陳 佳，康淑瑰

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山西大同 037009）

指數(shù)型整函數(shù)是純數(shù)學(xué)理論中的一個主要課題，它在帶有限函數(shù)的逼近問題中具有重要作用[1-4]。單變量的指數(shù)型整函數(shù)的Carlson 定理被廣泛應(yīng)用在函數(shù)的逼近問題中[5-7]，它表明如果指數(shù)型小于π 的整函數(shù)在所有整數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值為零，那么該函數(shù)恒為零[8-12]。單變量指數(shù)型整函數(shù)的Carlson 定理可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)的情形:如果在復(fù)數(shù)域上的指數(shù)型小于kπ(k∈?+)的整函數(shù)在所有整數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值及直到k-1 階導(dǎo)數(shù)值都為零，那么該函數(shù)恒為零[8]。1978 年Gervais 和Rahman將單變量Carlson 定理做了如下的擴(kuò)展：

定理A設(shè)f(z)，z∈? 為指數(shù)型整函數(shù)。如果對所有n∈?，都有f(n)=0，那么存在指數(shù)型整函數(shù)φ(z)，使得f(z)=φ(z)sin(πz)[13]。

定理B設(shè)f(z)，z∈? 為指數(shù)型σ＜2π 整函數(shù)。如果對所有n∈?，都有f(n)=f″(n)=0，那么存在常數(shù)A，使得f(z)=Asin(πz)[13]。

如果單變量指數(shù)型整函數(shù)f(z)，z∈? 在整數(shù)點(diǎn)處具有高階導(dǎo)數(shù)，那么f(z)的Carlson 定理有如下形式:

定理C設(shè)f(z)，z∈? 為指數(shù)型整函數(shù)。如果對任意n∈?，都有

f(n)=f′(n)=…=f(k-1)(n)=0，k∈?+，那么存在指數(shù)型整函數(shù)φ(z)，使得

定理D設(shè)f(z)，z∈? 為指數(shù)型kπ(k∈?+)整函數(shù)且對任意n∈?，都有f(n)=f′(n)=…=f(k-1)(n)=0。如果f(z)在? 上有界，那么存在常數(shù)A，使得f(z)=Asink(πz)。

特別地，如果f(z) ∈Lp(?)，1 ≤p＜∞，那么f(z) ≡0[14]。

定理A和定理C表明:如果復(fù)數(shù)域上的單變量指數(shù)型整函數(shù)f(z)在所有整數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值以及直到k-1(k∈?+)階導(dǎo)數(shù)值都為零，那么該函數(shù)f(z)等于sink(πz)與一個指數(shù)型整函數(shù)的乘積。定理B和定理D表明：如果復(fù)數(shù)域上的單變量指數(shù)型整函數(shù)f(z)在? 上有界且在所有整數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值及直到k-1(k∈?+)階導(dǎo)數(shù)值都為零，那么f(z)可以由三角函數(shù)sink(πz)完全確定。

與一元情形類似，多元指數(shù)型整函數(shù)的Carlson定理在多元函數(shù)的逼近問題中也具有十分重要的作用。用多元復(fù)分析的方法研究二元指數(shù)型整函數(shù)的Carlson定理。

1 二元函數(shù)的Carlson定理

主要研究復(fù)數(shù)域上的二元指數(shù)型整函數(shù)的Carlson 定理。給出二元指數(shù)型整函數(shù)的定義和主要結(jié)論。

定理1設(shè)δ=(δ1,δ2)∈。稱函數(shù)f(z1,z2)，(z1,z2)∈?2為二維復(fù)數(shù)域上的指數(shù)型δ整函數(shù)，如果存在常數(shù)A＞ 0，使得對任意ε＞ 0，都有

給出如下記號：

Eδ(?2)表示限制在?2上的指數(shù)型δ 整函數(shù)的全體。Bδ,p(?2):=Eδ(?2)?Lp(?2)。二元函數(shù)f(z1,z2)，(z1,z2)∈?2的整數(shù)r階偏導(dǎo)數(shù)

其中r=r1+r2，r1,r2∈?。特別地，記一階、二階、三階偏導(dǎo)數(shù)分別為f′(z1,z2)、f″(z1,z2)、f?(z1,z2)[15]。

定理2設(shè)f(z1,z2)，(z1,z2)∈?2為指數(shù)型整函數(shù)，且對任意(k1,k2)∈?2，都有

f(k1,k2)=0,f′(k1,k2)=0,f″(k1,k2)=0,f?(k1,k2)=0。則存在指數(shù)型整函數(shù)φ(z1,z2)，使得f(z1,z2)=φ(z1,z2)sin4(πz1+πz2)。

定理3設(shè)f(z1,z2)，zj=xj+iyj，xj,yj∈?，j=1,2為指數(shù)型σ=(4π,4π)整函數(shù)，且對任意(k1,k2)∈?2，都有f(k1,k2)=0,f′(k1,k2)=0,f″(k1,k2)=0,f?(k1,k2)=0。

(1)若f(x1,x2)∈Bσ,∞(?2)，則存在常數(shù)C，使得f(z1,z2)=Csin4(πz1+πz2)；

(2)若f(x1,x2)∈Bσ,p(?2)，1 ≤p＜∞，則f(z1,z2)≡0。

2 定理的證明

用多元復(fù)分析的方法證明文中的定理，首先給出如下引理。

引理1設(shè)g(z1,z2)，zj=xj+iyj，xj,yj∈?，j=1,2為指數(shù)型δ=(δ1,δ2)∈?2+整函數(shù)[4]。

(1)若g(x1,x2)∈Bδ,∞(?2),1 ≤p＜∞，則

引理2設(shè)f(z1,z2)，(z1,z2)∈?2為指數(shù)型整函數(shù)，且對任意(k1,k2)∈?2，都有f(k1,k2)=0。則存在指數(shù)型整函數(shù)φ(z1,z2)，使得

證明設(shè)f(z1,z2)為指數(shù)型δ=(δ1,δ2)整函數(shù)。那么對任意ε＞0，存在常數(shù)A＞0，使得對所有(z1,z2)∈?2，都有

設(shè)zj=xj+iyj，xj,yj∈?，j=1,2。不妨取m∈?+。記Cm是以|xj|=m+1/2，|yj|=m+1/2，j=1,2 為邊界的方體面。于是在Cm及其內(nèi)部有

當(dāng)(z1,z2)屬于Cm時，有|sin(πz1+πz2)|≥1，從而

由極大模原理，當(dāng)(z1,z2)屬于Cm的內(nèi)部時，有

特別地，當(dāng)|zj|≤m+1/2，j=1,2時，有

證畢。

由于f(z1,z2)為指數(shù)型整函數(shù)且f(k1,k2)=0，所以由引理2，存在指數(shù)型整函數(shù)φ1(z1,z2)，使得

由引理2知，存在指數(shù)型整函數(shù)φ2(z1,z2)，使得

令φ(z1,z2)=φ4(z1,z2)，定理得證。證畢。

設(shè)(z1,z2)∈?2。由定理2，存在指數(shù)型整函數(shù)φ(z1,z2)，使得

(1)若f(x1,x2)∈Bσ,∞(?2)。因為f(z1,z2)為指數(shù)型σ=(4π,4π)整函數(shù)，所以由引理1(2)，有

由于當(dāng)(z1,z2)屬于Cm時，存在常數(shù)A＞0，使得

因此當(dāng)(z1,z2)屬于Cm時，

由極大模原理，當(dāng)(z1,z2)屬于Cm的內(nèi)部，有

從而由m的任意性，對任意(z1,z2) ∈?2，φ(z1,z2)有界。由劉維爾定理，存在常數(shù)C，使得φ(z1,z2)=C，即

(2) 若f(x1,x2)∈Bσ,p(?2)，1 ≤p＜∞。由 于Lp(?2)?L∞(?2)，所以上面的等式成立。由引理1(1)，當(dāng)時，f(x1,x2) →0，從而C≡0，即f(x1,x2)≡0。

證畢。

3 結(jié)語

利用多元復(fù)分析的方法，得到了二元指數(shù)型整函數(shù)的Carlson定理。該定理在二元函數(shù)的逼近問題中具有非常重要的作用，特別地對在所有整數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值、一階偏導(dǎo)數(shù)值、二階偏導(dǎo)數(shù)值及三階偏導(dǎo)數(shù)值為零的二元指數(shù)型整函數(shù)的逼近問題具有重要作用。