})≤aj.

因此，Cl(∩{Ex(aj)|j∈J}) ≤∧{aj|j∈J}.

結(jié)合引理3（1）得：

再由定義7（3）得：

∩{Ex(aj)|j∈J}?Ex(Cl(∩{Ex(aj)|j∈J}))，因此，∩{Ex(aj)|j∈J}?Ex(∧{aj|j∈J}).

結(jié)合兩式得 ：Ex(∧{aj|j∈J})=∩{Ex(aj)|j∈J}.

根據(jù)定義3知Ex：L→2X是余Frame同態(tài).

引理6設(shè)X是非空集合，L是余Frame，(Ex，Cl)是(X，L)上的Kuratovski 閉包算子.定義從X到L的二元關(guān)系"?"如下：?(x，a) ∈X×L，

則(X，L，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng).

證明由引理5知：Ex：L→2X是余Frame同態(tài).結(jié)合"?"的定義得：

（1）?a，b∈L，?x∈X，

x?a∨b，當(dāng)且僅當(dāng)x∈Ex(a∨b)，當(dāng)且僅當(dāng)x∈Ex(a) ∪Ex(b)，當(dāng)且僅當(dāng)x∈Ex(a)或x∈Ex(b)，當(dāng)且僅當(dāng)x?a或x?b；

（2）?S?L，?x∈X，

x?∧S，當(dāng)且僅當(dāng)x∈Ex(∧S)，當(dāng)且僅當(dāng)x∈∩{Ex(s)：s∈S}，當(dāng)且僅當(dāng)?s∈S，x∈Ex(s)，當(dāng)且僅當(dāng)?s∈S，x?s.

根據(jù)定義4知：(X，L，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng).

定理5(Kuratovski閉包算子定理)設(shè)X是非空集合，L是余Frame，(Ex，Cl)是(X，L)上的Kuratovski 閉包算子.則存在唯一的閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D=(X，L，?)使得在該拓?fù)湎到y(tǒng)中

證明設(shè)X是非空集合，L是余Frame，(Ex，Cl)是(X，L)上的Kuratovski 閉包算子.定義從X到L的二元關(guān)系"?"如下：?(x，a) ∈X×L，

則由引理5 知Ex：L→2X是余Frame 同態(tài)，由引理6知D=(X，L，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng).

由定義7（3）知：A?Ex(Cl(A))，又Cl(A) ∈L，則Cl(A) ∈{a：a∈L，A?Ex(a)}；

又?a∈L，若A?Ex(a)，則結(jié)合引理3（2）可得：Cl(A) ≤Cl(Ex(a))；又由定義7（5）得：

綜合兩方面知：Cl(A)=∧{a：a∈L，A?Ex(a)}.

因此，結(jié)合定義6知：在閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)(X，L，?)中，

下面證明滿足條件的閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D=(X，L，?)的唯一性.

若閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D1=(X，L，?1)也滿足因此，在閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)D1=(X，L，?1)中，?a∈L，有

因此，?a∈L，Ex(Cl(ex1(a))) ?Ex(a).

又根據(jù)定義7（3）得：ex1(a) ?Ex(Cl(ex1(a)))，

所以，?a∈L，ex1(a) ?Ex(a)；

又由定義7（5）得：?a∈L，Cl(Ex(a)) ≤a，再結(jié)合

所以，?a∈L，ex1(a) ?Ex(a).

綜合以上兩方面得：?a∈L，ex1(a)=Ex(a).

再證?1=?.?a∈L，?x∈X.

由定義5，引理6得：x?1a，當(dāng)且僅當(dāng)x∈ex1(a)，

當(dāng)且僅當(dāng)x∈Ex(a)，當(dāng)且僅當(dāng)x?a.

所以，?1=?.

從而，兩個閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)是一致的.

6 連續(xù)映射的等價刻畫

本節(jié)根據(jù)拓?fù)湎到y(tǒng)與閉元確定拓?fù)湎到y(tǒng)對稱性的特點(diǎn)，給出閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)之間連續(xù)映射的定義，并利用閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)中的閉包元對連續(xù)映射進(jìn)行等價刻畫.

定義8設(shè)D=(PtD，ΩD，?)，E=(PtE，ΩE，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)，映射Ptf：PtD→PtE和余Frame態(tài)射Ωf：ΩE→ΩD構(gòu)成的偶對(Ptf，Ωf)稱為從拓?fù)湎到y(tǒng)D=(PtD，ΩD，?)到拓?fù)湎到y(tǒng)E=(PtE，ΩE，?)的映射，記作f：D→E.

再 若?x∈PtD，?b∈ΩE，x?Ωf(b) 當(dāng)且僅當(dāng)Ptf(x)?b，則稱f：D→E是連續(xù)映射.

定理6設(shè)D=(PtD，ΩD，?)，E=(PtE，ΩE，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)，映射f：D→E連續(xù)的充分必要條件是：?b∈ΩE，ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b)).

證明必要性.?b∈ΩE，?x∈PtD，根據(jù)定義5，定義8，以及f：D→E連續(xù)可知：

x∈ex(Ωf(b))，當(dāng)且僅當(dāng)x?Ωf(b)，

當(dāng)且僅當(dāng)Ptf(x)?b，當(dāng)且僅當(dāng)Ptf(x) ∈ex(b)，

當(dāng)且僅當(dāng)x∈(Ptf)-1(ex(b)).

因此，?b∈ΩE，ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b)).

充分性.?b∈ΩE，?x∈PtD.根據(jù)定義5，以及等式ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b))可知：

x?Ωf(b)，當(dāng)且僅當(dāng)x∈ex(Ωf(b))，當(dāng)且僅當(dāng)

x∈(Ptf)-1(ex(b))，當(dāng)且僅當(dāng)Ptf(x) ∈ex(b)，

當(dāng)且僅當(dāng)Ptf(x)?b.

綜合以上結(jié)果得x?Ωf(b)當(dāng)且僅當(dāng)Ptf(x)?b.

因此，映射f：D→E是連續(xù)映射.

定理7設(shè)D=(PtD，ΩD，?)，E=(PtE，ΩE，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)，f：D→E是連續(xù)映射.則以下結(jié)論成立：

證明（1）?F?PtE，?x∈PtD.

由定義6 可知：?b∈ΩE使得F?ex(b)，且Ptf(x) ?ex(b).所以，?b∈ΩE使得

(Ptf)-1(F) ?(Ptf)-1(ex(b))且x?(Ptf)-1(ex(b)).

由 于f：D→E是連續(xù)映射，由定理6 可得ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b)).所以，?b∈ΩE使得

(Ptf)-1(F) ?ex(Ωf(b))且x?ex(Ωf(b)).

推論1設(shè)D=(PtD，ΩD，?)，E=(PtE，ΩE，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng)，?F?PtE.則

證明結(jié)合定理7中（1）、（2）直接可得.

定理8設(shè)D=(PtD，ΩD，?)，E=(PtE，ΩE，?)是閉元確定的拓?fù)湎到y(tǒng).映射f：D→E連續(xù)的充分必要條件是下面（1）和（2）同時成立：

證明必要性.根據(jù)定理7（2）、（3）直接可得.

充分性.?b∈ΩE，則?ex(b) ?PtE，代入（1）得：

再根據(jù)定理2（4）可得：

綜合上面的等式得：?b∈ΩE，

根據(jù)定理6得：映射f：D→E是連續(xù)的.

注3若f：D→E是拓?fù)湎到y(tǒng)D=(PtD，ΩD，?)到拓?fù)湎到y(tǒng)E=(PtE，ΩE，?)之間的連續(xù)映射，由推論1知：?F?PtE，

這個結(jié)論不是兩個拓?fù)湎到y(tǒng)之間映射f：D→E連續(xù)的充分條件，但這個結(jié)論是相應(yīng)的兩個拓?fù)湎到y(tǒng)空間化形式之間映射連續(xù)的充分必要條件［1］.這個結(jié)論體現(xiàn)了拓?fù)湎到y(tǒng)中閉包元的作用是點(diǎn)集部分的閉集所不能取代的.