薛維順，李秀蘭

（1.山西晉中理工學(xué)院，山西晉中 030600；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

關(guān)鍵字：抽象矩陣；可逆；特征值；特征多項式

矩陣的逆是高等代數(shù)和線性代數(shù)中的一個重要概念[1-2]。抽象矩陣的運算一直是廣大學(xué)者關(guān)注的一個重點[3-7]。而抽象矩陣的逆矩陣求法是教學(xué)中的難點問題。通過對抽象實矩陣可逆性的探討，總結(jié)出一些求抽象矩陣逆矩陣的方法。有助于教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)。

1 定義法

設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E成立，則稱矩陣A可逆，矩陣B是A的逆矩陣，記作A-1=B。

抽象矩陣的逆矩陣求法，對逆矩陣的靈活應(yīng)用有較高的要求。特別對學(xué)生而言，這類題目相對較難，較難入手。

例1已知A,B,A+B均為n階可逆方陣，證明A-1+B-1也可逆。

證明由于因此A-1+B-1可逆。

上述的證明利用了(AB)C=A(BC)的矩陣性質(zhì)，并利用逆矩陣的定義進行了證明。在實際解題中可將結(jié)論作為一般的結(jié)果進行應(yīng)用，來解決這一類逆矩陣的求解。

2 利用可逆矩陣的性質(zhì)

在抽象矩陣的逆矩陣求解過程中經(jīng)常會利用可逆矩陣的性質(zhì)來進行運算，經(jīng)常用到的公式為

例2A為n階可逆方陣，且 |A|=λ1。證 明(λ2A)-1-λ3A*也可逆，其中λ2≠0,

證明因為A為n階可逆方陣，所以AA*=|A|E。等號兩端同時左乘A-1得，A*=|A|A-1=λ1A-1。

由此可得

這類逆矩陣的求解經(jīng)常會結(jié)合行列式的性質(zhì)|kA|=kn|A|來考查。在運算過程當中一定不能將|kA|與k|A|混淆。

3 利用“湊因式”

這種方法相對簡單，處理的核心思想就是“湊”。將要求解的逆矩陣作為“核心”來湊出題設(shè)所給的條件，從而求解出抽象矩陣的逆矩陣。

例3設(shè)B為n階方陣，滿 足B=B2。若A=B+E，求當k≠1,2 時，A-kE可逆，并確定AkE的逆矩陣。

解由B=B2可得，

要使A-kE可逆，則必須有(k2-3k+2)E≠O,即k2-3k+2≠0,

所以，當k≠1,2時，A-kE可逆。

可得

(A-kE)[A+(k-3)E]=-(k2-3k+2)E，同時也確定了A-kE的逆矩陣為

在上述的證明過程中主要將A-kE看作主體，通過拼湊來實現(xiàn)題設(shè)所給的主要條件，即A2-3A。事實上，可以得到更一般的這類抽象矩陣的逆矩陣判定。能快速的判定這類矩陣的逆矩陣是否存在。在逆矩陣存在的前提下，再通過上述的方法來求逆矩陣。

例4設(shè)A為n階方陣，滿足A2+k1A+k2E=O，則有下列結(jié)論成立：

（1）若-4k2＜0，則A-kE都可逆，對任意的k都成立；

（2）若-4k2=0，則A-kE都可逆，對任意的都成立；

（3）若-4k2＞0，則A-kE都可逆，對任意的都成立。

證明

A2+k1A+k2E=(A-kE)[A+(k+k1)E]+k(k+k1)E+k2E=(A-kE)[A+(k+k1)E]+()k2+k1k+k2E，要使A-kE可逆，只需滿足k2+k1k+k2≠0即可。

當-4k2＜0時，k2+k1k+k2≠0恒成立；

當-4k2=0 時，只 要就能滿足k2+k1k+k2≠0成立；

當-4k2＞0時，只要就能滿足k2+k1k+k2≠0成立。

在上述的證明方法中主要利用了一元二次方程的求解公式。這個方法雖然簡單，但是在求解此類抽象矩陣的逆矩陣過程中卻是非常有效的。此結(jié)論也可以作為這類抽象矩陣逆矩陣求解的一般判定方法來進行應(yīng)用。

4 利用分塊矩陣的運算

例5A,B為n階方陣，若A+B與A-B可逆，證明可逆。

證明解法1：

由A+B與A-B可逆，可得可逆。

解法2：

由⑤,⑥可知C1,C3是存在的；類似地可以驗證C2,C4也是存在的。證畢。

在利用分塊矩陣運算過程中一定要注意矩陣的左乘和右乘是不一樣的，一般情況下AB≠BA。在計算過程中，當遇到，其中A,C分別為r階和n階方陣時，經(jīng)常利用拉普拉斯定理求D的行列式來判定矩陣是否可逆，即 |D|=|A||C|。

5 利用矩陣的特征值

若矩陣A的特征值為λ1,λ2,…,λn，則 |A|=λ1λ2…λn[2]；當A的特征值全不等于零時，矩陣A是可逆的。f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am是多項式，f(λi)(i=1,2,…,n)是f(A)的特征值。經(jīng)常利用上述矩陣多項式的特征值來確定矩陣是否可逆。

例6A是n階可逆方陣，是A的特征值，其中i1+i2+…+is=n。證明矩陣f(A)=Am+a1Am-1+…+am-1A+amE可逆的充分必要條件是λ1,λ2,…,λs不是多項式f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am的根。

證明因為A是n階可逆方陣，故λi≠0(i=1,2,…,s)是矩陣A的特征值，則

f(λi)=+…+am-1λi+am(i=1,2,…,s) 是f(A)=Am+a1Am-1+…+am-1A+amE的特征值。要滿足f(λi)≠0(i=1,2,…,s)，只要λ1,λ2,…,λs不是多項式f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am的根即可。反之亦然。證畢。

6 結(jié)語

判定抽象矩陣是否可逆比判定具體矩陣可逆要復(fù)雜的多，而且辦法也少。判定這類矩陣可逆的題目相對較難，對學(xué)生綜合掌握知識的要求較高。在求抽象矩陣逆矩陣的過程中，同學(xué)們要善于思考并對遇到的問題進行歸類，從而達到事半功倍的效果。