邱智宇 肖桂娜 蘇桂鋒

(上海師范大學(xué)物理系 上海 200234)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性量度的重要特性，在航空事業(yè)、風(fēng)力發(fā)電、汽車零件等領(lǐng)域中起重要作用[1]．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅取決于構(gòu)件總質(zhì)量，還與其形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)．無(wú)論剛體形狀規(guī)則與否，利用扭擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是精度較高的方法，是大學(xué)物理的重要必修實(shí)驗(yàn)，更是被廣泛地應(yīng)用于測(cè)量制造業(yè)零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[1,2]．由此，教師應(yīng)重視剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，充分展現(xiàn)現(xiàn)代信息技術(shù)時(shí)代的特征，合理利用多媒體技術(shù)實(shí)現(xiàn)教育現(xiàn)代化，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)物理模型的感性認(rèn)知，喚醒物理觀念的理性思維；信息、編程技術(shù)與物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)相結(jié)合以實(shí)現(xiàn)教育信息化，已經(jīng)成為高校物理教育改革目前的熱門(mén)研究課題和教育發(fā)展的優(yōu)良趨勢(shì)[5]．

本文以質(zhì)量均勻物體對(duì)其幾何中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量為例，利用MATLAB編程與Curve Fitting Tool工具，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值可視化、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合精確化，更能將實(shí)驗(yàn)過(guò)程以動(dòng)畫(huà)形式呈現(xiàn)．

1 實(shí)驗(yàn)工具與實(shí)驗(yàn)原理

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

將待測(cè)物體置于螺旋彈簧載物臺(tái)上，物體與螺旋彈簧同步運(yùn)動(dòng)．根據(jù)胡克定律，當(dāng)物體在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)某一角度θ后，螺旋彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力矩M為

M=-Kθ

(1)

式中，K為螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)．再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，物體的力矩M為

M=Iα

(2)

式中，I表示物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，α為角加速度．物體在螺旋彈簧恢復(fù)力矩的作用下與彈簧共同繞垂直于水平面的轉(zhuǎn)軸做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此式(1)、(2)聯(lián)立得

(3)

忽略軸承的摩擦力矩，由式(3)和角加速度的定義可得

(4)

令

可得關(guān)于θ的二階常微方程

(5)

由此可知置于扭擺上物體的運(yùn)動(dòng)具有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特性，此方程的解為

θ=Acos(ωt+φ)

(6)

式中A為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，φ為相位角，皆由初始條件決定；ω為角速度，扭擺法過(guò)程的簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期為

(7)

所以待測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(8)

圖1 扭擺法測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)原理圖

(9)

式中由于T0和T1能夠通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量

是已知量，則可得到彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)K的值為

(10)

由此，只要測(cè)得待測(cè)物體隨著螺旋彈簧轉(zhuǎn)動(dòng)的總周期，即可得到待測(cè)物體和支架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和[3,4]．綜上所述，待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(11)

1.2 MATLAB介紹

MATLAB被應(yīng)用于算法、數(shù)據(jù)分析與計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化的高級(jí)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分．MATLAB的主界面如圖2所示.

圖2 MATLAB軟件主界面

圖2中編輯器為主體，功能為程序編入與調(diào)試，能以顏色區(qū)別代碼顯示的功能．運(yùn)行編輯器，工作區(qū)以矩陣形式存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，并得出數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果和繪制相關(guān)函數(shù)圖像或動(dòng)態(tài)圖像．命令行窗口(Command Window)為主要交互式窗口，位于編輯器下方，輸入指令后顯示除圖形以外的執(zhí)行結(jié)果．命令窗口中“?”符號(hào)為命令提示符，表示MATLAB正在處于準(zhǔn)備狀態(tài)．在命令提示符后輸入命令并按回車鍵，MATLAB就會(huì)解釋執(zhí)行所輸入的命令，并在命令后面給出計(jì)算結(jié)果．

MATLAB語(yǔ)言具有解釋性，程序簡(jiǎn)潔易懂．不僅能夠直接在命令行窗口輸入命令，也可以在編輯器內(nèi)編寫(xiě)應(yīng)用程序，然后在MATLAB環(huán)境下對(duì)程序命令進(jìn)行處理，處理的對(duì)象為矩陣或調(diào)用函數(shù)，最后返回運(yùn)算結(jié)果．因此，其程序編寫(xiě)較易上手，可以通過(guò)直觀的數(shù)學(xué)表達(dá)式實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的處理．在扭擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)中需要運(yùn)用其主體與工具包Curve Fitting，前者用于實(shí)驗(yàn)過(guò)程動(dòng)畫(huà)繪制與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值函數(shù)圖像繪制；后者于工具欄中APP一欄，能直接讀取實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)中時(shí)間與位移的數(shù)據(jù)，通過(guò)傅里葉函數(shù)分析擬合，得函數(shù)表達(dá)式，可直接讀出其周期值．在扭擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中， MATLAB以其語(yǔ)言易懂化、圖像可視化、數(shù)值分析能力優(yōu)異性等特點(diǎn)，不論是實(shí)驗(yàn)過(guò)程、實(shí)驗(yàn)理論值，還是實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的函數(shù)擬合，均起到極佳的教學(xué)輔助作用．

2 實(shí)驗(yàn)方法

根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理需要測(cè)定各類規(guī)則物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值和扭轉(zhuǎn)常數(shù)K，根據(jù)規(guī)則物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的積分計(jì)算過(guò)程，通過(guò)編輯MATLAB程序，可獲得如圖3所示的不同厚度的均勻圓筒和均勻球殼、不同長(zhǎng)度均勻細(xì)桿繞中心軸或轉(zhuǎn)軸，以及其他形狀規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值[5]．點(diǎn)擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)提示，便可選取理論曲線上任意一點(diǎn)獲得單位厚度或距離細(xì)桿軸線一定距離的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量數(shù)值,如圖3中均勻圓筒對(duì)柱體軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圖像中，當(dāng)圓筒中空心部分半徑R0與圓筒總體半徑R之比為某值時(shí)，圖3(a)中可直接讀得數(shù)據(jù)與圓柱體的質(zhì)量和半徑平方的乘積即為已知質(zhì)量和幾何參數(shù)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值．理論值的獲得不僅有助于分析實(shí)際測(cè)量物理量數(shù)據(jù)的精確程度，而且在扭擺法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過(guò)程中具有輔助作用．

圖3 規(guī)則物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的獲得

獲得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論數(shù)據(jù)和相關(guān)實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備工作后，利用扭擺法開(kāi)始進(jìn)行實(shí)物測(cè)量，第一步測(cè)量金屬托盤(pán)空載時(shí)的周期．其具體步驟為：先調(diào)整扭擺底座的底角螺絲，使螺旋彈簧上側(cè)水準(zhǔn)儀中的氣泡居中．然后，裝配金屬載物盤(pán)，并調(diào)整光電探頭的位置，測(cè)定其擺動(dòng)周期T0，測(cè)3次求平均值．扭擺法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)過(guò)程步驟存在先后順序，且口頭描述較為復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)教學(xué)的過(guò)程中可通過(guò)MATLAB進(jìn)行動(dòng)畫(huà)展示，分析每一步驟的細(xì)節(jié)與注意點(diǎn)．如圖4所示，圖中灰色圓框?yàn)榻饘俚鬃母┮晥D像，突出部分為擋光軸，黑色線條組成部分為光電門(mén)．

圖4 扭擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)過(guò)程俯視動(dòng)畫(huà)關(guān)鍵幀圖像

開(kāi)始時(shí)，如圖4(a)所示，需要將擋光軸與光電門(mén)所在軸線垂直，保證初始擺角相同且約為90°，此時(shí)螺旋彈簧對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差影響最小[6]．釋放螺旋彈簧后，載物盤(pán)隨螺旋彈簧旋轉(zhuǎn)(如圖4所示為先順時(shí)針旋轉(zhuǎn))，通過(guò)光電門(mén)之后，周期測(cè)定儀會(huì)記錄讀數(shù)，擋光軸繼續(xù)向順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，到達(dá)彈性限度后再沿著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，以此進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最終周期測(cè)定儀記錄擋光軸往復(fù)10次的時(shí)間，該時(shí)間除以周期測(cè)量次數(shù)后，便可得載物盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)一次的運(yùn)動(dòng)周期，減少扭擺周期測(cè)量的誤差．利用動(dòng)畫(huà)演示，可以將初始設(shè)置情況與周期這類微小數(shù)據(jù)測(cè)量方法描述得更加細(xì)致、準(zhǔn)確．通過(guò)Mxcel的編程功能，可以再現(xiàn)螺旋彈簧運(yùn)動(dòng)情況，由此能夠讓學(xué)生更好地理解實(shí)驗(yàn)過(guò)程各參數(shù)的測(cè)量步驟及注意事項(xiàng)．將具象的動(dòng)畫(huà)過(guò)程與單一的語(yǔ)言相結(jié)合，提升了物理實(shí)驗(yàn)課堂教學(xué)的多樣性與趣味性．

此外，實(shí)驗(yàn)中需要捕捉大量的周期數(shù)據(jù)，按照傳統(tǒng)方法需要花費(fèi)大量精力進(jìn)行數(shù)值整理與計(jì)算．利用Tracker軟件輔助自動(dòng)追蹤擋光軸，捕獲擋光軸在10個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可將捕捉的數(shù)據(jù)軌跡以Excel的文件形式直接導(dǎo)入MATLAB軟件，在命令行窗口轉(zhuǎn)化為矩陣的形式．通過(guò)工具包Curve Fitting中的傅里葉函數(shù)分析擬合，不僅能夠直觀地觀察其運(yùn)動(dòng)軌跡，還可以得到函數(shù)表達(dá)式，從而可直接讀出載物臺(tái)或其他物體運(yùn)動(dòng)的周期值．圖5中實(shí)線框處下拉，選擇“Fourier”軟件將自動(dòng)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合處理，虛線框中的數(shù)據(jù)即為數(shù)據(jù)處理完畢后，載物盤(pán)隨螺旋彈簧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的角頻率，用2π除以該數(shù)值即為扭擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中需要的周期．

圖5 Curve Fitting傅里葉函數(shù)擬合數(shù)據(jù)界面

3 數(shù)據(jù)處理

本次實(shí)驗(yàn)在螺旋彈簧扭轉(zhuǎn)系數(shù)的確定中選用質(zhì)量為0.877 kg，直徑為0.089 5 m的圓柱體，所得螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)K如表1所示.

表1 螺旋彈簧扭轉(zhuǎn)系數(shù)K的確定

本文提及實(shí)驗(yàn)中彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)K=0.033 1 N/m，已知支架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I桿支架=3.21×10-3kg·m2，I球底座=1.87×10-3kg·m2，本次實(shí)驗(yàn)測(cè)量的對(duì)象有：大塑料圓柱體、小塑料圓柱體、塑料球、金屬圓筒和金屬細(xì)桿，表2為在MATLAB軟件輔助下利用扭擺法測(cè)量上述物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與誤差.

表2 各種物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定

利用Curve Fitting工具包中的傅里葉函數(shù)分析擬合直接讀取周期數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)相比：轉(zhuǎn)動(dòng)周期的獲得操作便捷且代入公式得到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值相對(duì)誤差較小，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較可靠，具有參考價(jià)值．由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可見(jiàn)，被測(cè)樣品的實(shí)驗(yàn)誤差均低于或在1.5%，金屬物體測(cè)得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較理論值的相對(duì)誤差較大，可能由于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)不均勻，可成為后續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)改進(jìn)的突破口．

4 結(jié)論

本文將MATLAB編程與Curve Fitting工具包應(yīng)用于扭擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大學(xué)普通物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)及其數(shù)據(jù)處理中，不僅能夠科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氐玫揭?guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值，也能夠通過(guò)傅里葉函數(shù)擬合迅速便捷地得出物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)值，在掌握物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)原理的基礎(chǔ)上，摒棄了傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)冗長(zhǎng)的計(jì)算步驟，同時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差較小；而對(duì)于課堂教學(xué)方面，通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)圖像的運(yùn)動(dòng)與旋轉(zhuǎn)，能再現(xiàn)扭擺法測(cè)量的過(guò)程，便于學(xué)生的想象與理解，利用多媒體設(shè)備實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的多元化、可視化和信息化，融教育于信息時(shí)代的社會(huì)大背景，實(shí)現(xiàn)教育形式的進(jìn)步，貫徹教育信息化的落實(shí)．