王睿潔 浙江省寧波市寧海縣一市中學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“為了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，教師在課堂教學(xué)中，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考、自主探索和合作交流等學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能?！弊兪浇虒W(xué)，通過有效問題串的形式帶領(lǐng)學(xué)生層層遞進(jìn)，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程和本質(zhì)，讓學(xué)生厘清知識(shí)脈絡(luò)，深入了解數(shù)學(xué)思維的變化過程，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的自我構(gòu)建，凸顯課堂教學(xué)的有效性。

二次函數(shù)綜合題是在學(xué)習(xí)其他簡單函數(shù)以及初中階段代數(shù)和幾何基礎(chǔ)上，同時(shí)與方程、不等式、特殊三角形、特殊平行四邊形、三角形的全等、相似或面積相等等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，對(duì)學(xué)生綜合分析問題以及解決問題的能力要求較高。因此，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)綜合題的時(shí)候，很多學(xué)生會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，題目稍加改變就不知如何下手。本文通過對(duì)一道二次函數(shù)簡單習(xí)題進(jìn)行變式教學(xué)，通過改變條件、改變問題、改變情景，一題多變，讓學(xué)生有更多的思考空間，有更多的機(jī)會(huì)挖掘和發(fā)現(xiàn)問題之間的聯(lián)系，更深入地發(fā)現(xiàn)應(yīng)用問題之間的區(qū)別、內(nèi)在聯(lián)系、解法的共性等，從而拓展學(xué)生的思維，達(dá)到減負(fù)提質(zhì)的目的。在變式教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題的方法，并加以歸納、總結(jié)，形成技巧，學(xué)會(huì)用這些方法解決其他問題，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)、方法的遷移能力，激勵(lì)學(xué)生透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，以“不變”應(yīng)“萬變”，從“萬變”中探索“不變”。

題目：如圖1 所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸直線x=2 交x軸于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）。求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)E的坐標(biāo)。

圖1

筆者圍繞這道題目進(jìn)行變式，從不同角度進(jìn)行拓展和延伸，把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線，總結(jié)出了七類題型。

一、二次函數(shù)與線段最值問題的綜合

變式1：在線段BC上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ長度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。

變式2：在線段BC上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)ΔBCQ面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

變式3：在線段BC上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBQ的面積最大？求出四邊形CDBQ的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。

第一類問題是以二次函數(shù)為背景，求線段最值的綜合題。變式2 與變式3 都可以轉(zhuǎn)化為變式1 求解。只要建立我們熟悉的“鉛垂高，水平寬”模型，通過求二次函數(shù)以及直線BC 的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)求解線段的最值即可解決問題。其中，變式2 里ΔBCQ面積最大可以看成是變式1里鉛垂高PQ長度最大；變式3 四邊形CDBQ的面積可以看成是ΔBCQ和ΔBCD的面積之和，而ΔBCD的面積不變，也就轉(zhuǎn)化為變式2中ΔBCQ面積最大的問題。

二、二次函數(shù)與線段和、差最值存在性問題的綜合

變式4：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC取到最小值？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)以及最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

變式5：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使ΔCAP的周長取到最小值？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)以及最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

變式6：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使｜QB-QC｜取到最大值？如果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)以及最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

第二類問題是以二次函數(shù)為背景，求線段和、差最值存在性問題的綜合題。變式4 利用拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)，找到A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B點(diǎn)，PA+PC就轉(zhuǎn)化為PB+PC，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短可知PB+PC取到最小值，即PA+PC取到最小值，最小值為線段BC，這就轉(zhuǎn)化為熟知的“將軍飲馬”問題。變式5由于AC是定值，所以變式5 要使ΔCAP周長最小，只要PA+PC最小，轉(zhuǎn)化為變式4 中的問題，當(dāng)然也可以利用三角形兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)來說明。為進(jìn)一步熟悉三角形三邊關(guān)系，達(dá)到觸類旁通，增加了變式6 兩條線段差的絕對(duì)值最大問題，由三角形兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)來說明。解法都是作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)來求解。

三、二次函數(shù)與特殊三角形存在性問題的綜合

變式7：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使ΔPCB為等腰三角形？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

變式8：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ΔQCB為直角三角形？如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

從幾何的角度來看，等腰三角形存在性的基本模型是“兩圓一線”，直角三角形存在性的基本模型是“兩線一圓”，通過畫出不同的圖形進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合利用方程思想、解析幾何等知識(shí)求解。等腰三角形主要利用三線合一重要性質(zhì)、直角三角形主要利用兩條直線互相垂直k1·k2=-1 以及構(gòu)造一線三垂直模型求解。從代數(shù)的角度來看，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的特殊位置，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式分別求出特殊三角形三條邊的長度，再根據(jù)題意進(jìn)行分類求解即可。等腰三角形分別以誰為腰三種情況進(jìn)行討論，即PB=PC、BP=BC、CB=CP；而直角三角形分別以誰為斜邊三種情況進(jìn)行討論，即QB2+QC2=BC2、BC2+QC2=QB2、QB2+BC2=QC2。

第三類問題是以二次函數(shù)為背景，求特殊三角形存在性問題的綜合題。此類題型中可以抓住動(dòng)點(diǎn)P出現(xiàn)在不同的位置，比如坐標(biāo)軸上進(jìn)行變式，達(dá)到異題同構(gòu)，提升歸納，從變中發(fā)現(xiàn)不變，總結(jié)解題規(guī)律。當(dāng)然也可以延伸到矩形、菱形存在性問題，實(shí)質(zhì)上就是矩形先找到直角三角形存在，菱形先找到等腰三角形存在，再利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，利用中點(diǎn)公式求解。

四、二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題的綜合

變式9：在x 軸上是否存在點(diǎn)M，對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

變式10：在x軸上是否存在點(diǎn)M，拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

變式11：在y軸上是否存在點(diǎn)M，拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

從幾何的角度來看，平行四邊形存在性依據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)通過已知點(diǎn)作平行線畫出草圖，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。從代數(shù)的角度來看，利用中點(diǎn)公式，由平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)可以得到對(duì)角線兩端點(diǎn)坐標(biāo)之和相等，我們只要將所有未知點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來，根據(jù)對(duì)角線的不同情況進(jìn)行分類討論求解即可，當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)，即B+C=M+N；當(dāng)BM是對(duì)角線時(shí)，即B+M=C+N；當(dāng)BN是對(duì)角線時(shí)，即B+N=M+C。

第四類問題是以二次函數(shù)為背景，求平行四邊形存在性問題的綜合題。此類題型中主要抓住動(dòng)點(diǎn)M、N出現(xiàn)在不同的位置滿足不同的條件，可以是y軸，甚至也可以是平面上的任意一點(diǎn)。這幾個(gè)變式分別使動(dòng)點(diǎn)出現(xiàn)在對(duì)稱軸及坐標(biāo)軸上等不同位置，但是平行四邊形存在性問題不變，不論是幾何法還是代數(shù)法都還能繼續(xù)使用，經(jīng)過這幾個(gè)變式讓學(xué)生學(xué)會(huì)并掌握解決此類問題的通式通法。

五、二次函數(shù)與方程、不等式問題的綜合

變式12：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0有實(shí)數(shù)根，求t的取值范圍。

變式13：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0在-1＜x＜4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，求t的取值范圍。

變式14：若二次函數(shù)的解析式為y1=ax2+bx+c的圖像如圖1 所示，直線BC的解析式為y2=mx+n，請(qǐng)直接寫出當(dāng)x滿足何值時(shí)，ax2+bx+c≤mx+n。

變式15：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如上圖所示，點(diǎn)Q（m，n）在該二次函數(shù)圖像上，若點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離小于3，請(qǐng)根據(jù)圖像直接寫出n的取值范圍。

第五類問題是以二次函數(shù)為背景，主要是用函數(shù)的思想來解決方程、不等式問題的綜合題。變式12～變式14，無論是方程還是不等式，我們只需要將其看成是兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解即可。變式12 中將方程ax2+bx+c-t=0 變 形為ax2+bx+c=t，看 成y1=ax2+bx+c與y2=t，把一元二次方程有實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)這一問題求解；變式13是在變式12的基礎(chǔ)上，只是二次函數(shù)y1不是整個(gè)拋物線，而是在-1＜x＜4拋物線的這一部分來判斷交點(diǎn)情況；變式14 是平時(shí)作業(yè)考試中經(jīng)常出現(xiàn)的，我們只要抓住臨界點(diǎn)（即交點(diǎn)）來判斷即可。變式15 是近幾年寧波中考的一個(gè)趨勢(shì)，從函數(shù)圖像的本質(zhì)出發(fā)，根據(jù)確定的x（或y）的取值范圍，從數(shù)到形，結(jié)合圖像，再從形到數(shù)求得對(duì)應(yīng)的y（或x）的取值范圍，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一非常重要的數(shù)學(xué)思想。

六、二次函數(shù)與三角形相似存在性的綜合

變式16：在線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PF⊥x于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)Q，連接QC，是否存在點(diǎn)Q，使得ΔPQC和ΔPFB相似？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

變式17：在線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)P，是否存在點(diǎn)P，使得ΔPOC和ΔABC相似？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

第六類問題是以二次函數(shù)為背景，主要是解決三角形相似存在性問題的綜合題。此類問題是圍繞三角形相似存在性展開的，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相似三角形存在性的必要條件，再利用相似三角形的判定定理來求解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性以及廣闊性。變式16 中相似三角形比較明顯能找到對(duì)頂角相等來確定ΔPQC的∠CPQ和ΔPFB的∠BPF已經(jīng)對(duì)應(yīng)好了，再由ΔPQC中∠PCQ和∠PQC分別為直角來進(jìn)行分類討論求解即可。當(dāng)∠PCQ為直角時(shí)，可以利用兩條直線互相垂直k1·k2=-1 來求出直線QC的解析式，再求出與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)Q，最后代入直線BC解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)然也可以抓住本題中ΔBOC是等腰直角三角形這一特殊性求解；當(dāng)∠PQC為直角時(shí)，此時(shí)QC∥x軸，因此利用Q點(diǎn)與C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再利用Q點(diǎn)與P點(diǎn)橫坐標(biāo)相同求出P點(diǎn)坐標(biāo)。而變式17 相似三角形存在的首要條件不容易發(fā)現(xiàn)，本題中∠PCO與∠CBA是對(duì)應(yīng)角，都是45°，等確定好對(duì)應(yīng)角后再進(jìn)行分類討論：①②，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來求出線段PC的長后，再求點(diǎn)P坐標(biāo)。

這兩個(gè)變式歸納了相似三角形存在性的兩種基本情況，首先找到一組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再選擇一組角對(duì)應(yīng)相等或者把對(duì)應(yīng)角夾住的對(duì)應(yīng)邊成比例來進(jìn)行分類、討論、求解。

七、二次函數(shù)與三角形面積問題的綜合

變式18：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得SΔPAB=SΔABC？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

變式19：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

變式20：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得2SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

第七類問題是以二次函數(shù)為背景，圍繞三角形面積的綜合題。三角形面積相關(guān)的問題通常可以利用作平行線法，同底等高面積相等求解，要注意平行于底邊的平行線有上下兩條。變式18 比較容易就能發(fā)現(xiàn)相同的底是AB，因此只要滿足P點(diǎn)到底AB的距離等于C點(diǎn)到AB的距離，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±5，代入求解即可。而變式19 由于底不在水平線上，因此本題求解有較大的難度，這里介紹兩種解法，一種就是利用平行線法求解，利用兩條直線互相平行k1=k2這一性質(zhì)求出過點(diǎn)E的關(guān)于直線BC平行的直線，再求出該平行線與拋物線的交點(diǎn)即可，再根據(jù)對(duì)稱性，利用一組平行線之間軸交點(diǎn)距離相等求出另一條平行線，同樣的方法求出該平行線與拋物線的交點(diǎn)即可。另一種可以用“鉛垂高，水平寬”模型求解，注意動(dòng)點(diǎn)的位置來進(jìn)行分類討論，為了體現(xiàn)通式通法，變式20改變了面積之前的比例系數(shù)，方法不變。

至此，通過改變條件、改變問題、改變情景，把一道二次函數(shù)習(xí)題進(jìn)行了20 次的變式，從多層次的維度考查了二次函數(shù)與其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合的各種綜合題的運(yùn)用。通過本題的變式教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)到二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中的重要地位，也讓學(xué)生享受并掌握到這么多綜合題的解題技巧與解題方法，構(gòu)建二次函數(shù)的知識(shí)脈絡(luò)，樹立學(xué)習(xí)二次函數(shù)綜合題的信心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

變式教學(xué)可以提高課堂教學(xué)效率，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。教學(xué)中通過一個(gè)問題解決一類問題，有效地?cái)U(kuò)充課堂教學(xué)容量，從而真正達(dá)到減負(fù)提質(zhì)的目的。

作為教師，我們不僅要有良好的變式意識(shí)，還要遵循變式教學(xué)的一般規(guī)律，會(huì)用嫻熟的變式方法，合理安排適合變式教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。如果教師能夠把握變式教學(xué)的正確方法和尺度，在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)厥褂米兪浇虒W(xué)，就能夠有效地幫助學(xué)生從“題海戰(zhàn)役”中解放出來，建立清晰的知識(shí)體系，掌握各種解題方法與解題技巧，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，將起到非常積極的作用，這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下教師需要深度思考的地方。