鐘榮花, 韋維,2

(1.貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 貴州貴陽(yáng) 550025;2.貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 貴州貴陽(yáng) 550018)

1.引言

在許多事物發(fā)展變化的過(guò)程中, 常常需要進(jìn)行觀測(cè), 然后根據(jù)觀測(cè)到的情況適時(shí)進(jìn)行干預(yù),使其向良好的方向發(fā)展.干預(yù)過(guò)程在自然界廣泛存在, 如人口流動(dòng), 漁業(yè)養(yǎng)殖與森林管理中的遷移、投放、種植及捕獲、采伐等, 這些外界的干擾, 使得系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生較大的變化,由于狀態(tài)發(fā)生本質(zhì)變化的持續(xù)時(shí)間相比我們研究的整個(gè)過(guò)程, 時(shí)間顯得微乎其微, 因而可認(rèn)為實(shí)質(zhì)變化過(guò)程瞬時(shí)完成, 這種現(xiàn)象通常被稱為脈沖現(xiàn)象[1–3], 在數(shù)學(xué)上常用脈沖微分方程（系統(tǒng)）刻畫, 這一類系統(tǒng)由于其應(yīng)用的廣泛性, 引起了許多學(xué)者的關(guān)注[1–3].

脈沖系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題目前已有很多研究成果, 如, 1991年Bressan等[4]通過(guò)變分法, 研究了交換向量場(chǎng)上脈沖最優(yōu)控制的最大值原理并推廣到脈沖交換系統(tǒng); 2006年SHEN等[5]通過(guò)Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理, 考慮了脈沖時(shí)滯微分方程解的存在的充分條件; 2011年Dykhta[6]通過(guò)Hamilton-Jacobi正則最優(yōu)性理論的最優(yōu)性條件, 考慮了Hamilton-Jacobi不等式在一般和脈沖動(dòng)力系統(tǒng)控制問(wèn)題中的一些應(yīng)用; 2020年CHEN[7]利用極小化序列的方法得到了集值映象的存在性定理, 并研究了脈沖微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性和穩(wěn)定性.

通過(guò)對(duì)狀態(tài)的觀測(cè)判斷后再進(jìn)行干預(yù)是生產(chǎn)生活管理中常采取的方式, 本文將研究對(duì)給定觀測(cè)時(shí)間進(jìn)行處置的系統(tǒng), 這一類系統(tǒng)干預(yù)點(diǎn)狀態(tài)的變化, 通常可以用邏輯表達(dá)式進(jìn)行描述.如魚塘中魚苗的投放和魚的捕獲, 可以通過(guò)在固定時(shí)間點(diǎn)觀測(cè)池塘中魚的數(shù)量, 決定此時(shí)是投放魚苗還是捕獲魚, 或許什么都不做.此時(shí), 狀態(tài)的變化可以通過(guò)邏輯表達(dá)式來(lái)刻畫.魚塘中魚數(shù)量的變化可以描述為帶邏輯表達(dá)式脈沖行為的微分系統(tǒng), 對(duì)控制行為而言, 受控系統(tǒng)是含邏輯判斷脈沖的微分系統(tǒng).系統(tǒng)的運(yùn)算不僅有代數(shù)和微分運(yùn)算, 還有邏輯運(yùn)算, 形式更為復(fù)雜.

帶邏輯判斷的線性脈沖系統(tǒng)可描述為

其中A, Bk,Ck為n階方陣, 狀態(tài)函數(shù)x : [t0,T] →Rn是左連續(xù)的分段連續(xù)函數(shù), 邏輯函數(shù)g : {0,1}n→{0,1}, ?x(t) = x(t+)?x(t)表示發(fā)生的脈沖, x0∈Rn為給定的函數(shù).針對(duì)于如上系統(tǒng)的研究, 其困難在于系統(tǒng)中具有代數(shù)和微分運(yùn)算, 還有邏輯運(yùn)算, 不能用統(tǒng)一的框架處理.對(duì)這一類系統(tǒng)的研究不是太多, 2020年周旺旺[8]采用矩陣半張量積這一工具[9], 對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析, 并給出了相應(yīng)的數(shù)值仿真.據(jù)我們查閱相關(guān)文獻(xiàn), 目前我們還未見(jiàn)到關(guān)于帶邏輯判斷脈沖系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的研究成果.因此本文研究帶有邏輯判斷的脈沖線性微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題, 研究?jī)?nèi)容主要有受控系統(tǒng)解的存在唯一性研究, 最優(yōu)控制的存在性,最優(yōu)性條件的推導(dǎo)和應(yīng)用舉例以及模擬仿真幾個(gè)部分.

2.問(wèn)題描述

設(shè)給定研究區(qū)間[t0,T]和觀測(cè)點(diǎn)0 < t0< t1< ··· < tk< tN= T, k = 1,2,··· ,N ?1, 考慮如下線性脈沖受控系統(tǒng)：

3.矩陣半張量積的相關(guān)知識(shí)

4.受控系統(tǒng)解的存在唯一性

受控系統(tǒng)(2.1)中既有代數(shù)和微分運(yùn)算還有邏輯運(yùn)算, 為了使用統(tǒng)一的框架處理, 我們需要將脈沖表達(dá)式中的邏輯運(yùn)算通過(guò)半張量矩陣的方式, 表示為代數(shù)運(yùn)算, 然后利用一般脈沖微分系統(tǒng)的辦法進(jìn)行處理.

由定理3.1及注3.2可知, 存在唯一的結(jié)構(gòu)矩陣Mk使函數(shù)g在tk時(shí)刻的值可表示為：

從而將帶有邏輯判斷的(2.1)式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性脈沖微分系統(tǒng)(4.1).

下面我們討論系統(tǒng)(4.1)解的存在唯一性.系統(tǒng)(2.1)可轉(zhuǎn)換積分方程

5.最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性

為了研究最優(yōu)控制問(wèn)題的存在性, 我們假設(shè)

(L): 函數(shù)Φk(x(·))和L : (t0,T]×Rn×Rm→R為下半連續(xù)且有下界的凸函數(shù).控制取值集合U為Rm中的凸緊集.

因此u?(·)是最優(yōu)解.

6.最優(yōu)性條件

這一部分, 我們主要研究控制取值集合U為開集或U = Rm的情形下, 最優(yōu)控制滿足的必要條件.

由δu(t)和δx(t) 的任意性, 可得

注6.1在U ?Rm開集情形下, 用類似的方法得到相同的最優(yōu)性條件.

7.應(yīng)用算例

本節(jié)我們將給出一個(gè)具體例子, 對(duì)我們的結(jié)論進(jìn)行說(shuō)明.以池塘養(yǎng)魚捕獲為例.假設(shè)池塘能容納魚群的總數(shù)為M, 魚群的增長(zhǎng)不受任何因素影響, 在t時(shí)刻, x(t)表示池塘里魚群的總數(shù),r > 0 表示魚群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率, x0表示魚苗初始投放量, 時(shí)刻t = tk表達(dá)觀測(cè)測(cè)試時(shí)間, 通過(guò)邏輯函數(shù)g : {0,1} →{0,1}來(lái)判斷是否需要進(jìn)行捕獲, 如果g = 1, 捕獲數(shù)量為Ik的魚群, 反之,若g =0時(shí), 不進(jìn)行魚群捕獲, 函數(shù)g的自變量pk:R →{0,1} 定義為:

其中, u ∈Uad和Uad為容許控制集.觀測(cè)時(shí)間和捕獲值與前面相同, 令u(t) = 10t, 利用Matlab計(jì)算, 得到加入控制u后池塘中魚群的變化如圖(b).

接下來(lái), 在上述模型的基礎(chǔ)上考慮最優(yōu)控制問(wèn)題, 給出容許控制集

目標(biāo)泛函:

其中C為池塘擁有最合適的量, 為給定正常數(shù).

最優(yōu)控制問(wèn)題(Q) 尋找u?∈Uad, 在系統(tǒng)(7.3)的約束下使得J(u)≥J(u?), ?u ∈Uad.

和2u?(t)+λ(t)=0.

從而取M = 900, r = 1.12, x0= 200, C = 5, Tt表示第幾個(gè)時(shí)間段, 總的計(jì)算時(shí)間Tt都取20, 通過(guò)Matlab計(jì)算, 利用二階龍格庫(kù)塔和復(fù)化梯形積分, 得到數(shù)值解u(t)和最優(yōu)J的圖像,如圖(c).

圖(c) 最優(yōu)控制u(t)及最優(yōu)目標(biāo)泛函J

8.總結(jié)

本文討論了一類脈沖時(shí)刻固定, 且?guī)н壿嬇袛嗟木€性脈沖系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題, 首先運(yùn)用矩陣半張量積方法為工具, 把帶有邏輯判斷的脈沖最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式的脈沖最優(yōu)控制問(wèn)題, 使得問(wèn)題能夠在統(tǒng)一的框架下研究, 在具體的例子下, 可以根據(jù)邏輯判斷自動(dòng)選取比較合理的方案; 而且由于考慮的狀態(tài)方程分段連續(xù), 對(duì)于文中的所有問(wèn)題都是進(jìn)行分段討論, 再得到一些相應(yīng)的結(jié)果.通過(guò)Banach壓縮映像原理, 得到了受控系統(tǒng)解的存在唯一性, 利用Mazur定理, 凸性和下半連續(xù)性等證明了最優(yōu)控制的存在性, 最后, 考慮U = Rm的情形, 推導(dǎo)出最優(yōu)控制的必要條件, 同時(shí)給出了最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值模擬.