周學(xué)勇, 劉爽, 李永鳳

(1.信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南信陽 464000;2.鄭州輕工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南鄭州 450001)

1.引言

結(jié)合傳染病動力學(xué)[1]和種群動力學(xué)[2]的生態(tài)-流行病模型是探究疾病在種群內(nèi)傳播和發(fā)展規(guī)律的重要工具[3?4].本文研究一類具有修正的Leslie-Gower功能反應(yīng)的生態(tài)流行病模型:

其中S(t), I(t)分別表示食餌中易感者和染病者在t時刻的密度, y(t)表示t時刻捕食者的密度.參數(shù)β, r, μ, η, a2, c1, c2, K, k1和k2均為正常數(shù).β表示傳染率, r表示食餌易感者的內(nèi)稟增長率, K為食餌的環(huán)境容納量, μ表示染病食餌的死亡率, η為恢復(fù)率, a2為捕食者的內(nèi)稟增長率,c1為易感食餌的平均被捕獲率, c2為捕食者的平均減少率, k1(k2)為環(huán)境對易感食餌(捕食者)提供保護(hù)的程度.

系統(tǒng)(1.1)的初值條件為

2.系統(tǒng)(1.1)的動力學(xué)性質(zhì)

定理2.1系統(tǒng)(1.1)滿足初始條件(1.2)的解是正不變的.

證因為所以系統(tǒng)(1.1)滿足初始條件(1.2)的解是正不變的.

定理2.2系統(tǒng)(1.1)滿足初始條件(1.2)的解滿足

證分兩種情形去證.

(I) 當(dāng)初始條件S(0)+I(0)≥K時:

若S(t)+I(t)≥K對任意的t ≥0均成立, 由系統(tǒng)(1.1)的前兩個方程知, 對所有的t ≥0有

假設(shè)ζ >K, 因為S(t)+I(t)滿足Barbalat引理[5], 所以

顯然構(gòu)成矛盾.所以假設(shè)ζ >K不成立, 故有

若對任意的t ≥0, S(t)+I(t)≥K不成立, 則存在t0≥0, 在第一個時間有S(t0)+I(t0)=K.由系統(tǒng)(1.1)的前兩個方程得

這意味著, 一旦S(t)+I(t)進(jìn)入?yún)^(qū)間(0,K), 那么對所有的t ≥t0它將仍然有界.即: 對所有的t ≥t0有S(t)+I(t)≤K.

(II) 當(dāng)S(0)+I(0) ≤K時, 利用(I)的相似的推導(dǎo)過程可知, 對任意的t ≥0, S(t)+I(t) ≤K成立.

定理2.3存在M >0, 使得對系統(tǒng)(1.1)的任意解(S(t),I(t),y(t))有: 對充分大的t, y(t)

證由定理2.2知, 對滿足S(0)+I(0)≥K的初值(S(0),I(0),y(0)), 存在t0>0有

定理2.4平衡點E0(0,0,0)是不穩(wěn)定的.

證系統(tǒng)(1.1)在E0(0,0,0)處的雅克比矩陣為

顯然, E0(0,0,0)是不穩(wěn)定的.

定理2.5平衡點E1(K,0,0)是不穩(wěn)定的.

證系統(tǒng)(1.1)在E1(K,0,0)處的雅克比矩陣為

顯然, E1(K,0,0)是不穩(wěn)定的.

易知, 在E3(S3,I3,0)處有特征值為λ3=a2>0.所以, E3(S3,I3,0)是不穩(wěn)定的.

下面研究正平衡點的穩(wěn)定性.

證當(dāng)βKrc2(k1β+η) > βKc1a2(μ+η+k2β)+c2r(μ+η+k1β) 時, 系統(tǒng)(1.1)存在正平衡點E?(S?,I?,y?).系統(tǒng)(1.1)在E?(S?,I?,y?)處的雅克比矩陣為

特征方程為

由定理2.8的條件知b1>0且b1b2?b3>0.利用Hurwitz判據(jù)[7]知, 特征方程的所有特征根具有負(fù)實部, 從而平衡點E?(S?,I?,y?)是局部漸近穩(wěn)定的.

3.數(shù)值模擬

為了驗證理論結(jié)果的正確性, 利用MATLAB 2018a對系統(tǒng)(1.1)進(jìn)行數(shù)值模擬.

1)取參數(shù)值r = 1,β = 0.02,K = 1000,μ = 0.08,η = 0.002,c1= 0.0085,c2= 0.25,k1= 5,k2= 50,a2= 0.2, 初值為S(0) = 20,I(0) = 60,y(0) = 600.系統(tǒng)(1.1)存在正平衡點E?(4.1,46.58075943,43.28), 定理2.8的條件是滿足的, 平衡點E?(4.1,46.58075943,43.28)是局部漸近穩(wěn)定的(見圖1).

圖1 系統(tǒng)(1.1)的正平衡點是漸近穩(wěn)定的

2)取參數(shù)值r = 1,β = 0.02,K = 1000,μ = 0.08,η = 0.002,c1= 0.0085,c2= 0.25,k1= 5,k2= 50,a2= 2, 初值為S(0) = 20,I(0) = 60,y(0) = 600.系統(tǒng)(1.1)存在正平衡點E?(4.1,28.84314722,432.8), 定理2.9的條件是滿足的, 平衡點E?(4.1,28.84314722,432.8)是不穩(wěn)定的, 系統(tǒng)產(chǎn)生周期解(見圖2).

圖2 系統(tǒng)(1.1)的正平衡點是不穩(wěn)定的

3)設(shè)a2為分支參數(shù), 取參數(shù)值r = 1,β = 0.02,K = 1000,μ = 0.08,η = 0.002,c1=0.0085,c2=0.25, k1=5,k2=50, 畫出Hopf分支圖(見圖3).

圖3 Hopf分支圖

4.結(jié)論

本文提出并分析了一類具有修正的Leslie-Gower功能反應(yīng)的生態(tài)流行病模型.首先, 我們得到解的正性和有界性，計算出模型的平衡點.其次, 利用Hurwitz判據(jù)得到了非負(fù)平衡點的局部漸近穩(wěn)定性.最后, 應(yīng)用常微分方程定性與穩(wěn)定性方法, 得到了系統(tǒng)(1.1)從正平衡點分叉出周期解的條件.由數(shù)值結(jié)果可以看出當(dāng)參數(shù)a2通過臨界值a2=時, 系統(tǒng)(1.1)的正平衡點E?(S?,I?,y?)失去穩(wěn)定性, 經(jīng)歷Hopf分支, 分支出周期解.