文|慕振亮（特級教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

青島版五四制五年級下冊總復(fù)習(xí)第123頁“圖形的認(rèn)識與測量”。

【教學(xué)過程】

一、知識整理，導(dǎo)入課題

師：今天這節(jié)課，我們對立體圖形表面積和體積這一單元的知識進(jìn)行回顧與整理。課前已經(jīng)布置對立體圖形進(jìn)行自主梳理總結(jié)復(fù)習(xí)。下面我們一起來匯報交流一下，想一想，我們都研究過了哪些立體圖形？

生：長方體、正方體、球體、圓柱體和圓錐等。

1.回顧整理立體圖形的體積。

師：我們先來復(fù)習(xí)立體圖形的體積，下面請同學(xué)們回顧一下我們學(xué)過哪些立體圖形的體積計算公式及它們的推導(dǎo)過程？

生：我們在研究長方體的體積計算公式時，用擺小正方體的方法，一行擺幾個，就是長方體的長；擺幾行就是長方體的寬；再看擺幾層，就是長方體的高。這樣就得出長方體體積計算公式：長方體的體積=長×寬×高。

師：通過拼擺小正方體推導(dǎo)出長方體的體積計算公式，那正方體的體積計算公式呢？

生：也是用擺小正方體的方法，由于正方體是特殊的長方體，當(dāng)長方體的長、寬、高都相等時，這時就是棱長，所以正方體的體積=棱長×棱長×棱長。

師：我們是怎樣推導(dǎo)出圓柱的體積計算公式呢？

生：我們推導(dǎo)圓的面積計算公式時，將圓形轉(zhuǎn)化成長方形。依此類推，我們把圓柱體積轉(zhuǎn)化成長方體體積，長方體的底面積就是圓柱的底面積，長方體的高就是圓柱的高。長方體的體積=底面積×高，所以圓柱的體積也是底面積×高。

師：圓錐的體積公式又是如何推導(dǎo)來的呢？

生：我們用做實驗的方法得出圓錐的計算公式。把一個圓錐容器倒?jié)M沙子，倒入與它等底等高的圓柱體容器里，發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是等底等高圓柱體積的三分之一，從而得出圓錐的體積公式。

2.回顧整理立體圖形的表面積。

師：剛才我們對立體圖形體積進(jìn)行了系統(tǒng)的回顧和整理，我們一起再來復(fù)習(xí)立體圖形的表面積，由于圓錐的表面積比較復(fù)雜，初中以后我們再繼續(xù)研究。

生：長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2。

生：正方體的表面積=棱長×棱長×6。

師：圓柱的表面積公式是怎樣得來的？

生：圓柱是由兩個底面加一個側(cè)面組成。底面積就是圓的面積。圓柱的側(cè)面展開后是一個長方形，長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高，長方形面積就是圓柱側(cè)面積。從而推導(dǎo)出圓柱的側(cè)面積等于底面周長×高。得出圓柱的表面積＝側(cè)面積+底面積×2。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生自主梳理知識，形成知識網(wǎng)絡(luò)，掌握“通法”，在回顧的過程中把知識進(jìn)行串聯(lián)，讓復(fù)習(xí)課有新意不枯燥?；貞泴W(xué)過的立體圖形的體積，在回顧立體圖形體積計算公式的推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想的運用以及立體圖形中長方體、正方體、圓柱體體積之間的相通性。通過創(chuàng)設(shè)實際問題使學(xué)生在應(yīng)用過程中進(jìn)一步加深對基礎(chǔ)知識的理解，增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)用意識?！?/p>

二、系統(tǒng)梳理，串聯(lián)知識

師：剛才我們一起回顧了立體圖形體積計算公式的推導(dǎo)過程，觀察一下這些立體圖形體積計算公式之間有怎樣的聯(lián)系呢？

生：我覺得長方體、正方體和圓柱是有聯(lián)系的，如果都以底面為底，向上平移就會得到這樣直直的柱體，根據(jù)體積=底面積×高來求這樣直柱體的體積。

生：它們有共同的字母體積計算公式：V=Sh。

生：通過做實驗的方法，我發(fā)現(xiàn)等底等高的圓錐的體積是圓柱體體積的。

師：像這樣上下一樣的直柱體，體積都是底面積×高，而圓錐不屬于直柱體，同底等高的圓錐體積是圓柱體體積的。長方體、正方體、圓柱的體積公式都可以用V=sh表示，這幾種圖形的表面積的計算方法有沒有一定的聯(lián)系呢？

生：圓柱的表面積由3個面組成的，長方體和正方體都由6個面組成的。圓柱的表面積等于側(cè)面積加上兩個底面積。長方體的表面積=（底面+左面+前面）×2。

師：如果把這些立體圖形展開，觀察一下立體圖形的側(cè)面積，你有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

生：底面的形狀不同。它們的側(cè)面沿高展開都是長方形，長方形的長相當(dāng)于立體圖形的底面周長，長方形的寬相當(dāng)于立體圖形的高。它們的表面積都可以用側(cè)面積加兩個底面積得到。有共同的側(cè)面積計算公式，側(cè)面積＝底面周長×高。

生：我們家裝修給衛(wèi)生間貼瓷磚，裝修工人要測量衛(wèi)生間4面墻的面積時，用卷尺繞著底面的四條邊一圈，測量出周長來，然后量出高，用底面周長×高得出側(cè)面積，硬硬的墻面如果想象成軟軟的平面，就是一個大長方形。

師：同學(xué)們真會動腦思考，有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的眼睛。剛才對這部分知識進(jìn)行了整理，想一想，你是怎樣整理的？有什么感受？

生：課前我根據(jù)老師布置的任務(wù)要求，回去自主整理相關(guān)立體圖形知識，做成海報形式。

生：我是畫了一個思維導(dǎo)圖的形式來呈現(xiàn)，將立體圖形從形狀、特征、表面積、體積幾個部分整理完后，我最大的感受是知識是連貫的，像一棵大樹一樣有根、有枝、有蔓，成為一個體系。

【設(shè)計意圖：在回顧中整理，在整理中串聯(lián)，在串聯(lián)中思考，在這樣的情境下，學(xué)生并不是進(jìn)行簡單喚醒回顧。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生基于生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗，從低階思維走向高階思維，回顧過程中學(xué)生不僅收獲了知識，更主要掌握復(fù)習(xí)的方法，培養(yǎng)了學(xué)生整理問題的意識和能力，發(fā)展知識遷移和應(yīng)用的能力?！?/p>

三、拓展提升，鞏固應(yīng)用

1.有一個長方體玻璃魚缸，由5塊玻璃板圍成，在運輸?shù)倪^程中，不小心壓碎了，而且破損幾塊看不清楚，只剩下兩塊完整的，一塊長10分米，寬8分米；一塊長10分米，寬5分米。

師：你能推斷出這個長方體魚缸有多大容積嗎？

生：根據(jù)分析可以得出這兩個面是相鄰的兩個面，可以推斷出長方體的長寬高分別是10分米、8分米、5分米，所以長方體魚缸的體積是10×8×5=400立方分米。

師：剛才我們觀察長方體有6個面，減少到剩下兩個面我們依然能推想出長方體的大小，如果只給一張紙，你還能想辦法得到一個長方體嗎？

2.一張長是20厘米，寬是14厘米的長方形紙，從長方形紙的四個角剪去同樣大小的正方形，用剩下的紙折成一個無蓋的長方體小紙盒。（1）如果剪去的正方形邊長分別是1、2、3、4……厘米，表面積和體積分別是多少呢？（2）剪去的正方形越大，盒子的容積怎么變？

生：因為小正方形的邊長在這里相當(dāng)于折成新長方體的高，如果剪去的正方形的邊長是1厘米，所以確定它的高是1厘米，長是18厘米，寬是12厘米。

生：長方體的表面積=18×12+（18×1+12×1）×2=276（平方厘米）。

生：我想到從一張整體的長方形紙上減去4個正方形，剩余圖形的表面積就是新折成長方體的表面積，算式表示20×14-1×1×4=276（平方厘米）。

師：老師觀察同學(xué)們通常想到第一種方法比較多，很少有人想到第二種方法，換個角度看問題，往往會有意想不到的收獲。

生：我算出長方體的體積=18×12×1=216（立方厘米）。

師：這是在長方形紙的四個角剪去邊長是1厘米的正方形時的結(jié)論。還有不同的剪法嗎？誰來說說你得出的結(jié)果？

生：我剪去邊長是2厘米，表面積是264平方厘米，體積是320立方厘米。

生：我剪去邊長是3厘米，表面積是244平方厘米，體積是336立方厘米。

師：下面我把同學(xué)們匯報的各種情況整理成表，此時觀察這幾組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？你推想可能會是什么情況？

?

生：我發(fā)現(xiàn)剪去的正方形的邊長逐漸增加，紙盒的表面積逐漸變小，體積變化沒有明顯的變化規(guī)律。

生：我不同意這種觀點，當(dāng)剪去的邊長是3厘米時，表面積是244平方厘米，體積是336立方厘米。表面積還是繼續(xù)變小，體積這時是最大的，再往后邊長雖然長了，體積卻開始變小了。

師：哪位同學(xué)又有新的發(fā)現(xiàn)？這里面的道理是什么呢？

生：因為隨著邊長越大，四個角的正方形的面積越大，也就是剩下的表面積變得越來越小，所以邊長越大，表面積越小。但是隨著四個角的邊長變大，長方體的體積變得也越來越大。剪去的邊長也就是長方體的高長到一定的程度時，高越長，長方體的長和寬會變小，但是長方體的體積是由長寬高三個因素決定的，所以當(dāng)?shù)走吋羧ヌ髸r，體積反而會變小。

師：我們一起通過超級畫板來演示一下，一起來驗證剛才我們通過計算得出的結(jié)論。

通過動態(tài)的課件展示學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

【設(shè)計意圖：雙減背景下的復(fù)習(xí)課到底應(yīng)該有怎樣的目標(biāo)定位？如果僅僅從看看公式做做題的視角上看，是起不到鍛煉思維、發(fā)展能力的目的。復(fù)習(xí)課的順序應(yīng)該經(jīng)歷一個先“復(fù)”再“習(xí)”的建構(gòu)過程。復(fù)盤的是原有知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)。習(xí)的是學(xué)生基于原點引出生長點，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生的空間觀念和批判性思維。從基礎(chǔ)練習(xí)到有難度的變式練習(xí)，從單一平面走向立體空間，學(xué)生在二維到三維空間的切換是有困難的，對突破發(fā)展立體空間的想象能力方面有難度的，所以在設(shè)計時，選擇了最后一道剪紙盒題目，在學(xué)生已有的長方體體積和表面積基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究立體圖形與平面圖形的關(guān)系。幫助學(xué)生從二維平面到三維空間轉(zhuǎn)換，借助超級畫板輔助學(xué)生進(jìn)行辨析與比較，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，發(fā)展學(xué)生空間觀念，體會極限數(shù)學(xué)思想?！?/p>