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        基于Shepard 插值殘差修正的TIN 模型預(yù)測(cè)高程異常

        2022-07-04 01:55:32趙春艷
        地理空間信息 2022年6期
        關(guān)鍵詞:區(qū)域模型

        趙春艷

        (1. 唐山市水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院,河北 唐山063000)

        隨著衛(wèi)星定位技術(shù)的發(fā)展,高程測(cè)量方法由傳統(tǒng)的水準(zhǔn)測(cè)量逐漸向GNSS測(cè)量轉(zhuǎn)變。如何實(shí)現(xiàn)大地高轉(zhuǎn)化為正常高是相關(guān)工作人員的研究熱點(diǎn)[1-3]。目前常見的數(shù)學(xué)模型有二次曲面模型、多面函數(shù)模型、最小二乘配置模型和半?yún)?shù)模型等,配合常用的重力場(chǎng)模型例如EGM96、EGM2008、EIGEN-CG01C,可以獲取厘米級(jí)的高程異常擬合成果,但上述數(shù)學(xué)模型均是在一定區(qū)域內(nèi)構(gòu)建總體模型,待定點(diǎn)計(jì)算的高程異常成果僅與其坐標(biāo)值有關(guān),未能與臨近已知點(diǎn)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)[4-12]。針對(duì)上述問題,移動(dòng)曲面模型可以根據(jù)待定點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離定權(quán)進(jìn)行擬合,但精度未有明顯提高,考慮到狄洛尼三角網(wǎng)(TIN)能夠?qū)y(cè)區(qū)進(jìn)行細(xì)化,本文使用TIN模型進(jìn)行高程異常擬合計(jì)算,針對(duì)靠近三角形邊界的待定點(diǎn),加入Shepard插值進(jìn)行殘差修正。

        1 高程異常的TIN模型

        狄洛尼三角網(wǎng)是相互連接但互不重疊的三角形的集合,各三角形的外接圓均不包含其他點(diǎn),建網(wǎng)時(shí)的步驟為:選取最西南方向一點(diǎn)作為起始點(diǎn),與相鄰一點(diǎn)形成基邊;然后尋找第三點(diǎn)形成三角形;再以新生成的兩條邊分別作為基邊,繼續(xù)構(gòu)建三角形,構(gòu)建時(shí)應(yīng)當(dāng)滿足各三角形的外接圓均不包含其他點(diǎn)的條件。

        在高程異常擬合中,狄洛尼三角網(wǎng)應(yīng)當(dāng)以已知點(diǎn)作為三角形頂點(diǎn),布網(wǎng)結(jié)束后應(yīng)確保所有待定點(diǎn)有且僅有一個(gè)所屬三角形。此時(shí)各待定點(diǎn)的高程異常值與其所屬區(qū)域有關(guān),也與所屬區(qū)域頂點(diǎn)的高程異常值有關(guān),可取待定點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的距離定權(quán),則高程異常的TIN模型待定點(diǎn)高程異常計(jì)算公式如式(1)所示:

        式中,ξ為待定點(diǎn)高程異常值;S1,S2,S3為待定點(diǎn)至頂點(diǎn)的距離;ξ1,ξ2,ξ3為頂點(diǎn)的高程異常值。

        如上文所述,高程異常的TIN 模型存在待定點(diǎn)處于邊界時(shí)的不確定問題,因?yàn)門IN模型是根據(jù)待定點(diǎn)所屬區(qū)域確定其高程異常值,若待定點(diǎn)處于邊界附近,其與本區(qū)域的相關(guān)性就會(huì)降低,與鄰近區(qū)域的相關(guān)性提高,在式(1)中體現(xiàn)的就是待定點(diǎn)至頂點(diǎn)的距離明顯增加,導(dǎo)致高程異常值結(jié)果精度降低。針對(duì)此問題,考慮到Shepard 插值也是根據(jù)待定點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離進(jìn)行擬合,因此使用Shepard 插值對(duì)處在邊界上的待定點(diǎn)進(jìn)行殘差修正。

        2 基于Shepard插值殘差修正

        Shepard插值的計(jì)算式如式(2)所示:

        式中,n為使用的已知點(diǎn)的個(gè)數(shù);ξi為已知點(diǎn)高程異常值;為待定點(diǎn)至已知點(diǎn)的距離的u次方,一般取2。

        由式(2)可以看出,當(dāng)n=3,u=1 且ξi與Si均取三角形頂點(diǎn)時(shí),Shepard 插值就轉(zhuǎn)化為高程異常的TIN模型,即TIN模型是Shepard插值的一種局域化形式。通過限定Shepard 插值的參數(shù)達(dá)到根據(jù)待定點(diǎn)所屬區(qū)域確定其高程異常值的目的,但待定點(diǎn)存在處于三角形邊界的情況,且即使待定點(diǎn)處于三角形內(nèi)部,只要待定點(diǎn)與三角形邊界距離足夠近,也會(huì)引起精度降低,因此本文提出基于Shepard 插值殘差修正方法,具體步驟如下:

        當(dāng)判斷待定點(diǎn)處在三角形邊界或鄰近邊界時(shí),將鄰近邊界所在的三角形與待定點(diǎn)所在三角形拼接為四邊形,根據(jù)式(2)將四邊形的邊界作為已知點(diǎn)進(jìn)行待定點(diǎn)高程異常值計(jì)算,即式(2)中n=4,u的取值由2~4 進(jìn)行調(diào)整,以獲取最優(yōu)的次數(shù)取值。通過基于Shepard 插值殘差修正方法,預(yù)期將處在三角形邊附近的待定點(diǎn)在四邊形內(nèi)進(jìn)行高程異常值擬合,以克服此類待定點(diǎn)精度較低的問題,下面將結(jié)合實(shí)例計(jì)算對(duì)本文提及的理論進(jìn)行驗(yàn)證。

        3 工程概況

        實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取文獻(xiàn)[13]中表1的數(shù)據(jù),GNSS控制點(diǎn)共計(jì)24 個(gè),選取其中的HM01、MH02、HM09、MH12、MH20 作為待定點(diǎn),其余19 個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn),點(diǎn)位分布如圖1所示,其中紅色點(diǎn)表示待定點(diǎn),黑色點(diǎn)表示已知點(diǎn)。X坐標(biāo)由3 063 483.914~3 076 071.229 m;Y坐標(biāo)由524 279.238~536 033.195 m;高程異常值由-19.226~18.999 m。根據(jù)狄洛尼三角網(wǎng)的劃分原則,將圖1 中的區(qū)域劃分為狄洛尼三角網(wǎng)。如圖2 所示,其中藍(lán)色標(biāo)記區(qū)域?yàn)榇c(diǎn)區(qū)域,紅色標(biāo)記區(qū)域?yàn)闊o待定點(diǎn)區(qū)域,下一步擬合值計(jì)算主要針對(duì)藍(lán)色標(biāo)記區(qū)域進(jìn)行,藍(lán)色標(biāo)記區(qū)域編號(hào)為:W,X,Y和Z,其中W 區(qū)域待定點(diǎn)為MH20,X 區(qū)域待定點(diǎn)為HM01 和MH12,Y區(qū)域待定點(diǎn)為MH02,Z區(qū)域待定點(diǎn)為HM09。

        圖1 點(diǎn)位分布

        圖2 狄洛尼三角網(wǎng)劃分

        4 TIN模型實(shí)例驗(yàn)證

        各待定點(diǎn)區(qū)域的三角形邊界點(diǎn)如表1 所示,由于圖2 中可以看出HM01 處在鄰近邊界上,其點(diǎn)位標(biāo)記已與邊界線重合,因此將XK 的聯(lián)合區(qū)域也作為待定點(diǎn)區(qū)域,以便后續(xù)使用Shepard插值進(jìn)行殘差修正。

        表1 三角形邊界點(diǎn)

        使用TIN模型中式(1)對(duì)待定點(diǎn)進(jìn)行高程異常值計(jì)算,同時(shí)為方便比較,使用二次曲面擬合模型對(duì)待定點(diǎn)也進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算成果如表2所示。

        表2 二次曲面與TIN對(duì)比/m

        對(duì)比真誤差,W 區(qū)域的MH20 與X 區(qū)域的MH12在TIN模型中有明顯的真誤差減小,由3 cm以上降低到2 cm以下,Y區(qū)域的MH02和Z區(qū)域的HM09在TIN模型中真誤差降低一個(gè)數(shù)量級(jí),由厘米級(jí)降低為毫米級(jí)。觀察圖2 中的區(qū)域劃分,可知以上4 點(diǎn)均未與三角形邊界點(diǎn)重合,雖然W 區(qū)域的MH20 與Y 區(qū)域的MH02 點(diǎn)位與邊界線鄰近,但點(diǎn)位標(biāo)記存在一定的半徑,實(shí)際點(diǎn)位與邊界線仍有一定的距離;X 區(qū)域的HM01 其點(diǎn)位標(biāo)記與邊界線出現(xiàn)重合,導(dǎo)致其TIN 模型的擬合精度相對(duì)于二次曲面反而降低,說明在該點(diǎn)擬合中,二次曲面的整體擬合效果優(yōu)于TIN模型的局部擬合效果,因此該點(diǎn)所在區(qū)域的局部選取存在不足,需要對(duì)其進(jìn)行殘差修正。

        5 Shepard插值殘差修正實(shí)例驗(yàn)證

        以上內(nèi)容驗(yàn)證了TIN 模型中存在的弊端,針對(duì)此問題結(jié)合本文的理論基礎(chǔ),將HM01在XK區(qū)域內(nèi)進(jìn)行重新計(jì)算,計(jì)算時(shí)對(duì)距離u的次數(shù)分別取2,3,4,計(jì)算成果如表3所示。

        表3 HM01點(diǎn)Shepard插值殘差修正/m

        當(dāng)u的次數(shù)增加時(shí),Shepard插值的真誤差逐漸減小,在u=4 時(shí)降至亞mm級(jí),說明本文使用的Shepard插值的殘差修正對(duì)TIN模型的邊界點(diǎn)有較好的真誤差修復(fù)效果,將待定點(diǎn)在邊界線上的情形轉(zhuǎn)化為鄰近三角形拼接,在四邊形中進(jìn)行Shepard 插值計(jì)算更符合該種待定點(diǎn)的特性,修復(fù)后的TIN 模型與未修復(fù)的TIN模型、二次曲面模型對(duì)比曲線如圖3所示。

        圖3 真誤差對(duì)比

        計(jì)算3種模型的平均相對(duì)誤差如表4所示。

        表4 平均相對(duì)誤差對(duì)比

        本次實(shí)例計(jì)算中,選取區(qū)域較小,因此待定點(diǎn)數(shù)量有限,改進(jìn)的TIN模型精度提升不明顯,若在大區(qū)域中使用本文的方法,則隨著邊界線上的待定點(diǎn)增加,改進(jìn)的TIN模型的效果會(huì)逐漸增大;在未進(jìn)行改進(jìn)時(shí),TIN 模型也優(yōu)于常規(guī)的二次曲面擬合模型。需要注意的是,TIN模型在計(jì)算前需要進(jìn)行三角網(wǎng)劃分,使得該方法在大區(qū)域擬合中會(huì)降低計(jì)算效果,因此應(yīng)當(dāng)權(quán)衡精度與成本,選取合適的高程異常擬合模型。

        6 結(jié) 論

        本文由TIN 模型入手,驗(yàn)證了其在高程異常擬合中相較于常規(guī)模型的優(yōu)勢(shì),針對(duì)該模型存在的缺陷,結(jié)合與之原理近似的Shepard 插值法進(jìn)行了殘差修正,結(jié)果表明Shepard插值法能有效克服TIN模型中待定點(diǎn)處于邊界線上的缺陷;Shepard插值法隨著其距離次數(shù)u的增長(zhǎng),真誤差逐漸減??;待定點(diǎn)使用改進(jìn)后的TIN模型后真誤差由0.019 52 m降低為0.000 7 m,最終平距相對(duì)誤差為0.036%,由于常規(guī)二次曲面的0.124%與未改進(jìn)的TIN模型的0.055%。在實(shí)際使用中應(yīng)注意,實(shí)際點(diǎn)位劃分很難嚴(yán)格遵循狄洛尼三角網(wǎng)的劃分原則,如何尋找一種更優(yōu)的三角形劃分方法,是下一步研究的重點(diǎn)。

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