李 陽，劉寶亮

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西太原 030006；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009)

關(guān)鍵字：新型冠狀病毒肺炎；SEIR 模型；疫情發(fā)展?fàn)顩r

據(jù)中國衛(wèi)健委發(fā)布的截至2020 年2 月20 日24時(shí)新型冠狀病毒肺炎疫情最新情況以及疫情對于我們生活的影響，應(yīng)該深刻認(rèn)識(shí)到保證新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控工作的重要性。

在2020 年嚴(yán)峻的疫情形勢下，習(xí)近平總書記發(fā)表重要講話[1]，將疫情擺在及其重要的位置，對新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控工作作出重要指示，強(qiáng)調(diào)全體人民要全面貫徹堅(jiān)定信心、同舟共濟(jì)、科學(xué)防治、精準(zhǔn)施策的要求，堅(jiān)決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)。

對于突如其來的新冠肺炎，張曉晴等[2]從醫(yī)學(xué)角度對其癥狀、作用機(jī)制等方面作了詳細(xì)論述，表明血管緊張素轉(zhuǎn)化酶有很大可能是新型冠狀病毒感染細(xì)胞的介導(dǎo)受體；林挺葵等[3]在對粵西地區(qū)及各地級(jí)市新冠肺炎疫情趨勢預(yù)測分析中也提到了新冠病毒與好多疾病是相關(guān)的?；赟IR 模型，羅榮桂等[4]進(jìn)行了技術(shù)擴(kuò)散模型的研究，而技術(shù)擴(kuò)散過程與傳染病蔓延過程相類似，并且SIR模型本身就是傳染病模型中的經(jīng)典模型，所以學(xué)者們注意到用SIR傳染病模型對該疫情問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模是合理的。武文韜等[5]運(yùn)用SIR 模型對廣東省新冠肺炎疫情流行趨勢進(jìn)行預(yù)測，并以微分方程的形式表示該模型的基本構(gòu)成，然后利用指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測。楊雨琦等[6]用SIR模型對此次疫情了研究，他們用MATLAB進(jìn)行編程，對模型中的微分方程組進(jìn)行求解，計(jì)算出模型中的未知系數(shù)，從而預(yù)測疫情發(fā)展趨勢。徐恭賢等[7]建立了帶有潛伏期及終身免疫的SARS 流行病的SEIR 動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)部分國家或地區(qū)的SARS疫情數(shù)據(jù)，對模型中的參數(shù)進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)，對SEIR 模型進(jìn)行了更深層次地解釋。蔡潔等[8]利用該模型對武漢市疫情狀況進(jìn)行模擬預(yù)測時(shí)對于模型中的參數(shù)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)毓烙?jì)，一定程度上解決了用MATLAB 獲取參數(shù)的難題，為模型中參數(shù)的確定提供了科學(xué)依據(jù)。耿輝等[9]對新型冠狀病毒肺炎疫情中相關(guān)干預(yù)措施的作用進(jìn)行了評(píng)價(jià)，利用python 建立SEIR 模型?？梢曰镜贸觯夯赟EIR 模型研究山西省新冠肺炎疫情的發(fā)展?fàn)顩r是較合適的，然后進(jìn)一步研究不同管控強(qiáng)度對新冠肺炎疫情的影響，所得結(jié)論可為今后新冠疫情管控預(yù)測及社會(huì)政策制定等提供依據(jù)。

1 模型的建立

1.1 SIR模型

基本假設(shè)：

(1) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移。人群分易感者(Susceptible)、感染者(Infective)、恢復(fù)者(Removed)三類，t時(shí)S(t),I(t),R(t)，t時(shí)刻這三類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)，即單位時(shí)間內(nèi)（每天）的易感者表示為s(t),感染者為i(t),恢復(fù)者為r(t)；

(2) 每個(gè)感染者每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)λ，稱為日接觸率，也可以稱為感染系數(shù)（單位時(shí)間內(nèi)感染者i(t)所能感染的人數(shù)與易感者s(t)成正比）。當(dāng)感染者與易感者有效接觸時(shí)，使易感者受感染變?yōu)楦腥菊撸?/p>

(3) 每天被治愈的感染者占感染者總數(shù)的比例為常數(shù)μ，稱為日治愈率，也可稱為恢復(fù)系數(shù)，感染者被治愈后仍有可能成為感染者，那么可認(rèn)為是該病毒的平均傳染期；

(4) 初始時(shí)刻，只有少數(shù)個(gè)體處于感染狀態(tài)，其他都是易感狀態(tài);

(5)假設(shè)疾病的時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于個(gè)體生命周期，從而不考慮個(gè)體的出生和自然死亡;

(6)完全混合，即每一個(gè)個(gè)體與其他個(gè)體接觸的機(jī)會(huì)均等。

由假設(shè)(1)可得，整個(gè)群體由易感染者，感染者，恢復(fù)者構(gòu)成：

由此，可以得到關(guān)于S(t),I(t),R(t)的微分方程：

進(jìn)而得到關(guān)于s(t),i(t),r(t)的微分方程：

使用MATLAB 軟件對以上微分方程組進(jìn)行求解。首先，要確定感染系數(shù)λ和恢復(fù)系數(shù)μ的取值?？赏ㄟ^統(tǒng)計(jì)的自1 月22 日起的山西省新冠肺炎現(xiàn)存確診、累計(jì)確診、累計(jì)治愈人數(shù)等官方數(shù)據(jù)及最小二乘法分別對恢復(fù)系數(shù)μ與感染系數(shù)λ進(jìn)行估計(jì)，然后代入模型中擬合山西省的疫情發(fā)展趨勢。而實(shí)際環(huán)境并不能滿足上述假設(shè)(6)的完全混合，故用人口數(shù)作為人口總量進(jìn)行預(yù)測是不準(zhǔn)確的，需要用最小二乘的思想估計(jì)易感者初值S(0)。

1.2 SEIR模型

針對傳染病的傳播，盡管有較符合實(shí)際的SIR模型，但由于SIR 模型通常不考慮潛伏群的影響及變化，而新冠肺炎的傳染是有一定潛伏期的，因此，對SIR模型進(jìn)行改進(jìn)，建立SEIR 模型。

采用SEIR 模型模擬新冠肺炎的傳播過程是將整個(gè)人群分成4 類:S類（易感者）、E類（潛伏者）、I類（感染者）、R類（康復(fù)者）四種類型：

S類(Susceptible)：指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；由于新型冠狀病毒所有人群普遍易感染，所以這里S=N-I。（由于多數(shù)人在家隔離，所以N并不為所有人，取N=200）；

E類(Exposed)：指接觸過感染者，但暫無能力傳染給其他人員，對于像新冠肺炎這種潛伏期長的傳染病適用，假設(shè)最初E=0；

I類(Infectious)：指已被感染傳染病者，能夠傳播給S類成員，將其變?yōu)镋類或I類成員，根據(jù)官方數(shù)據(jù)易得第一天I=1；

R類(Recovered)：指被隔離或因病愈而具有一定免疫力的人。如免疫力有限，R類成員可以重新轉(zhuǎn)化為S類成員，根據(jù)實(shí)際情況第一天R=0。

基本假設(shè)：

(1)只發(fā)生人傳人；

(2)現(xiàn)階段無治療的特效藥和疫苗；

(3)不考慮外界環(huán)境等因素對病死率的影響；

(4)忽略人口流動(dòng)的死亡。

SEIR微分方程：

以下為迭代形式：

模型中各參數(shù)含義及取值：

r：感染者每天有效接觸的平均人數(shù),據(jù)實(shí)際情況估計(jì)為20人；

β：易感者轉(zhuǎn)化為潛伏者的概率，依據(jù)山西省衛(wèi)健委公布的數(shù)據(jù)估計(jì)得到β≈0.03；

α：潛伏者轉(zhuǎn)化為感染者的概率，約為0.1；

γ：治愈概率，約為0.1。

2 分析與結(jié)果（SEIR模型）

用MATLAB 繪制山西省新型冠狀病毒現(xiàn)存確診病例、累計(jì)確診病例、累計(jì)治愈病例變化曲線如圖1。

圖1 顯示，山西省在2 月10 日之后，新增確診病例呈明顯下降態(tài)勢，疫情形勢有所好轉(zhuǎn)；于2月初，開始陸續(xù)出現(xiàn)治愈病例，并在5天后感染者恢復(fù)速率變大；現(xiàn)存感染者人數(shù)在2 月10 日之前逐漸增多，約在2 月10 日左右達(dá)到峰值，不超過100 人，在這之后逐漸減少。

圖1 山西省2020年1月22日-2月20日疫情情況圖

用MATLAB 編程，可求出上述模型中微分方程的解，并繪制相應(yīng)的I(t)，s(t)，r(t)函數(shù)（大概截止到2020 年5 月）4 類人群人數(shù)變化的大致圖像，以反映疫情大致的發(fā)展?fàn)顩r，可通過將截止到2 月20 日的圖像與圖1的比較，發(fā)現(xiàn)模型模擬圖形與實(shí)際圖形基本吻合，這在一定程度上可以說明用SEIR 模型模擬疫情發(fā)展?fàn)顩r是較為合適的。

進(jìn)而對2 月20 日之后一直到5 月份的疫情發(fā)展趨勢進(jìn)行模擬。

由圖2可看出，該疫情于出現(xiàn)第一例感染者后一個(gè)多月（即2 月底）達(dá)到峰值，且該疫情將在4 月底得到基本控制，與實(shí)際情況相比，相差不遠(yuǎn)，進(jìn)一步增強(qiáng)了該模型的可靠性。

圖2 SEIR模型對疫情發(fā)展?fàn)顩r的模擬圖

進(jìn)一步在該模型下分析在不同管控強(qiáng)度下防控策略對山西省新冠肺炎疫情發(fā)展的影響。

設(shè)置了3 種管控強(qiáng)度來分析不同的管控強(qiáng)度對山西省新冠肺炎疫情發(fā)展的影響，強(qiáng)度一表示每個(gè)易感者每天能接觸15 例(設(shè)置感染者每天有效接觸的平均人數(shù)r=15)，強(qiáng)度二表示能接觸20 例(設(shè)置感染者每天有效接觸的平均人數(shù)r=20)，強(qiáng)度三表示能接觸25 例(設(shè)置感染者每天有效接觸的平均人數(shù)r=25)。這三種強(qiáng)度下管控強(qiáng)度逐漸減小。

由圖3～5 可得到：強(qiáng)度二為文中所研究的強(qiáng)度，在管控強(qiáng)度增大時(shí)，即在強(qiáng)度一下，感染者所達(dá)到的峰值減??；相反，強(qiáng)度減小，即在強(qiáng)度三下，感染者所達(dá)到的峰值增大，這表明在不同管控強(qiáng)度下的防控策略對山西省新冠肺炎疫情發(fā)展是有影響的。管控強(qiáng)度越大，新冠肺炎疫情發(fā)展速度越慢，同時(shí)感染者例數(shù)越少。

圖3 強(qiáng)度一下感染者人數(shù)變化

3 結(jié)語

在SIR 模型的基礎(chǔ)上結(jié)合本地疫情特點(diǎn)改進(jìn)得到SEIR 模型，利用國家衛(wèi)健委和山西省衛(wèi)健委官方發(fā)布的數(shù)據(jù)估計(jì)模型關(guān)鍵參數(shù)，模擬山西省新冠肺炎疫情的發(fā)展態(tài)勢，可以得出一個(gè)明顯的結(jié)論，即山西省疫情在2 月底達(dá)到峰值，在4 月底得到基本控制。與實(shí)際的新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)相較之下，實(shí)際值與模擬值之間的差別并不是特別大，所以可認(rèn)為SEIR 模型可以較好地應(yīng)用于研究山西省新冠肺炎疫情的發(fā)展?fàn)顩r。

就新冠肺炎本身特點(diǎn)來說，新冠肺炎疫情的傳播是一個(gè)非常復(fù)雜的過程。診療標(biāo)準(zhǔn)和檢測手段的不同，不同年齡和不同性別的人群感染率的不同，本身健康和本身患有基礎(chǔ)疾病感染率的不同，區(qū)域人口密度不同對傳播的影響等這些因素都會(huì)影響到模擬的準(zhǔn)確性，進(jìn)而產(chǎn)生模擬與實(shí)際的偏差。

圖4 強(qiáng)度二下感染者人數(shù)變化

圖5 強(qiáng)度三下感染者人數(shù)變化