南京師范大學 顧晨飛，趙御彤，陳晗

伴隨著中國經濟的迅速發(fā)展，中國的用水需求越來越大。水資源的分配作為影響國計明民生的大問題，受到越來越多的重視。利用數學知識研究分配方案，實現宏觀調控，成了水資源分配的重要方法之一。合理的分配方案可以提高水資源的利用效率，避免水資源浪費問題的出現；相反，錯誤的方案會加劇水資源的短缺，使得水資源的配置出現出現不公平，不合理的現象，嚴重影響人民生活的需求。

大壩在水資源的配置中占有重要地位。大壩對于灌溉、防洪、發(fā)電、航運、和供水均有重要的作用。其中，大壩的供水和水力發(fā)電發(fā)電功能對城市的發(fā)展尤為重要。水力發(fā)電需要水庫水位高于閾值時才能實現，當水位高度低于某個值時，水力發(fā)電將停止。盡管如此，我們抽取大壩水源也應采取適量的原則，否則便無法做到未雨綢繆，同時也會引發(fā)一系列的環(huán)境問題。水壩并不完全是獨立工作的，當一條河流存在兩座及兩座以上的水壩時，可以將上游的水壩一部分水資源調入到下游的的水壩，這樣做有時更加利于水資源的合理分配。

干旱地區(qū)的水資源分配更是棘手而重要的議題。由于氣候和原因，我國存在著一些干旱，半干旱地區(qū)，近年來的極端氣候更是加劇了干旱。高溫加劇了水資源蒸發(fā)的速率，水庫水位也出現了逐年下降的情況。但干旱地區(qū)的用水需求不減反增，水資源的缺少和分配的不合理加劇了干旱，半干旱的地區(qū)的用水矛盾。因此，在努力加強環(huán)境保護的同時，我們應該尋找水資源和電力資源配置的最優(yōu)方案。然后，我們應該使資源配置更加科學、合理，以應對在目前或將來可能發(fā)生的各種情況。

近年來，許多研究人員對水資源分配計劃做出了貢獻。薩爾曼介紹了一個線性規(guī)劃(LP)優(yōu)化方法[1]，而Reca則使用了經濟優(yōu)化方法分析不同季節(jié)下灌溉用水的分配[2].比爾薩和杜阿爾特[3],在西班牙東北部研究灌溉和水電時，研究了一個這兩個部門之間的水資源分配的競爭。

武漢大學，在研究水資源分配時對瀾滄江和湄公河的治理問題，首先實施了整體流域規(guī)劃，然后利用效益差分析，進行總體收益的合作博弈分析來獲得分配最優(yōu)方案。[4]以上研究為我們的研究提供了廣泛的思路。

為了平衡研究的實用性和復雜度，我們主要考慮了農業(yè)用水，工業(yè)用水，居民用水（以下稱為三個部門）和水力發(fā)電四個方面。本文提出一種動態(tài)水資源分配的動態(tài)競爭方法用于在不同干旱條件下水資源分配問題。該方法以月為單位，根據水庫的當前總量和河流供給量的和來判斷水源的充足程度。不同的水源充足程度（充足，半干旱，干旱）對應著不同的水資源分配方案。

一、方法原理

本研究考慮一條河流中具有兩座大壩，兩座大壩當水位高于一定高度時才具有發(fā)電能力。河流周圍有若干城市需要用水，為簡單起見，我們假設每座城市只由一個水庫供水。同時兩座水庫可以協調，即位于上游的水庫可以給下游水庫供給一部分水源。

（一）不同水源充足程度下的資源分配方案

本研究為每個城市每個部門的用水設置一個上限和下限，稱為最低需求和一般需求。最低用水量必須滿足，一般用水量可以不滿足。當水資源充足時，采用滿足部門一般需求，多余水量貯存于水庫的分配方案；當處于半干旱的狀態(tài)時，在滿足最低需求的情況下通過規(guī)劃使得總效益最大化來確定分配方案；當處于干旱狀態(tài)，我們基于優(yōu)先級來分配水資源。

（二）水源充足程度的判定依據

僅僅考慮水庫當前水量是不科學的。因為假如是在雨季，即在供給量充足的情況下，我們仍有信心水資源是充足的；相反，假如可以預見之后較后一段時間沒有降水，那么即使水庫水量充足也應居安思危。因此我們考慮水庫的當前總量和河流供給量的和AW并設定兩個閾值V1和V2。AW大于V2表示足夠的水，AW小于V1為干旱，中部對應半干旱的情況。如圖1。

圖1 水分配動態(tài)競爭模型

二、研究過程

假設P水庫（上游）供應a個城市，M水庫（下游）供應b個城市。記N=a+b。

（一）水量-經濟效率的研究

1.農業(yè)和工業(yè)

首先，我們需要計算出每單位水對農業(yè)的經濟價值。該表達式如下:

式中，EBagr表示單位水的農業(yè)經濟價值，Pagr(i)表示第i個城市一年內的農業(yè)總收入，Dagr(i)表示一年內第i個州的農業(yè)用水量。同時，每單位水也具有對工業(yè)有類似的經濟價值。

2.發(fā)電站

渦輪機產生的發(fā)電功率受到各種因素的影響，如溫度、流速和環(huán)境溫度?？偘l(fā)電功率=綜合系數*管道橫截面積*流速*落差，其中流速和落差隨時間推移變化較大。流經渦輪機的水流速度難以獲取，所以在本研究中假設流速是恒定不變的，于是可以假定發(fā)電功率與落差正相關。

當考慮到水力發(fā)電的經濟效益時，計算公式為：電廠的經濟總價值=電站的發(fā)電量*電價P。

此外，根據物理知識，我們可以推導出以下發(fā)電的功率方程：發(fā)電量與落差△h成正比，落差即為當前水庫高度與水庫的最低發(fā)電高度之差。

3.住宅用水

住宅用水主要用于滿足人們日常生活的基本需求。這里我們認為住宅用水所產生的經濟效益為零。

水資源的分配去向如圖2所示：

圖2 水資源分配去向

4.產業(yè)優(yōu)勢系數

農業(yè)和工業(yè)都產生了經濟效益，但不同的城市的優(yōu)勢產業(yè)是不同的。因此，我們定義了農業(yè)優(yōu)勢系數和工業(yè)優(yōu)勢系數來表示農業(yè)或者工業(yè)在這個城市的主導程度。某個城市的農業(yè)優(yōu)勢系數advagr的計算方法為該城市的農業(yè)生產總值除以所有城市的農業(yè)生產總值的最大值。某個城市的工業(yè)優(yōu)勢系數advind的計算方法是類似的。

5.N個城市的經濟總效益

結合這些分析，我們得出以下N個城市的總經濟效益公式：

Sagr(i)為分配給第i個城市的農業(yè)用水，Sind(i)為分配給第i個城市的工業(yè)用水。

（二）水資源分配的動態(tài)競爭研究

1.半干旱下使總效益最大化（V1<=AW<=V2）

（1）農業(yè)滿意度和工業(yè)滿意度

農業(yè)滿意度和工業(yè)滿意度是指農業(yè)和工業(yè)中對供水的滿意度。供水滿意度的具體計算方法為

（2）環(huán)境效益

我們構建了描述節(jié)約程度的指標來描述環(huán)境效益。除去用于供應給N個城市的三個部門后，余下的水越多環(huán)境效益就越高。過度使用水庫水資源會導致土壤鹽度增高，對生態(tài)環(huán)境造成一系列的負面影響。因而我們希望盡可能的節(jié)約水資源。指標Sav計算方法為：剩余的水量除以水庫的可分配的總水量。

（3）規(guī)劃求解分配方案

目前，我國缺乏大量的林業(yè)資源保護管理專業(yè)人才。大部分員工在高中或以下受教育。受過高等教育的管理人員嚴重短缺，只有少數受過本科或高等教育的管理人員。這在很大程度上是因為我國林業(yè)發(fā)展空間尚未得到充分開發(fā)，許多專業(yè)人士認為沒有發(fā)展空間，因此很難留住專業(yè)人才，加上林業(yè)資源保護管理崗位具有流動性的特點，所以效率不是很高。管理水平很低。

①目標函數

εi表示這三種效益的權重。EBtotalmax指不考慮社會效益和環(huán)境效益時，經濟效益能達到的最大值。

②約束條件

該規(guī)劃求解有如下的約束條件：分配給某個城市的用水量之和等于對應的三個部門的用水量之和；每個城市三個部門的供水量需要大于等于對應的最低需水量。P水壩供應的水量加上P供給給M的水量不超過可分配的總水量。M水壩供應的水量不超過自身可分配的水量+P供給給M的水量。

2.干旱下基于公平和優(yōu)先級的分配方案（AW<=V1）

在這種情況下，四個部門之間的水資源競爭變得更加激烈，當干旱發(fā)生時，我們堅持“以人為本”的原則，應該首先滿足居民用水的需求；然后，工業(yè)用水產生更多的經濟效益，所以如果有多余的水，它首先提供給工業(yè)部門，然后是農業(yè)。在這種情況下，我們將減少發(fā)電的水量。對電力的需求可以被其他形式的發(fā)電所取代。

對于城市之間的競爭，我們應該強調公平。我們不希望看到一個城市獲得了較多的水資源，而另一個城市獲得的水資源卻很少[5]。因此，我們所采用的原則是：首先基于公平性確定給每個城市的供水量；然后基于優(yōu)先級，首先是向住宅部門供水，然后是向工業(yè)部門供水，最后是向農業(yè)部門供水。

考慮到公平性，我們建立了如下目標函數，以確保各個城市的供水滿足率不會出現極端的不平衡：

S(i)為分配給第i個城市的供水量。Dnormal(i)是每個城市的農業(yè)、工業(yè)和住宅的正常用水量的總和。此外，為保證水庫供水的可持續(xù)性，對N個城市供水總量不能超過其自身的供水量。約束條件為所有城市分配的水量之和小于等于可分配的總水量。

（2）確定某個各個部門的分配水量

分配方法如下：

我們先對住宅部門進行水資源的分配，如果有多余的水，我們先將其分配給工業(yè)部門，在向工業(yè)部門供水之后，如果有多余的水，我們再將其分配給農業(yè)部門。

3.水分充足情況下的分配方案（AW>=V2）

在這種情況下，可以滿足每個部門的一般水需求。此時采用滿足部門一般需求，多余水量貯存于水庫的分配方案。

三、方案的更新頻率

由于我們的研究是動態(tài)的，因而我們的水資源的分配方法會隨著時間的變化而變化。因而方案的更新頻率是一個值得思考的問題。更新頻率過高，會增大我們運算的負擔；更新頻率過低，則很可能使得整個系統(tǒng)不能根據水量的變化作出及時的反應，因而造成不合理的分配。既然我們的分類標準是基于的水庫水量和流入量的總和，我們自然而然地想到，在這個和的變化率最大時更新模型。

為了進一步分析上述所說的和隨時間的變化率，我們采用三次樣條插值方法法，并采用差分方法法近似得到和關于時間的導數。在應用差分方法時，步長應取的盡量小，在本研究中了我們取了0.1。

我們選擇了若干城市，選擇2021年水庫12個月的流入量作為補充水源，水庫的容量作為輸入數據進行模擬。根據對模擬結果的分析，我們的研究得出了和的導數隨時間的變化，我們得出以下結論：在我們研究的方案的運作下，水庫的容量在春季生長緩慢，夏季增長迅速，秋季和冬季迅速下降；這與實際情況吻合，這說明我們的研究不僅是理論上的，也具有一定的現實意義。導數的最大正值和最大負值分別取于x=6.3和x=12，分別對應于6月9日和12月1日，建議在這兩個日期重新更新方案。

四、總結

（1）研究討論了在三種不同情況下水的分配方案，在雨季和旱季我們都有良好的解決方案，在時間維度上具有良好的可遷移性。

（2）人口，農業(yè)和工業(yè)的增長和萎縮，會造成需水量的變化，其對研究的影響都是復雜的。如果知道這些變化的趨勢或具體情況，研究可以作進一步的改進。事實上，我們在今后的研究中會逐步考慮這一點。

（3）我們的研究模擬了水庫在一年內的流入和流出，以及模擬研究結果符合現實情況。這說明我們的研究具有相當的現實意義。

（4）在考慮總效益時，我們設置的權重時是不確定的，可以根據實際情況進行調整，因而具有一定的靈活性。

五、展望

總而言之，干旱地區(qū)的水資源分配問題是亟待解決的。我們的研究雖然取得了一定的成果，但仍有許多不足之處。想要實現水資源的合理配置，必須經過多方的共同努力：科技技術的改革，水利部門的管理宣傳，農業(yè)工業(yè)用水結構的優(yōu)化，居民節(jié)約用水意識的提高，這些都對水資源的合理配置起著重要的作用。