趙春艷

（1. 唐山市水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，河北 唐山063000）

隨著衛(wèi)星定位技術(shù)的發(fā)展，高程測(cè)量方法由傳統(tǒng)的水準(zhǔn)測(cè)量逐漸向GNSS測(cè)量轉(zhuǎn)變。如何實(shí)現(xiàn)大地高轉(zhuǎn)化為正常高是相關(guān)工作人員的研究熱點(diǎn)[1-3]。目前常見的數(shù)學(xué)模型有二次曲面模型、多面函數(shù)模型、最小二乘配置模型和半?yún)?shù)模型等，配合常用的重力場(chǎng)模型例如EGM96、EGM2008、EIGEN-CG01C，可以獲取厘米級(jí)的高程異常擬合成果，但上述數(shù)學(xué)模型均是在一定區(qū)域內(nèi)構(gòu)建總體模型，待定點(diǎn)計(jì)算的高程異常成果僅與其坐標(biāo)值有關(guān)，未能與臨近已知點(diǎn)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)[4-12]。針對(duì)上述問(wèn)題，移動(dòng)曲面模型可以根據(jù)待定點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離定權(quán)進(jìn)行擬合，但精度未有明顯提高，考慮到狄洛尼三角網(wǎng)（TIN）能夠?qū)y(cè)區(qū)進(jìn)行細(xì)化，本文使用TIN模型進(jìn)行高程異常擬合計(jì)算，針對(duì)靠近三角形邊界的待定點(diǎn)，加入Shepard插值進(jìn)行殘差修正。

1 高程異常的TIN模型

狄洛尼三角網(wǎng)是相互連接但互不重疊的三角形的集合，各三角形的外接圓均不包含其他點(diǎn)，建網(wǎng)時(shí)的步驟為：選取最西南方向一點(diǎn)作為起始點(diǎn)，與相鄰一點(diǎn)形成基邊；然后尋找第三點(diǎn)形成三角形；再以新生成的兩條邊分別作為基邊，繼續(xù)構(gòu)建三角形，構(gòu)建時(shí)應(yīng)當(dāng)滿足各三角形的外接圓均不包含其他點(diǎn)的條件。

在高程異常擬合中，狄洛尼三角網(wǎng)應(yīng)當(dāng)以已知點(diǎn)作為三角形頂點(diǎn)，布網(wǎng)結(jié)束后應(yīng)確保所有待定點(diǎn)有且僅有一個(gè)所屬三角形。此時(shí)各待定點(diǎn)的高程異常值與其所屬區(qū)域有關(guān)，也與所屬區(qū)域頂點(diǎn)的高程異常值有關(guān)，可取待定點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的距離定權(quán)，則高程異常的TIN模型待定點(diǎn)高程異常計(jì)算公式如式（1）所示：

式中，ξ為待定點(diǎn)高程異常值；S1,S2,S3為待定點(diǎn)至頂點(diǎn)的距離；ξ1,ξ2,ξ3為頂點(diǎn)的高程異常值。

如上文所述，高程異常的TIN 模型存在待定點(diǎn)處于邊界時(shí)的不確定問(wèn)題，因?yàn)門IN模型是根據(jù)待定點(diǎn)所屬區(qū)域確定其高程異常值，若待定點(diǎn)處于邊界附近，其與本區(qū)域的相關(guān)性就會(huì)降低，與鄰近區(qū)域的相關(guān)性提高，在式（1）中體現(xiàn)的就是待定點(diǎn)至頂點(diǎn)的距離明顯增加，導(dǎo)致高程異常值結(jié)果精度降低。針對(duì)此問(wèn)題，考慮到Shepard 插值也是根據(jù)待定點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離進(jìn)行擬合，因此使用Shepard 插值對(duì)處在邊界上的待定點(diǎn)進(jìn)行殘差修正。

2 基于Shepard插值殘差修正

Shepard插值的計(jì)算式如式（2）所示：

式中，n為使用的已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)；ξi為已知點(diǎn)高程異常值；為待定點(diǎn)至已知點(diǎn)的距離的u次方，一般取2。

由式（2）可以看出，當(dāng)n=3,u=1 且ξi與Si均取三角形頂點(diǎn)時(shí)，Shepard 插值就轉(zhuǎn)化為高程異常的TIN模型，即TIN模型是Shepard插值的一種局域化形式。通過(guò)限定Shepard 插值的參數(shù)達(dá)到根據(jù)待定點(diǎn)所屬區(qū)域確定其高程異常值的目的，但待定點(diǎn)存在處于三角形邊界的情況，且即使待定點(diǎn)處于三角形內(nèi)部，只要待定點(diǎn)與三角形邊界距離足夠近，也會(huì)引起精度降低，因此本文提出基于Shepard 插值殘差修正方法，具體步驟如下：

當(dāng)判斷待定點(diǎn)處在三角形邊界或鄰近邊界時(shí)，將鄰近邊界所在的三角形與待定點(diǎn)所在三角形拼接為四邊形，根據(jù)式（2）將四邊形的邊界作為已知點(diǎn)進(jìn)行待定點(diǎn)高程異常值計(jì)算，即式（2）中n=4，u的取值由2～4 進(jìn)行調(diào)整，以獲取最優(yōu)的次數(shù)取值。通過(guò)基于Shepard 插值殘差修正方法，預(yù)期將處在三角形邊附近的待定點(diǎn)在四邊形內(nèi)進(jìn)行高程異常值擬合，以克服此類待定點(diǎn)精度較低的問(wèn)題，下面將結(jié)合實(shí)例計(jì)算對(duì)本文提及的理論進(jìn)行驗(yàn)證。

3 工程概況

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取文獻(xiàn)[13]中表1的數(shù)據(jù)，GNSS控制點(diǎn)共計(jì)24 個(gè)，選取其中的HM01、MH02、HM09、MH12、MH20 作為待定點(diǎn)，其余19 個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，點(diǎn)位分布如圖1所示，其中紅色點(diǎn)表示待定點(diǎn)，黑色點(diǎn)表示已知點(diǎn)。X坐標(biāo)由3 063 483.914～3 076 071.229 m；Y坐標(biāo)由524 279.238～536 033.195 m；高程異常值由-19.226～18.999 m。根據(jù)狄洛尼三角網(wǎng)的劃分原則，將圖1 中的區(qū)域劃分為狄洛尼三角網(wǎng)。如圖2 所示，其中藍(lán)色標(biāo)記區(qū)域?yàn)榇c(diǎn)區(qū)域，紅色標(biāo)記區(qū)域?yàn)闊o(wú)待定點(diǎn)區(qū)域，下一步擬合值計(jì)算主要針對(duì)藍(lán)色標(biāo)記區(qū)域進(jìn)行，藍(lán)色標(biāo)記區(qū)域編號(hào)為：W，X，Y和Z，其中W 區(qū)域待定點(diǎn)為MH20，X 區(qū)域待定點(diǎn)為HM01 和MH12，Y區(qū)域待定點(diǎn)為MH02，Z區(qū)域待定點(diǎn)為HM09。

圖1 點(diǎn)位分布

圖2 狄洛尼三角網(wǎng)劃分

4 TIN模型實(shí)例驗(yàn)證

各待定點(diǎn)區(qū)域的三角形邊界點(diǎn)如表1 所示，由于圖2 中可以看出HM01 處在鄰近邊界上，其點(diǎn)位標(biāo)記已與邊界線重合，因此將XK 的聯(lián)合區(qū)域也作為待定點(diǎn)區(qū)域，以便后續(xù)使用Shepard插值進(jìn)行殘差修正。

表1 三角形邊界點(diǎn)

使用TIN模型中式（1）對(duì)待定點(diǎn)進(jìn)行高程異常值計(jì)算，同時(shí)為方便比較，使用二次曲面擬合模型對(duì)待定點(diǎn)也進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算成果如表2所示。

表2 二次曲面與TIN對(duì)比/m

對(duì)比真誤差，W 區(qū)域的MH20 與X 區(qū)域的MH12在TIN模型中有明顯的真誤差減小，由3 cm以上降低到2 cm以下，Y區(qū)域的MH02和Z區(qū)域的HM09在TIN模型中真誤差降低一個(gè)數(shù)量級(jí)，由厘米級(jí)降低為毫米級(jí)。觀察圖2 中的區(qū)域劃分，可知以上4 點(diǎn)均未與三角形邊界點(diǎn)重合，雖然W 區(qū)域的MH20 與Y 區(qū)域的MH02 點(diǎn)位與邊界線鄰近，但點(diǎn)位標(biāo)記存在一定的半徑，實(shí)際點(diǎn)位與邊界線仍有一定的距離；X 區(qū)域的HM01 其點(diǎn)位標(biāo)記與邊界線出現(xiàn)重合，導(dǎo)致其TIN 模型的擬合精度相對(duì)于二次曲面反而降低，說(shuō)明在該點(diǎn)擬合中，二次曲面的整體擬合效果優(yōu)于TIN模型的局部擬合效果，因此該點(diǎn)所在區(qū)域的局部選取存在不足，需要對(duì)其進(jìn)行殘差修正。

5 Shepard插值殘差修正實(shí)例驗(yàn)證

以上內(nèi)容驗(yàn)證了TIN 模型中存在的弊端，針對(duì)此問(wèn)題結(jié)合本文的理論基礎(chǔ)，將HM01在XK區(qū)域內(nèi)進(jìn)行重新計(jì)算，計(jì)算時(shí)對(duì)距離u的次數(shù)分別取2，3，4，計(jì)算成果如表3所示。

表3 HM01點(diǎn)Shepard插值殘差修正/m

當(dāng)u的次數(shù)增加時(shí)，Shepard插值的真誤差逐漸減小，在u=4 時(shí)降至亞mm級(jí)，說(shuō)明本文使用的Shepard插值的殘差修正對(duì)TIN模型的邊界點(diǎn)有較好的真誤差修復(fù)效果，將待定點(diǎn)在邊界線上的情形轉(zhuǎn)化為鄰近三角形拼接，在四邊形中進(jìn)行Shepard 插值計(jì)算更符合該種待定點(diǎn)的特性，修復(fù)后的TIN 模型與未修復(fù)的TIN模型、二次曲面模型對(duì)比曲線如圖3所示。

圖3 真誤差對(duì)比

計(jì)算3種模型的平均相對(duì)誤差如表4所示。

表4 平均相對(duì)誤差對(duì)比

本次實(shí)例計(jì)算中，選取區(qū)域較小，因此待定點(diǎn)數(shù)量有限，改進(jìn)的TIN模型精度提升不明顯，若在大區(qū)域中使用本文的方法，則隨著邊界線上的待定點(diǎn)增加，改進(jìn)的TIN模型的效果會(huì)逐漸增大；在未進(jìn)行改進(jìn)時(shí)，TIN 模型也優(yōu)于常規(guī)的二次曲面擬合模型。需要注意的是，TIN模型在計(jì)算前需要進(jìn)行三角網(wǎng)劃分，使得該方法在大區(qū)域擬合中會(huì)降低計(jì)算效果，因此應(yīng)當(dāng)權(quán)衡精度與成本，選取合適的高程異常擬合模型。

6 結(jié) 論

本文由TIN 模型入手，驗(yàn)證了其在高程異常擬合中相較于常規(guī)模型的優(yōu)勢(shì)，針對(duì)該模型存在的缺陷，結(jié)合與之原理近似的Shepard 插值法進(jìn)行了殘差修正，結(jié)果表明Shepard插值法能有效克服TIN模型中待定點(diǎn)處于邊界線上的缺陷；Shepard插值法隨著其距離次數(shù)u的增長(zhǎng)，真誤差逐漸減??；待定點(diǎn)使用改進(jìn)后的TIN模型后真誤差由0.019 52 m降低為0.000 7 m，最終平距相對(duì)誤差為0.036%，由于常規(guī)二次曲面的0.124%與未改進(jìn)的TIN模型的0.055%。在實(shí)際使用中應(yīng)注意，實(shí)際點(diǎn)位劃分很難嚴(yán)格遵循狄洛尼三角網(wǎng)的劃分原則，如何尋找一種更優(yōu)的三角形劃分方法，是下一步研究的重點(diǎn)。