楊新文，劉姝彤，胡耀華

（1.同濟大學上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點實驗室，上海 201804；2.同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804）

現(xiàn)代有軌電車是指一種電力驅(qū)動的“城市軌道交通”系統(tǒng)，其輪軌導向、輪軌導向、車輛編組運行在專用行車道上，是一種中運量城市軌道交通系統(tǒng)。其優(yōu)點在于環(huán)境污染小，占地面積小，工程投資成本是地鐵建設投資的1/5 到1/4。現(xiàn)代有軌電車車輛大多采用低地板設計，地板距軌面最低為35 cm，不設置站臺，同時最大運量相比公交車提高5 至7倍［1］。獨立輪對轉(zhuǎn)向架是實現(xiàn)有軌電車低地板的關(guān)鍵，但是，獨立輪對轉(zhuǎn)向架同樣也面臨較為嚴峻的運營維護問題［2］：①由于受到軌道幾何不平順及實際運行時輪軌接觸等的影響，獨立輪對在線路運行過程中出現(xiàn)橫向位移就難以自動對中，曲線運行時獨立車輪的輪緣磨耗要比傳統(tǒng)剛性輪對大得多。這樣會造成輪軌橫向力大，橫向位移較大，在曲線上運行時輪緣貼靠鋼軌而不斷產(chǎn)生磨耗。因此，獨立車輪的側(cè)磨較大，甚至容易發(fā)生脫軌；②獨立輪對和槽型軌之間由于側(cè)磨，輪緣磨薄，鋼軌軌距減小，導致游間變大，從而車輛晃車問題比較嚴重，導致乘客舒適性和列車運行安全性下降。③線路超高和軌底坡設計欠合理，有軌電車線路小半徑曲線較多，疊加獨立輪對結(jié)構(gòu)，導致輪軌接觸型面不匹配產(chǎn)生嚴重的輪軌接觸問題。因此，研究現(xiàn)代有軌電車輪軌型面匹配對提高現(xiàn)代有軌電車運行安全性與平穩(wěn)性有非常重要的意義。

近年來，國內(nèi)外學者針對高速鐵路、重載鐵路和現(xiàn)代有軌電車等輪軌匹配和型面優(yōu)化設計做了大量工作，其中，車輪型面優(yōu)化較鋼軌型面優(yōu)化更加全面，完善程度更高［3-5］。張劍［6-7］等通過研究，調(diào)整鋼軌型面擴展系數(shù)，選取軌頭位置的適當區(qū)域進行擴展，將擴展后的鋼軌型面與初始型面進行拼接，從而減少了輪軌接觸法向間隙，增大接觸面積，減小接觸應力，提高輪軌共形度。Wu等［8］參考倫敦地鐵運營狀況，參考現(xiàn)有的鋼軌軌頭形狀設計車輪廓形，用擴展法得到了輪緣接觸性能較好、輪軌接觸點分布較均勻的輪軌匹配關(guān)系，以及車輪踏面和鋼軌軌頭接觸時較低的等效錐度。崔大賓等［9-10］改進了傳統(tǒng)動力學模型，充分考慮軌下結(jié)構(gòu)對車輛的動力學響應的影響，建立基于輪軌接觸法向間隙的車輪踏面優(yōu)化數(shù)學模型，以輪軌間隙隨橫移量變化所圍成的面積作為目標函數(shù)，并利用改進的序列二次規(guī)劃法對數(shù)學模型進行數(shù)值求解。Shevtsov 等［11-12］提出基于輪對滾動圓半徑差曲線（RRD）的車輪廓形優(yōu)化方法，選取優(yōu)化區(qū)域14 個離散點坐標作為自變量，建立自變量與滾動半徑差之間的數(shù)學函數(shù)關(guān)系，以RRD函數(shù)為目標從而建立優(yōu)化模型，利用表面響應擬合的多點近似法（MARS）數(shù)值求解獲得優(yōu)化型面。并利用多體動力學軟件ADAMS/Rail 進行動力學仿真驗證優(yōu)化型面的性能。陳思亦［13］提出一種考慮設計周期內(nèi)內(nèi)外側(cè)鋼軌總體磨耗情況的重載鐵路鋼軌型面優(yōu)化方法，該方法將鋼軌優(yōu)化區(qū)域離散點用β樣條曲線連接，基于高斯徑向基函數(shù)法對響應值和自變量之間建立數(shù)學函數(shù)關(guān)系，然后利用遺傳算法對優(yōu)化模型進行求解，得到最終的優(yōu)化型面。

上述在輪軌磨耗與型面優(yōu)化設計方面做了大量工作，然而關(guān)于使用槽型軌的低地板有軌電車輪軌型面匹配的研究卻十分有限。本文采用改進的徑向基函數(shù)響應面法和序列二次規(guī)劃法（SQP）對槽型鋼軌的接觸型面進行了優(yōu)化，并結(jié)合車輛-軌道耦合動力學響應進行了評價分析，研究結(jié)果可為現(xiàn)代有軌電車鋼軌選型與維護提供理論依據(jù)。

1 槽型鋼軌型面優(yōu)化模型

1.1 槽型鋼軌型面優(yōu)化計算思路

現(xiàn)代有軌電車槽型鋼軌型面優(yōu)化模型的計算流程如圖1所示。

圖1 鋼軌型面優(yōu)化流程圖Fig.1 Flow chart of profile optimal design of groove-shaped rail

首先根據(jù)鋼軌標準初始型面利用試驗設計方法得到不同鋼軌設計型面，其次通過車輛-軌道耦合動力學模型對上述不同鋼軌型面進行動力學計算和基于Archard材料磨耗模型計算鋼軌磨耗量（計算過程如圖2所示），然后基于徑向基函數(shù)響應面法對型面優(yōu)化區(qū)域樣本點縱坐標及對應磨耗精確響應值進行數(shù)學建模，最后利用序列二次規(guī)劃法對模型求解，得到鋼軌優(yōu)化型面。

圖2 槽型軌磨耗預測流程圖［14］Fig.2 Flow chart of wear prediction of grooveshaped rail

1.2 有軌電車車輛車-軌耦合動力學模型

本文采用多體動力學軟件Universal Mechanism（UM）建立70%低地板的有軌電車車輛與軌道系統(tǒng)耦合動力學模型［14］，車輛模型采用“動車+拖車+動車”編組形式的三個模塊組成，如圖3所示，拖車采用獨立輪對，動車采用非獨立輪對，模型基本參數(shù)如表1所示。

表1 模型基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the model

圖3 采用獨立旋轉(zhuǎn)車輪的有軌電車車輛動力學模型Fig 3 Dynamical model of modern tram with independent rotating wheels

本文選用60R2 鋼軌，與工字型鋼軌相比，60R2鋼軌軌頂踏面帶有一個U 型槽，可保護車輪不發(fā)生脫軌。選用與槽型軌型面相匹配的現(xiàn)代有軌電車車輛車輪踏面進行輪軌接觸和磨耗計算，圖4 為鋼軌橫截面示意圖。

圖4 60R2槽型軌橫截面示意圖（單位：mm）Fig.4 Schematic diagram of section of grooveshaped rail(unit:mm)

1.3 鋼軌型面優(yōu)化模型建立

鋼軌磨耗與其型面之間存在著高度非線性關(guān)系，優(yōu)化鋼軌廓形需要找到兩者之間一種顯式的關(guān)系和模型，而響應面方法是函數(shù)逼近的有效工具之一，對于求解這類高度非線性關(guān)系的問題有著很重要的作用。采用響應面法對鋼軌型面進行優(yōu)化。

如果存在一組實值函數(shù)φi(x)(i=1，…，m)和一組實參數(shù)λi(i=1，…，m)將實空間R中的任意點F表示為其線性組合［15］。

則稱φi(x)(i=1，…，m)為基函數(shù)，設m個不重合插值樣本點的模式集合為1，…，m}，分別代入式（1）可得：

式（2）用矩陣可表示為

其中：

式中：Φ為插值矩陣。

顯然，當矩陣Φ接近奇異時，式（3）的解會變得不穩(wěn)定。因此，對于基函數(shù)的基本要求是能使式（3）中的插值矩陣Φ非奇異。Micchelli［16］給出證明：對于試驗樣本中不重合的插值樣本點集{x(s)∈Ek|s=1，…，m}[x(i)≠x(j)(i≠j)]， 如 果φi(x(i))=則式（3）中的插值矩陣Φ一定非奇異。根據(jù)文獻［17］中提出的最佳一致逼近理論中哈爾條件的等價定義，說明了徑向基函數(shù)是未知函數(shù)唯一的最佳一致逼近形式。

對任意插值樣本點x(j)，可以表示為其中‖ · ‖是Euclidean 范數(shù)。對于試驗設計所得點集{x(j)∈En|j=1，2，…，m}，徑向基函數(shù)模型如式（5）所示［14］：

式中：m為插值樣本點數(shù)；x(j)為第j個插值樣本點向量；λj(j=1，2，…，m）為待定系數(shù)為徑向基函數(shù)；‖x-x(j)‖為插值函數(shù)上任一點到第j個插值樣本點的距離，對n維（從優(yōu)化角度為n個設計變量）空間，如（6）式所示：

為便于表達，令：

若有m個插值樣本點，在任一插值樣本點x(i)的精確響應值為F(i)，即：

展開并形成方程組：

解 方 程 組 即 可 求 得 待 定 系 數(shù)λj（j=1，2，…，m）。

以上所述的徑向基函數(shù)形式可以用來近似高度非線性的問題，本文為了進一步提高其精確范圍，在原式的基礎上加入多項式項，即為改進的增廣徑向基函數(shù)表達式。

對 于k維 空 間，多 項 式 項 為1，x1，…，的取值視選取的多項式而定，如下所示。

分別將m個插值樣本點和樣本值代入，再加上如下i個正交方程即可求得式中的待定系數(shù)。如（12）式所示：

寫成矩陣的形式可表示為

其中：

Fang［18］對不同形式的徑向基函數(shù)進行了研究，認為高斯徑向基函數(shù)近似度較高，通過大量數(shù)值算例驗證總結(jié)出常數(shù)bi取值的經(jīng)驗公式：

式中：r0為設計空間內(nèi)相距最遠兩點的距離。

2 結(jié)果分析

2.1 模型驗證

為驗證1.3 節(jié)模型的正確性，將本文槽型軌型面預測模型計算結(jié)果與文獻［19］中槽型軌計算結(jié)果進行對比，車速為15 km.h-1，線路參數(shù)為曲線半徑50米，超高60 mm，其他參數(shù)如圖5所示。在相同工況時槽型軌曲中點處QZ的磨耗量對比如圖6所示，圖中X=0為軌腰中軸線，坐標X為鋼軌橫斷面水平方向，坐標Z為鋼軌橫斷面垂直方向。

圖5 曲線軌道參數(shù)Fig.5 Parameters of curve track

圖5中，ZH、HY、QZ、YH、HZ分別為直緩點、緩圓點、曲中點、圓緩點、緩直點；A點為前緩和曲線中點；B點為曲線中點；C點為后緩和曲線中點；V為車速；R為曲線軌道半徑；h為曲線超高。

采用與文獻［19］較為接近的參數(shù)與工況進行計算分析，由圖6可知，本文計算的鋼軌外軌最大磨耗量為1.7 mm，位于Y=30 mm 位置附近，與文獻［19］鋼軌磨耗的最大值和峰值位置基本相當，而在軌頂面計算結(jié)果略有差異，考慮到本文鋼軌型面優(yōu)化的目的也是為了降低鋼軌側(cè)磨，選擇Y=30 mm附近的結(jié)果進行對比有一定的針對性，本文模型可用于后續(xù)槽型軌磨耗預測分析。

圖6 圓曲線外側(cè)槽型軌磨耗量對比Fig.6 Comparison of wear amount of grooveshaped rail outside circular curve

2.2 鋼軌型面優(yōu)化分析

針對70%低地板有軌電車通過曲線時側(cè)磨較為嚴重的問題展開鋼軌型面優(yōu)化，假設車輪踏面外形固定。鋼軌型面優(yōu)化區(qū)域如圖7所示，其中，A、B為固定點：A 點為軌頭中心，B 點為軌距測量點，與A點垂向距離為16 mm。AB點中間的點為可動點，共選取10個，可動點的縱坐標為自變量，記為x1，x2，x3，…，x10，每個可動點的浮動下限為初始型面以下2 mm處，如圖8所示。

圖7 型面區(qū)域優(yōu)化示意圖Fig.7 Schematic diagram of profile area optimization

圖8 型面優(yōu)化設計空間Fig.8 Optimization design space of profile

利用D-Optimal 試驗設計方法［15］抽取優(yōu)化點的縱坐標組合，加上初始標準型面，共得到72 組鋼軌型面樣本點，并用β樣條曲線進行擬合，用于不同鋼軌型面磨耗仿真分析。本文仿真時根據(jù)實際線路條件，選取半徑及速度兩個因素，分析得到不同的鋼軌優(yōu)化型面。不同半徑工況各參數(shù)設計如表2所示。

表2 不同曲線半徑工況設計Tab.2 Design cases of different curve radius

對上述72 個不同型面在3 個循環(huán)周期內(nèi)，即迭代30 次，進行仿真，得到72 組不同的結(jié)果。目標變量選擇優(yōu)化區(qū)域中左右軌發(fā)生磨耗總和和最大磨耗速率，約束條件為踏面為嚴格凸曲線和坐標上下邊界，最終得到的鋼軌型面優(yōu)化設計為多約束多目標非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學模型表達式為

首先利用序列二次規(guī)劃法，結(jié)合多目標規(guī)劃原理，對式（16）進行求解，得到優(yōu)化結(jié)果。然后將優(yōu)化后各點縱坐標用β樣條曲線平滑處理得到鋼軌優(yōu)化型面，如圖9、10所示。

圖9 優(yōu)化前后型面對比Fig.9 Comparison of profile before and after optimization

得到優(yōu)化型面后，對其在循環(huán)周期內(nèi)的磨耗進行仿真計算，與初始型面對比如圖11所示。

由圖11 可知，設計周期內(nèi)，當有軌電車車輛在槽型軌優(yōu)化型面運行時，鋼軌最大磨耗量從0.434 mm下降至0.386 mm，優(yōu)化效果11.1%，另外，對比鋼軌的通過總重可知，發(fā)現(xiàn)鋼軌優(yōu)化型面后通過總重由13.48 Mt 提高至16.89 Mt，優(yōu)化效果為25.3%，充分說明針對小半徑曲線不同曲線半徑工況提出的鋼軌優(yōu)化型面可以有效地降低鋼軌的磨耗量并且提高鋼軌使用壽命。

圖10 局部放大圖Fig.10 Local amplification

圖11 設計周期內(nèi)型面磨耗對比Fig.11 Comparison of profile wear in design cycle

對優(yōu)化后型面進行動力學仿真，統(tǒng)計了獨立輪對在仿真過程中接觸面積和最大接觸應力平均值，如表3所示。

由表3可知，將優(yōu)化型面與初始型面對比，所有車輪的接觸面積有所增大，最大接觸應力有所降低，提升效果顯著。獨立輪對外側(cè)優(yōu)化效果分別為25.73%和14.39%，獨立輪對內(nèi)側(cè)優(yōu)化效果分別為30.87%和22.76%。綜合分析可知，鋼軌優(yōu)化型面相比初始型面優(yōu)化效果在15%～31%，可以有效減輕鋼軌磨耗尤其側(cè)磨、增大輪軌接觸面積和減小輪軌接觸應力，從而提高鋼軌壽命，對于保護鋼軌和車輪，提高列車運行安全性和穩(wěn)定性十分重要。

表3 輪軌接觸參數(shù)對比Tab.3 Comparison of parameters of wheel-rail contact

3 結(jié)論

建立了現(xiàn)代有軌電車槽型鋼軌磨耗預測模型，基于增廣高斯型徑向基函數(shù)鋼軌優(yōu)化模型，并利用序列二次規(guī)劃法和多目標優(yōu)化原理求解，計算分析了鋼軌的磨耗特征和優(yōu)化型面效果，并對輪軌接觸參數(shù)進行對比分析，主要結(jié)論如下：

（1）對于外側(cè)鋼軌，發(fā)生磨耗的主要位置在軌距角Y=30 mm 部分，在踏面位置Y=5 mm 部分也存在少量磨耗對于內(nèi)側(cè)鋼軌，發(fā)生磨耗的主要位置在軌頂Y=5 mm部分和護軌Y=67 mm部分。

（2）鋼軌優(yōu)化型面相比初始型面優(yōu)化效果在15%～30%，可以有效減輕鋼軌磨耗尤其側(cè)磨、增大輪軌接觸面積和減小輪軌接觸應力，從而提高鋼軌壽命，對于保護鋼軌和車輪，提高列車運行安全性和穩(wěn)定性十分重要。