一道數(shù)學(xué)試題之所以能夠同時(shí)考查多個(gè)知識(shí)，是因?yàn)樗疾榈臄?shù)學(xué)知識(shí)之間存在著內(nèi)在邏輯聯(lián)系，這種內(nèi)在邏輯聯(lián)系為數(shù)學(xué)試題的命制提供了多樣的可能.由于數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系類似于物理學(xué)中的“串聯(lián)”“并聯(lián)”電路，故本文將基于這種理解，提出“串聯(lián)”“并聯(lián)”命題方法，并借助一道相似三角形試題的命制過程闡釋這種命題方法.

1 數(shù)學(xué)知識(shí)的“串聯(lián)”與“并聯(lián)”

數(shù)學(xué)知識(shí)包括定理、公式、法則、定義、公理等，這些可以統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)命題[1]，人教版初中七年級(jí)下冊(cè)教材指出命題由題設(shè)與結(jié)論兩個(gè)部分組成，通過題設(shè)與結(jié)論的組合，銜接形成具備邏輯性的判斷語句，因此數(shù)學(xué)知識(shí)可以表述為包含題設(shè)與結(jié)論的語句.當(dāng)數(shù)學(xué)試題考查單一知識(shí)點(diǎn)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上就是考查題設(shè)與結(jié)論的邏輯聯(lián)系，而這種邏輯聯(lián)系從其銜接結(jié)構(gòu)來看，類似于物理電路組成方式中的“串聯(lián)”“并聯(lián)”，

在電路中，串聯(lián)只有一條路徑，所有的電子元件首尾依次連接.當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生“串聯(lián)”時(shí)，所有的題設(shè)與結(jié)論首尾相連，構(gòu)成一條邏輯推導(dǎo)思路.單一知識(shí)由單個(gè)題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，形成“串聯(lián)”;當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)論可以作為另外一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的題設(shè)時(shí)，那么這兩個(gè)知識(shí)就形成了“串聯(lián)”;當(dāng)題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，結(jié)論又作為新的題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，如此反復(fù)，從而實(shí)現(xiàn)多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的“串聯(lián)”.

在電路中，并聯(lián)電路有多條路徑，最后匯總到一條主路徑，當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生“并聯(lián)”時(shí)，多個(gè)題設(shè)或結(jié)論組合作為題設(shè)，推導(dǎo)出結(jié)論.單一知識(shí)由多個(gè)題設(shè)共同推導(dǎo)出結(jié)論，形成“并聯(lián)”;多個(gè)知識(shí)的結(jié)論共同作為新的題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，形成“并聯(lián)”.

數(shù)學(xué)試題在命制過程中，“串聯(lián)”與“并聯(lián)”方法可同時(shí)使用，二者并不矛盾，因?yàn)閮煞N方法本質(zhì)上均是基于題設(shè)與結(jié)論的邏輯聯(lián)系.

2 數(shù)學(xué)試題命制基本流程

2.1 選擇知識(shí)內(nèi)容

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱為課標(biāo)）指出，初中數(shù)學(xué)內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何，統(tǒng)計(jì)與概率，綜合與實(shí)踐四個(gè)部分.

2.2 確定考核目標(biāo)及知識(shí)點(diǎn)數(shù)量

根據(jù)初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試的相關(guān)要求，結(jié)合試題考核難度要求，并依托數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，即數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系，確定可參與考核的知識(shí)點(diǎn)及數(shù)量.

2.3 單一知識(shí)點(diǎn)的“聯(lián)前”整理

在對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“串聯(lián)”或“并聯(lián)”之前，先對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的側(cè)重程度、顯隱性、正逆向、表征方式進(jìn)行處理.

（1）明確知識(shí)點(diǎn)側(cè)重點(diǎn)

根據(jù)課標(biāo)中課程內(nèi)容的水平要求，確定主考知識(shí)點(diǎn)、次考知識(shí)點(diǎn);

（2）明確知識(shí)點(diǎn)顯隱性

根據(jù)課標(biāo)中課程內(nèi)容的水平要求，確定知識(shí)點(diǎn)題設(shè)或結(jié)論的顯隱性程度.在隱性程度的提升方面，為使得試題所給定條件抽象化、形式化，解題需多步驟進(jìn)行[2]，可對(duì)題設(shè)或結(jié)論采取隱藏，調(diào)換、等價(jià)轉(zhuǎn)化表述、多次“串聯(lián)”或“并聯(lián)”銜接生成、添加實(shí)際背景等方法.

（3）明確知識(shí)點(diǎn)正逆呈現(xiàn)方向

根據(jù)課標(biāo)中課程內(nèi)容的水平要求，確定知識(shí)點(diǎn)正逆呈現(xiàn)方向，明確題設(shè)與結(jié)論.初中數(shù)學(xué)教材給出的知識(shí)點(diǎn)一般視為知識(shí)的正向呈現(xiàn)，如果調(diào)換題設(shè)與結(jié)論就視為該知識(shí)點(diǎn)的逆向呈現(xiàn)，比如人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材中先給出平行線的判定方法，可視為知識(shí)點(diǎn)的正向呈現(xiàn)，如果將其題設(shè)與結(jié)論調(diào)換，也就是平行線的性質(zhì)就可視為知識(shí)點(diǎn)的逆向呈現(xiàn)，一般而言，逆向呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)在難度上以及隱性程度上比正向呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)大，因此可通過調(diào)換題設(shè)與結(jié)論來提升知識(shí)點(diǎn)的隱性程度.

（4）選擇知識(shí)點(diǎn)表征方式

數(shù)學(xué)試題可通過文字、符號(hào)、圖象三種語言來表征.

（i）文字表征

數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公理、定理、判定方法、命題等通常以文字形式呈現(xiàn)，在試題命制中，可將知識(shí)點(diǎn)的題設(shè)或結(jié)論使用文字進(jìn)行表述.

（ii）符號(hào)表征 常見于數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、定義等，在試題命制過程中，可將題設(shè)或結(jié)論借助符號(hào)來表示.

（iii）圖象表征

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)以表格、圖象、幾何圖形、平面直角坐標(biāo)、統(tǒng)計(jì)圖等方式呈現(xiàn)，常見于函數(shù)模塊、幾何模塊、統(tǒng)計(jì)與概率模塊等;在試題命制過程中，可將題設(shè)或結(jié)論以圖表形式來表達(dá).

（iv）對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“串聯(lián)”“并聯(lián)”銜接

根據(jù)知識(shí)點(diǎn)題設(shè)與結(jié)論之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，確定數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的出場次序，明確知識(shí)點(diǎn)“串聯(lián)”或“并聯(lián)”銜接結(jié)構(gòu).

3 試題生成范例

3.1選擇知識(shí)內(nèi)容 考查的知識(shí)內(nèi)容為數(shù)與代數(shù)中的二次函數(shù)、圖形與幾何中的等邊三角形和相似三角形;

明確知識(shí)點(diǎn)側(cè)重點(diǎn)：主考知識(shí)點(diǎn)為相似三角形、二次函數(shù)，次考知識(shí)點(diǎn)為等邊三角形.

3.2建構(gòu)等邊三角形

（1）等邊三角形隱性呈現(xiàn)

（i）使用幾何畫板繪制等邊三角形ACED，隱藏ED，在CD上任意取點(diǎn)F，在等邊三角形內(nèi)部構(gòu)造ACEF.

（ ii）設(shè)置幾何圖形的變換.如圖1，將△CEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，產(chǎn)生△CDA，構(gòu)造“手拉手”模型.

此時(shí)發(fā)現(xiàn)，若連接AF，則始終能保證△CFA是等邊三角形，CE∥AF.

以上兩個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)等邊△CED和△CFA的隱藏.

（2）多個(gè)知識(shí)點(diǎn)“并聯(lián)”一結(jié)論到題設(shè)逆向推導(dǎo)

為推導(dǎo)△CFA是等邊三角形，先借助等邊三角形的判定方法之一“有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”找出該判定方法中的題設(shè)與結(jié)論如下：

題設(shè) 如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角是60度，并且這是個(gè)等腰三角形;

結(jié)論 那么這個(gè)三角形是等邊三角形.

從結(jié)論到題設(shè)的逆向推導(dǎo)使用符號(hào)語言表示如下：△CFA是等邊三角形<=>CF= CA且△CFA內(nèi)有角為60°.

將題設(shè)中的等腰三角形作為結(jié)論1，將內(nèi)角為60°作為結(jié)論2，逆向推導(dǎo)繼續(xù)尋求其題設(shè).

結(jié)論1 CF= CA.

逆向推導(dǎo)，尋得題設(shè)至少五種方案：

①△CEF由△CDA旋轉(zhuǎn)而來;

②△CEF≌△CDA;

③∠CFA= ∠CAF;

④讓點(diǎn)C落在線段FA的垂直平分線上;

⑤令線段CF，CA的長度數(shù)值相等.

結(jié)論2 ACFA內(nèi)有角為60°.

逆向推導(dǎo)，尋得題設(shè)至少四種方案：

①給定C，F(xiàn)，D，A等點(diǎn)的坐標(biāo)，使得能通過三角函數(shù)值求得角度;

②借助△CFA三邊相等來求角度;

③構(gòu)造與△CFA相似或全等的某個(gè)等邊三角形;

④令CA∥x軸并結(jié)合“手拉手”模型.

在設(shè)置數(shù)學(xué)試題己知條件時(shí)，就可以從題設(shè)方案中進(jìn)行選擇，比如選擇題設(shè)“△CEF由△CDA旋轉(zhuǎn)而來”和題設(shè)“令CA∥x軸”.

將上述（2）中知識(shí)點(diǎn)“串聯(lián)”“并聯(lián)”的銜接結(jié)構(gòu)用圖表達(dá)如下（如圖2所示）.

3.3銜接平面解析幾何

（1）多個(gè)知識(shí)點(diǎn)“串聯(lián)”

固定幾何圖形在二維平面內(nèi)的位置.

（i）借助幾何畫板，將“手拉手”模型與平面直角坐標(biāo)系整合，整合后使得點(diǎn)E，D落在x軸上，且點(diǎn)E，D關(guān)于y軸對(duì)稱，讓點(diǎn)C落在y軸正半軸上，不要刻意將∠A弄成直角，否則會(huì)造成學(xué)生錯(cuò)覺（如圖3所示）;

缺漏說明：此時(shí)“手拉手”模型的大小并未確定，因此可以借助固定該模型中的某些點(diǎn)的位置或線段長度來確定模型大小.

（ ii）“手拉手”模型中點(diǎn)坐標(biāo)的位置可以借助二次函數(shù)來給定，比如設(shè)置開口向上的、以點(diǎn)G為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（如圖4所示）;缺漏說明：借助幾何畫板發(fā)現(xiàn)，令二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A不足以固定點(diǎn)A位置，因此需要添加條件，使得點(diǎn)A與二次函數(shù)具備兩種限定關(guān)系.

（2）多個(gè)知識(shí)點(diǎn)“并聯(lián)”

添加條件“令點(diǎn)A，F(xiàn)，G在同一直線上”，或添加一次函數(shù)，使得點(diǎn)A，F(xiàn)，G都在一次函數(shù)圖象上.

將上述3.3中知識(shí)點(diǎn)“串聯(lián)”“并聯(lián)”的銜接結(jié)構(gòu)用圖表達(dá)如下（如圖5所示）.

3.4 引入相似三角彤

（1）連接線段，找平面圖形中的固定三角形、固定大小和位置的三角形至少有三種：

①令拋物線圖象與x軸分別交于點(diǎn)I，J.過點(diǎn)G作GB⊥x軸于點(diǎn)B，此時(shí)連接JG，產(chǎn)生△JBG，形狀大小固定（如圖6所示）;

②連接點(diǎn)A，G，線段AG交x軸與點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GB⊥x軸于點(diǎn)B，產(chǎn)生△BMG，形狀大小固定（如圖7所示）;

③連接線段EF交y軸于點(diǎn)K，產(chǎn)生ACKD，形狀大小固定（如圖8所示）;

（2）單一知識(shí)點(diǎn)“串聯(lián)”一設(shè)置與幾何圖形運(yùn)動(dòng)或變化屬性相關(guān)的問題

知識(shí)點(diǎn)正向呈現(xiàn)：給定動(dòng)點(diǎn)位置，使得動(dòng)三角形與固定三角形相似，現(xiàn)隱藏題設(shè)中的動(dòng)點(diǎn)位置，將動(dòng)點(diǎn)位置作為問題來設(shè)置.

針對(duì)①中的固定三角形，設(shè)置問題如下：如圖6，在拋物線上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)P，作PK⊥x軸，點(diǎn)K為垂足，問是否存在點(diǎn)P使得△JBG與△PIK相似;

針對(duì)②中的固定三角形，設(shè)置問題如下：如圖7，在x軸上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)P，問是否存在點(diǎn)P使得ABMG與APAM相似;

針對(duì)③中的固定三角形，設(shè)置問題如下：如圖8，在拋物線上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)P，連接線段FG交x軸于點(diǎn)N，問是否存在點(diǎn)P使得△PNG與△CKD相似，

以上三種問題設(shè)置均可，都是與初中幾何相似三角形有關(guān).

3.5預(yù)設(shè)問題

一般預(yù)設(shè)三個(gè)小問題，問題的設(shè)置要考究難度梯度，三個(gè)小問題難度逐漸增大，設(shè)置常規(guī)、計(jì)算量合理的二次函數(shù)，并逐一驗(yàn)證計(jì)算三個(gè)小問題;

3.6將題設(shè)用文字、符號(hào)、圖象語言表征形成題干

如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= √3/6（x+4）2—3√3經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，ACAD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CEF，點(diǎn)F落在線段CD上，點(diǎn)E落在x軸的負(fù)半軸上，CA∥x軸，點(diǎn)A，F(xiàn)，G在同一直線上.

3.7設(shè)置問題

（1）連接AF，求∠CFA;

（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo);

（3）連接EF交y軸于點(diǎn)K，連接F交x軸于點(diǎn)N，連接皿，問拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△PNG與△CKD相似.如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

參考文獻(xiàn)

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