秦闖亮,杜金姬,陳海波,惠遠(yuǎn)先

(1.信陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南信陽(yáng) 464000;2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南長(zhǎng)沙 410075;3.黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南駐馬店 463000)

1.引言

COVID-19是由致命的急性嚴(yán)重呼吸道綜合2型(SARS-CoV-2)病毒[1]引起的傳染性疾病,仍在全球范圍迅速蔓延.中國(guó)政府迅速采取相關(guān)防疫措施, 有效地遏制了國(guó)內(nèi)的疫情發(fā)展.文[2-3]對(duì)疫情的發(fā)展、傳播等進(jìn)行了分析和研究.文[4]預(yù)測(cè)了疾病流行趨勢(shì), 并評(píng)估了幾種干預(yù)策略在中國(guó)內(nèi)地的效果.文[5]借助于數(shù)學(xué)模型評(píng)估了隔離和接觸追蹤在未普遍傳播地區(qū)控制疾病爆發(fā)的能力.李悅等[6]建立了SEIR模型對(duì)COVID-19的傳播進(jìn)行了預(yù)測(cè).朱翌民等[7]考慮隔離措施, 建立了SEIQR傳染病模型, 依據(jù)流行疾病傳播的相關(guān)理論和COVID-19的傳播特點(diǎn), 將t 時(shí)刻的人群劃分為: 易感人群S、潛伏期感染人群E、已感且具高度傳染性的感染人群I、感染且與外界隔離的患者Q、經(jīng)過(guò)治療康復(fù)人群R, 并對(duì)模型進(jìn)行了分析.實(shí)際上, 疾病的傳播還受到隨機(jī)因素的影響.本文考慮隨機(jī)因素的影響, 建立隨機(jī)SEIQR模型

其中N = S +E +I +Q+R, Λ是人口輸入, r是易感者接觸到的人數(shù)期望, β1是傳染期感染者的傳染率, β2是潛伏期感染者的傳染率, μ是自然死亡率, l是潛伏期感染者成為傳染期感染者的概率, φ是傳染期感染者被確診隔離的比例, δ是傳染期感染者的死亡率, ν是傳染期感染者成為康復(fù)者的比例, γ是被隔離的確診患者成為康復(fù)者的比例, θ是被隔離人群的死亡率,Bi(i=1,2,3,4,5)表示相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng), σi(i=1,2,3,4,5)表示白噪聲強(qiáng)度.

2.全局正解的存在唯一性

基于文[8-10], 本節(jié)主要討論模型(1.1)的全局正解的存在唯一性.

定理2.1當(dāng)t ≥0時(shí), 對(duì)任意初值(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0)) ∈模型(1.1)存在唯一正解(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))∈幾乎處處成立,即對(duì)t ≥0,(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))以概率1落在中.

證因(1.1)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件,故對(duì)任給定初值(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0))∈模型(1.1)在t ∈[0,τe)上存在唯一的局部解, 這里τe表示爆炸時(shí)刻.若要證明解的全局性,僅需證明τe=+∞a.s.設(shè)inf ?=+∞(其中?為空集), 定義停時(shí)

3.疾病的滅絕性

本節(jié)討論模型(1.1)疾病的滅絕性.

(3.2)式兩端從0到t積分, 并除以t, 得

由局部鞅的強(qiáng)大數(shù)定理[8], 可得

由(3.3), (3.4)可得

(3.5)式積分, 并除以t得

由強(qiáng)大數(shù)定理得

4.平穩(wěn)分布及遍歷性

本節(jié)基于Khasminskii理論和Lyapunov函數(shù)法研究模型(1.1)的遍歷平穩(wěn)分布存在性, 首先給出引理.

成立, 則模型(1.1)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布π(·).

證系統(tǒng)(1.1)的擴(kuò)散矩陣A為

顯然擴(kuò)散矩陣A是正定的, 滿足引理4.1的條件(i).

下面證明引理4.1的條件(ii)成立, 為此, 定義正定函數(shù)H(S,E,I,Q,R):

取M >0和ρ滿足

其中ε>0為充分小的常數(shù), 且滿足下列條件:

下面我們證明LV 恒負(fù).

情形1 若(S,E,I,Q,R)∈D1, 由(4.6)和(4.7)式得

情形2 若(S,E,I,Q,R)∈D2, 由(4.6)和(4.8)式得

情形3 若(S,E,I,Q,R)∈D3, 由(4.6)、(4.9)和(4.10)式得

情形4 若(S,E,I,Q,R)∈D4, 由(4.6)和(4.11)式得

情形5 若(S,E,I,Q,R)∈D5, 由(4.6)和(4.12)式得

情形6 若(S,E,I,Q,R)∈D6, 由(4.6)和(4.13)式得

情形7 若(S,E,I,Q,R)∈D7, 由(4.6)和(4.14)式得

情形8 若(S,E,I,Q,R)∈D8, 由(4.6)和(4.15)式得

情形9 若(S,E,I,Q,R)∈D9, 由(4.6)和(4.16)式得

情形10 若(S,E,I,Q,R)∈D10, 由(4.6)和(4.14)式得

綜上所述, 存在充分小的ε > 0, 對(duì)任意(S,E,I,Q,R) ∈D有LV < ?1, 由引理4.1可知, 模型(1.1)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布.證畢.

5.數(shù)值模擬

本節(jié)通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬, 驗(yàn)證理論的正確性.利用Milstein方法[12]離散隨機(jī)模型(1.1)得

其中ξ1k,ξ2k,ξ3k,ξ4k和ξ5k(k = 1,2,··· ,n)是獨(dú)立高斯標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, σi(i = 1,2,3,4,5)是白噪聲的強(qiáng)度.根據(jù)文[1, 4]取參數(shù)Λ = 5, μ = 0.00712, r = 2, β1= 0.0792, β2= 0.046134,l = 0.125, φ = 0.128, ν = 0.007, δ = 0.00027, γ = 0.014, θ = 0.00027.初始值S(0) = 50,E(0)=25, I(0)=20, Q(0)=20, R(0)=10.在數(shù)值模擬中, 取n=200000, 步長(zhǎng)?t=0.01.

圖5.1中我們?nèi)ˇ?= 0.2,σ2= 0.66,σ3= 0.66,σ4= 0.3,σ5= 0.2, 則0.9861 < 1滿足定理3.1的條件, 由定理的結(jié)論可知疾病將滅絕.圖5.1說(shuō)明了結(jié)論的成立性.

圖5.1 受感染個(gè)體滅絕的時(shí)間時(shí)序圖

圖5.2中取σ1=0.02,σ2=0.04,σ3=0.04,σ4=0.03,σ5=0.02,計(jì)算得=1.68708055>1, 滿足定理4.1的條件, 從而模型(1.1)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布.圖5.2說(shuō)明了定理結(jié)果的正確性.

圖5.2 模型(1.1)的解S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)及其密度函數(shù)圖

6.結(jié)論

本文結(jié)合流行病學(xué)知識(shí)和COVID-19傳播特點(diǎn), 考慮隔離措施下隨機(jī)因素對(duì)疾病的影響,建立了隨機(jī)COVID-19傳染病模型, 并分析了該隨機(jī)模型的動(dòng)力學(xué)行為.結(jié)果表明國(guó)家通過(guò)采取強(qiáng)有力的管控措施, 接種疫苗, 居家隔離, 限制出行, 必要出行佩戴口罩等防護(hù)措施, 加強(qiáng)感染患者集中隔離治療, 切斷疾病傳染途徑, 減少人員接觸, 同時(shí), 加強(qiáng)醫(yī)療科學(xué)研究, 提高醫(yī)療救治等措施, 在一定程度上有利于對(duì)疾病傳播的控制、減緩疫情的傳播.