胡陽陽, 任永華, 張建文

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 山西晉中 030600)

1.引言

設(shè)? ?R3是帶有光滑邊界的有界區(qū)域, 考慮如下方程

其中, h(x)∈L2(?).ε=ε(t)是一個遞減的有界函數(shù), 滿足

且存在常數(shù)M >0, 使

函數(shù)a(x)滿足

其中α0是一個正常數(shù).非線性阻尼g ∈C1(R), 滿足: g(0)=0, g是嚴格遞增函數(shù), 且

ρ是一個正常數(shù).非線性項函數(shù)f ∈C1(R), f(0)=0,滿足以下增長條件

和耗散性條件

其中λ1是算子A=??在空間?)中的第一特征值.

模型(1.1)是對一類粘彈性固體的描述, 其由于周圍介質(zhì)的粘性阻力而具有衰退記憶和耗散性特征.

對于問題(1.1), 當(dāng)ε是一個與t無關(guān)的常數(shù)時, 首先, 汪璇, 任利寧在文[1]中討論了有界域? ?R3上帶衰退記憶的方程

全局吸引子的存在性; 在文[1]的基礎(chǔ)上, WANG等人[2]研究了有界域? ?Rn上該方程解的漸近行為.

當(dāng)ε為關(guān)于t的函數(shù)時, 此時問題變得更加復(fù)雜.這是因為即使外力項與時間t無關(guān), 方程仍然需要在非自治框架下考慮, 這意味著采用經(jīng)典的半群理論已經(jīng)不能準確描述系統(tǒng)的耗散機制.為了解決這一問題, 在文[3]中, Conti等人根據(jù)拉回吸引性中的最小性提出了時間依賴吸引子的概念, 并基于Plinio等人的理論[4], 構(gòu)造了一個證明時間依賴吸引子存在的充分條件.進一步, 他們研究了時間依賴空間上吸引子的漸近結(jié)構(gòu)[5].基于這些理論, 胡弟弟, 汪璇[6]討論了記憶型無阻尼抽象發(fā)展方程時間依賴吸引子的存在性.

最近, MENG和ZHONG等人[7]研究了具有非線性阻尼g(ut)的波方程在時間依賴空間上解的長時間行為, 他們通過定義壓縮函數(shù)證明過程的漸近緊.隨后在文[8]中, MENG, LIU提出了時間依賴吸引子存在的充要條件.MA等人[9?10]研究了帶非線性阻尼的記憶型波方程和Plate方程解的長時間行為.

目前, 還沒有人對帶非線性阻尼和衰退記憶的模型(1.1)進行討論和研究.一方面, 研究問題的吸引子, 最關(guān)鍵的是獲得過程的緊性.考慮到方程(1.1)中含有記憶項, 故文[8]中的方法有了局限性.另一方面, 臨界非線性阻尼項的存在意味著算子分解方法不再適用.為此, 本文中先構(gòu)造一個三元解空間, 在其上做先驗估計, 然后利用壓縮函數(shù)理論獲得了過程的漸近緊, 由此證明了方程(1.1)時間依賴吸引子的存在性.

為了估計的方便, 文中出現(xiàn)的C和Ci均表示正常數(shù), 在不同之處可表示不同的估計值.

2.預(yù)備知識和準備工作

引入變量η = ηt(x,s) = u(x,t)?u(x,t ?s), 設(shè)μ(s) = ?k′(s), k(∞) = 1, 方程(1.1)可以轉(zhuǎn)化為

對應(yīng)的初邊值條件為

3.適定性和時間依賴吸收集

其中η是充分小的正常數(shù), 具體范圍見后文.

現(xiàn)在, 用ut+δu乘(2.1)式并在?上積分, 有

記Eδ(t)=E1(t)+δε(t)(ut,u), 后面其余部分記為W(t), 則有

4.先驗估計

這一部分主要是為了獲得估計(4.12)-(4.14), 用于證明過程的漸近緊.

5.漸近緊

6.時間依賴全局吸引子的存在性

定理6.1假設(shè)條件(1.2)-(1.11)成立, 由方程(1.1)產(chǎn)生的過程U(t,τ):Hτ→Ht擁有不變的時間依賴全局吸引子U ={At}t∈R.

證根據(jù)引理2.2, 引理2.3, 引理3.1和定理5.1可得, 存在唯一的時間依賴全局吸引子U ={At}t∈R.進一步, 由引理3.2中過程的強連續(xù)性證明知, U 是不變的.